3.1 复数的概念 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

[学习目标]　1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.认识复数，理解复数的基本概念及复数相等的充要条件． 导语 1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10－x)＝40的根，他求出的根为5＋和5－，积为25－(－15)＝40.由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的．这样的结果令他大为不解，甚至感到有些恐慌．负数真的不能开平方吗？ 一、复数的概念 问题　我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 提示　为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使i2＝－1. 知识梳理　 1．复数 (1)定义：把形如a＋bi(其中a，b∈R)的数称为复数，其中a称为复数a＋bi的实部，b称为复数a＋bi的虚部，i称为虚数单位． (2)表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式称为复数的代数形式，一般将复数z的实部记作Re z，虚部记作Im z. 2．复数集 全体复数组成的集合称为复数集，通常用大写字母C表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R}． 注意点： (1)i2＝－1. (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算． (3)a，b∈R. 例1　已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．1 答案　C 解析　复数z1＝1＋3i的实部为1，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝1，解得a＝－1. 反思感悟　在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫作复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫作复数的虚部． 跟踪训练1　若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　) A．2 B. C．－ D．－2 答案　A 解析　复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2. 二、复数的分类 知识梳理 1．复数的分类 复数z＝a＋bi 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系： 例2　当实数m取什么值时，复数z＝＋(m2－2m)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？ 解　(1)当即m＝2时，复数z是实数． (2)当即m≠0且m≠2时，复数z是虚数． (3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数． 反思感悟　利用复数的分类求参数的方法及注意事项 (1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解； (2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解； (3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0. 跟踪训练2　(1)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________． 答案　±1 解析　∵z是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1. (2)若复数z＝sin 2α－(1－cos 2α)i是纯虚数，则α＝________. 答案　kπ＋(k∈Z) 解析　由题意知sin 2α＝0,1－cos 2α≠0， ∴2α＝2kπ＋π(k∈Z)，∴α＝kπ＋(k∈Z)． 三、两个复数相等的充要条件 知识梳理 若两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等，即a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0. 注意点： 当两个复数不全是实数时，它们之间不能比较大小，若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数． 例3　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值． 解　由复数相等的充要条件，得 解得 (2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的值． 解　设方程的实数根为x＝m， 则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i， 所以 解得a＝11或a＝－. 反思感悟　复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． 跟踪训练3　复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝______. 答案　5 解析　因为m∈R，z1＝z2， 所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i. 由复数相等的充要条件得 解得m＝5. 1．知识清单： (1)复数的概念． (2)复数的分类． (3)两个复数相等的充要条件． 2．方法归纳：方程思想． 3．常见误区：未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式． 1．在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　i，(1－)i是纯虚数，2＋，0.618是实数，8＋5i是虚数．故纯虚数的个数为2. 2．(1＋)i的实部与虚部分别是(　　) A．1， B．1＋，0 C．0,1＋ D．0，(1＋)i 答案　C 3．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，则实数m的值为(　　) A．－1 B．±1 C．1 D．－2 答案　C 解析　因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数， 所以m2－m－2≠0，且m2－1＝0， 解得m＝1(m＝－1舍去)． 4．已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x，y的值分别为________． 答案　1,1 解析　∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴解得或(舍)． 1．设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋bi是纯虚数”不一定成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R. 而当“复数a＋bi是纯虚数”时，“a＝0”一定成立． 所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件． 2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　) A．2－2i B．－＋i C．2＋i D.＋i 答案　A 解析　设所求的新复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知，复数－＋2i的虚部为2，复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的新复数为z＝2－2i. 3．若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是纯虚数，则(　　) A．a＝0或a＝2 B．a＝0 C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2 答案　B 解析　因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数， 所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0. 4．已知2－ai＝b＋3i(a，b∈R)(i为虚数单位)，则a＋b等于(　　) A．5 B．6 C．1 D．－1 答案　D 解析　依题意得b＝2且3＝－a. ∴a＋b＝－1. 5．如果C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(　　) A．C＝R∪I B．R∪I＝{0} C．R＝C∩I D．R∩I＝∅ 答案　D 解析　复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集，所以R∩I＝∅. 6．(多选)在复数范围内，下列命题是真命题的是(　　) A．1＋i2＝0 B．若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0 D．两个虚数不能比较大小 答案　AD 解析　因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故A正确；两个虚数不能比较大小，故B错误，D正确；当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0，故C错误． 7．设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是________． 答案　3 解析　依题意知解得m＝3. 8．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________. 答案　2　±2 解析　由复数相等的充要条件得 解得 9．当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解　(1)由得m＝2. ∴当m＝2时，z是实数． (2)由得 ∴当m≠2且m≠－3时，z是虚数． (3)由得 即m＝3或m＝4. ∴当m＝3或m＝4时，z是纯虚数． 10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值． 解　∵M∪P＝P，∴M⊆P， ∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i. 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得 解得m＝1； 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得 解得m＝2. 综上可知，m＝1或m＝2. 11．(多选)下列命题中不正确的是(　　) A．若z＝a＋bi，a，b∈R，则仅当b≠0时z为纯虚数 B．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 C．若a∈R，则ai为纯虚数 D．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0 答案　ABC 解析　A中，当a＝0且b≠0时，z为纯虚数，A错； B中，当实部等于零，虚部不等于零时才是纯虚数，B错； C中，当a≠0时，ai为纯虚数，C错； D中，z∈R，则a＋|a|＝0，∴a≤0，D正确． 12．若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　) A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2 答案　C 解析　复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1. 13．已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　) A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 答案　B 解析　由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i， 即解得∴z＝3－i. 14．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为______． 答案　{0} 解析　由z1＞z2，得解得a＝0， 故a的取值集合为{0}． 15．若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为(　　) A．7 B．－ C．－7 D．－7或－ 答案　C 解析　∵复数z＝＋i是纯虚数， ∴cos θ－＝0且sin θ－≠0， ∴cos θ＝，sin θ＝－，∴tan θ＝－， ∴tan＝＝＝－7. 16．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)． (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围． 解　(1)∵z1为纯虚数， ∴解得m＝－2. (2)由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2. ∵－1≤sin θ≤1， ∴当sin θ＝1时，λmin＝2， 当sin θ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2,6]． 学科网（北京）股份有限公司 $$