2.1.2 两角和与差的正弦公式 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

2.1.2　两角和与差的正弦公式 [学习目标]　1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数的求值、化简． 导语 同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽，为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态，人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术，神奇的表演让观众叹为观止．在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角差的余弦公式就是这样的“表演者”之一，利用它的变换可以解决许多三角变换问题，但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要，比如遇到两角差的正弦、正切，两角和的正弦、正切的时候，该公式无法直接运用，今天我们就利用两角差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展． 一、两角和与差的正弦公式 问题1　如何借助公式sin α＝cos推导出sin(α－β)的公式？ 提示　sin(α－β)＝cos ＝cos ＝coscos β－sinsin β ＝sin αcos β－cos αsin β. 问题2　如何借助sin(α－β)的公式推导出sin(α＋β)的公式？ 提示　用－β替换公式中的β即可． 知识梳理 两角和与差的正弦公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，其中α，β∈R，简记为S(α＋β)； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，其中α，β∈R，简记为S(α－β)． 注意点： (1)公式展开形式的记忆口诀：两角和差之正弦，正余余正号相同． (2)公式的逆用一定要注意函数名称的顺序和角的顺序． 例1　(1)的值是(　　) A. B. C．1 D. 答案　A 解析　原式＝ ＝ ＝ ＝＝. (2)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　方法一　原式＝sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40° ＝－(cos 20°cos 40°－sin 20°sin 40°)＝－cos 60°＝－. 方法二　原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°cos 40° ＝sin 40°cos 70°－sin 70°cos 40° ＝sin(40°－70°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－. 反思感悟　探究解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式． 跟踪训练1　＝________. 答案　 解析　原式＝ ＝ ＝ ＝sin 30°＝. 二、给值求值 例2　已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)的值． 解　因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－， 所以cos α＝，sin β＝， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝×＋×＝. 延伸探究　若本例条件不变，求sin(α－β)的值． 解　因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝，sin β＝， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝－. 反思感悟　给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、凑角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围． 跟踪训练2　已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值． 解　因为<α<，所以<＋α<π. 因为cos＝－， 所以sin＝. 因为0<β<，所以<＋β<π. 因为sin＝， 所以cos＝－. 因为＋＝π＋α＋β， 所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)] ＝－sin ＝－sincos－cossin ＝－×－×＝. 三、给值求角 例3　已知锐角α，β满足sin α＝，sin β＝，求α－β的值． 解　由α，β∈且sin α＝，sin β＝可知，cos α＝，cos β＝. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝－. 又α，β∈，∴－<α－β<， ∴α－β＝－. 反思感悟　给值求角的解题策略 (1)解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角． (2)选三角函数的方法：例如，若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在第一、二或第三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在第一、四或第二、三象限，则选正弦函数等． 跟踪训练3　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值． 解　因为α和β均为钝角，sin α＝，sin β＝， 所以cos α＝－＝－， cos β＝－＝－，π<α＋β<2π， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝， 所以α＋β＝. 1．知识清单： (1)两角和与差的正弦公式的推导． (2)给角求值、给值求值、给值求角． (3)公式的正用、逆用、变形用． 2．方法归纳：构造法． 3．常见误区：求值或求角时忽视角的范围． 1．sin 105°的值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin °45＝. 2．化简sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　原式＝sin(21°－81°)＝sin(－60°)＝－. 3．设0＜α＜β＜，sin α＝，cos(α－β)＝，则sin β的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为0＜α＜β＜，所以－<α－β<0，所以cos α＝＝，sin(α－β)＝－＝－， 故sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝. 4．sin 15°－cos 15°＝________. 答案　－ 解析　原式＝2(sin 15°cos 60°－sin 60°cos 15°)＝2sin(15°－60°)＝－2sin 45°＝－. 1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝. 2．已知角α的终边与单位圆交于点P，则sin等于(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　D 解析　根据三角函数的定义可知sin α＝－，cos α＝，所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝－. 3．已知cos＝－(α为锐角)，则sin α等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵cos＝－(α为锐角)， ∴sin＝. ∴sin α＝sin ＝sin－cos ＝×－×＝. 4．若sin αcos －cos αsin ＝，α∈[0,2π)，则α等于(　　) A. B. C.或 D.或 答案　D 解析　sin αcos －cos αsin ＝sin＝，又α∈[0,2π)，所以－≤α－＜，则α－＝或， 所以α＝或. 5．若锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵cos(α＋β)＝，α，β∈， ∴0<α＋β<，又∵cos α＝， ∴sin α＝，sin(α＋β)＝. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝×－×＝. 6．(多选)cos α－sin α化简的结果可以是(　　) A.cos B．2cos C.sin D．2sin 答案　BD 解析　原式＝2 ＝2 ＝2cos＝2sin. 7．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 答案　－ 解析　∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，① cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，② ①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， ∴sin(α＋β)＝－. 8．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式 的值是________． 答案　－1 解析　＝sin 15°－cos 15° ＝2 ＝2sin(15°－45°) ＝2sin(－30°) ＝－1. 9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值． 解　∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝， ∴sin β＝－，又β是第三象限角， ∴cos β＝－＝－， ∴sin＝sin βcos ＋cos βsin ＝×＋×＝－. 10．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值． 解　因为<β<α<， 所以0<α－β<，π<α＋β<. 又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－， 所以sin(α－β)＝＝＝， cos(α＋β)＝－＝－＝－. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝×＋×＝－. 11．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　由题意知0<B<π， 因为cos B＝， 所以sin B＝，又A＝，C＝π－(A＋B)， 所以sin C＝sin(A＋B)＝sin cos B＋cos sin B ＝×＋×＝. 12．已知sin＋sin α＝，则sin的值是(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　由题意得sin＋sin α ＝sin α＋cos α＋sin α＝sin α＋cos α ＝sin＝，所以sin＝. 13．设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　) A．2α－β＝0 B．2α＋β＝ C．2α＋β＝0 D．2α－β＝ 答案　D 解析　∵＝，∴sin α·cos β＝cos α＋cos α·sin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin， ∵－＜α－β＜，0＜－α＜， ∴α－β＝－α， ∴2α－β＝. 14．若方程sin x－cos x＝m－1有解，则m的取值范围是________． 答案　[－1,3] 解析　sin x－cos x＝m－1， 即2＝m－1， 即2sin＝m－1， ∵sin∈[－1,1]． ∴－2≤m－1≤2，即－1≤m≤3. 15．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为(　　) A. B. C.或 D.或 答案　A 解析　由题意知 ①2＋②2得9＋16＋24sin(A＋B)＝37. 则sin(A＋B)＝. ∴在△ABC中，sin C＝， ∴C＝或C＝. 若C＝，则A＋B＝， ∴1－3cos A＝4sin B>0. ∴cos A<. 又<，∴A>，不符合题意． ∴C＝. 16．已知sin xcos y＝，试判断sin ycos x是否存在最大值与最小值，若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由． 解　令sin ycos x＝t，① 因为sin xcos y＝，② ①＋②得sin ycos x＋sin xcos y＝t＋， 即sin(x＋y)＝t＋. ①－②得sin ycos x－sin xcos y＝t－， 即sin(y－x)＝t－. 故有所以－≤t≤. 所以sin ycos x存在最大值，最小值－. 学科网（北京）股份有限公司 $$