2.3.1 半角公式 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第1课时　半角公式 [学习目标]　1.能用二倍角公式推导出半角公式、万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想.2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明． 导语 同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，它们都属于三角变换．对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换，在实际操作中，我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换． 一、半角公式 问题1　余弦的二倍角展开有几种形式？请写出． 提示　三种形式：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 知识梳理 半角公式 sin ＝±，① cos ＝±，② tan ＝±(无理形式)．③ tan ＝＝(有理形式)． 上面的公式①②③统称为半角公式，分别简记为，，.半角公式的符号需要根据角所在的象限来判断． 注意点： 求tan 常用上面的有理形式． 例1　已知sin α＝－，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值． 解　∵π<α<，sin α＝－， ∴cos α＝－，且<<， ∴sin ＝＝， cos ＝－＝－， tan ＝＝－2. 反思感悟　利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． 跟踪训练1　已知cos α＝，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan . 解　∵α为第四象限角， ∴为第二或第四象限角， 当为第二象限角时， sin ＝＝， cos ＝－＝－， tan ＝－＝－. 当为第四象限角时， sin ＝－＝－， cos ＝＝， tan ＝－＝－. 二、万能公式 问题2　能否用tan α表示sin 2α，cos 2α？试给出推导过程． 提示　能． sin 2α＝2sin αcos α＝＝. cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝. 知识梳理 万能公式 sin α＝，④ cos α＝，⑤ tan α＝.⑥ 角α(α≠2kπ＋π，k∈Z)的所有三角函数值都可以用tan 来表示，这组公式(④～⑥)简称为“万能公式”． 例2　已知＝－，求sin的值． 解　∵＝－， ∴3tan α＝－2tan， ∴3tan α＝－， ∴3tan2α－5tan α－2＝0， ∴tan α＝－或tan α＝2. 当tan α＝－时，sin 2α＝＝－， cos 2α＝＝. ∴sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝. 当tan α＝2时，sin 2α＝，cos 2α＝－， ∴sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝. 综上，sin的值为. 反思感悟　万能公式的优点：只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三角函数值．因此灵活应用万能公式解答三角函数的化简求值，更加方便、快捷． 跟踪训练2　已知tan＝，则的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　∵tan ＝， ∴sin θ＝＝. cos θ＝＝. ∴＝＝. 三、三角恒等式的证明 例3　证明： ＝. 证明　左边＝ ＝ ＝＝＝＝. 右边＝＝＝， 所以左边＝右边，即等式成立． 反思感悟　 (1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 跟踪训练3　已知3π<θ<4π，求证：＝－cos . 证明　因为3π<θ<4π，所以<<2π，<<π，所以cos ＝，cos ＝－，所以左边＝＝＝＝－cos ＝右边，所以等式成立． 1．知识清单： (1)半角公式． (2)万能公式． (3)三角恒等式的证明． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：不判断角α所在的象限，盲目套用半角公式． 1．已知cos α＝－，<α<π，则sin 等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　由<α<π可知<<，故sin ＝＝＝. 2．若tan α＝3，则sin 2α等于(　　) A. B．－ C．－ D. 答案　A 解析　原式＝＝＝. 3．tan 67.5°－tan 22.5°的值为(　　) A．2 B．2 C．2 D．3 答案　A 解析　tan 67.5°－tan 22.5°＝－＝－＝2. 4．若sin α＝，α∈，则tan ＝________. 答案　5－2 解析　∵sin α＝，α∈，∴cos α＝， ∴tan ＝＝＝5－2. 1．已知180°<α<360°，则cos 的值等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　由半角公式知cos ＝±， ∵180°<α<360°，∴90°<<180°， ∴cos <0，∴cos ＝－. 2．下列各式与tan α相等的是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　＝＝＝tan α. 3．(多选)已知2sin α＝1＋cos α，则tan 的可能取值为(　　) A. B．1 C．2 D．不存在 答案　AD 解析　由题意知4sin cos ＝1＋2cos2－1，故有2sin cos －cos2＝0，若2sin －cos ＝0，则tan ＝；若cos ＝0，则tan 不存在． 4．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a 答案　C 解析　a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c＝sin 25°， ∵y＝sin x在0°≤x≤90°时上单调递增，∴a<c<b. 5．若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－，则tan 的值为(　　) A．－5 B．5 C．－ D. 答案　A 解析　由已知及正弦公式得，sin α＝－， ∵α是第三象限角，∴cos α＝－. ∴tan ＝＝＝－5. 6．已知α为锐角，且tan α＝m，cos 2α＝－，则sin2等于(　　) A. B.＋ C. D. 答案　B 解析　∵tan α＝m，cos 2α＝－，又cos 2α＝， ∴＝－，∴m2＝2. ∴cos 2α＝－. ∵0<α<，∴sin 2α＝＝， ∴sin2＝＝＋sin 2α ＝＋. 7．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝________. 答案　 解析　由θ∈，可得2θ∈，∴cos 2θ＝－＝－，∴sin θ＝＝. 8．若α∈，sin 2α＝cos2α，则cos 2α＝________. 答案　 解析　∵sin 2α＝cos2α，∴2sin αcos α＝cos2α， 又α∈，∴2sin α＝cos α，即tan α＝. ∴cos 2α＝＝. 9．化简：(0<α<π)． 解　∵tan ＝，∴tan (1＋cos α)＝sin α.又∵cos＝－sin α，且1－cos α＝2sin2，∴原式＝＝＝－. ∵0<α<π，∴0<<，∴sin >0， ∴原式＝－2cos . 10．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 与tan 的值． 解　因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝， 所以cos α＝－，cos β＝. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 因为<α<π，且0<β<， 所以0<α－β<π，即0<<， 方法一　由0<<，得cos ＝＝＝，sin ＝＝，所以tan ＝＝. 方法二　由0<α－β<π，cos(α－β)＝，得 sin(α－β)＝＝. 所以tan ＝＝＝. 11．在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 答案　B 解析　由题意得sin Asin B＝(1＋cos C)， 即2sin Asin B＝1＋cos C， ∴2sin Asin B＝1－cos Acos B＋sin Asin B， 故得cos(A－B)＝1，又因为A－B∈(－π，π)， ∴A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形． 12．函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 答案　D 解析　由题意，得f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x)． 又f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数． 13．若cos α＝－，α是第三象限角，则等于(　　) A．－ B. C．2 D．－2 答案　A 解析　∵α是第三象限角，cos α＝－， ∴sin α＝－，∴tan ＝＝＝－3， ∴＝＝－. 14．利用半角公式，求sin －cos ＝________. 答案　 解析　sin ＝＝＝ ＝＝， cos ＝＝＝ ＝＝＝， 则sin －cos ＝－＝. 15．(多选)下列命题是真命题的有(　　) A．∃x∈R，sin2 ＋cos2 ＝ B．∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y C．∀x∈[0，π]，＝sin x D．sin x＝cos y⇒x＋y＝ 答案　BC 解析　因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以B为真命题；因为＝＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题． 16．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值等于同一个常数： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解　(1)选②式：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.故这个常数为. (2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝. 证明如下： 左边＝＋－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30° sin α) ＝1－[cos 2α－cos(60°－2α)]－sin αcos α－sin2α ＝1－(cos 2α－cos 60°cos 2α－sin 60°sin 2α)－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α＋sin 2α－sin 2α－＋cos 2α ＝＝右边，所以等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$