1.7 平面向量的应用举例 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

[学习目标]　1.会用向量方法解决计算或证明几何中的相关问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.2.会用向量法解决力学问题，体会向量在解决物理问题中的作用． 导语 向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具．物理中的力、速度、位移都属于向量．故向量与物理中的力学、运动学有着千丝万缕的联系，若将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题的解答更便捷． 一、平面向量中的最值与范围问题 例1　如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，若点E为CD上的动点，求·的最小值． 解　如图，取AB的中点F，连接EF，则·＝·＝(＋)·(－) ＝2－2＝2－. 可知当||最小时·取最小值， 分别过F，B作CD的垂线，垂足分别为H，G， 当点E与H重合时，EF取得最小值， 易知HF为梯形DABG的中位线， 由已知得|BG|＝，|AD|＝1， 则|EF|＝(|BG|＋|AD|)＝，故·的最小值为. 反思感悟　向量集“数”与“形”于一身，在解决与最值有关的问题时，既可以从数出发，建立平面直角坐标系解题，又可以从形出发，利用向量的几何性质解题． 跟踪训练1　在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝，点P在边CD上，则·的取值范围是(　　) A．[－1,8] B．[－1，＋∞) C．[0,8] D．[－1,0] 答案　A 解析　由题意，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝， 以A为原点，以AB所在的直线为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(4,0)，D(1，)， 设P(x，)，则1≤x≤5， 所以＝(－x，－)，＝(4－x，－)， 所以·＝x(x－4)＋3＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 设f(x)＝(x－2)2－1，可得f(x)在[1,2)上单调递减，在[2,5]上单调递增， 所以f(x)min＝f(2)＝－1，f(x)max＝f(5)＝8， 所以·的取值范围是[－1,8]． 二、用向量解决平面几何中的证明问题 例2　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上． 证明　设＝m，＝n， 由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点， 所以＝＋＝＋ ＝－m＋(m＋n)＝m＋n， ＝＋＝＋ ＝(m＋n)－m＝m＋n. 所以＝. 又点O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上． 反思感悟　用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题． (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题． 跟踪训练2　设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB. 证明　设＝λ(λ＞0且λ≠1)， 因为＝－＝＋－ ＝＋(－) ＝＋[(－)－(＋)] ＝＋(－) ＝(＋)＝(－λ＋1)， 所以∥，又P，Q，A，B四点不共线， 所以PQ∥AB. 三、向量在物理中的应用 例3　帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向． 解　建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h，设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2.由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10，10)，向量v2＝(20,0)，则v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)，所以|v|＝＝20(km/h)．因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h. 反思感悟　利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基，将题中涉及的向量用基表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算；第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算． 跟踪训练3　已知河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际航行速度． 解　设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作＝a，＝b，以，为邻边作矩形OACB，连接，如图，则＝a＋b，且即为小船的实际航行速度． ∴||＝＝ ＝20(km/h)， tan∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°， ∴小船的实际航行速度大小为20 km/h，按北偏东30°的方向航行． 1．知识清单： (1)平面向量中的最值与范围问题． (2)用向量解决平面几何中的证明问题． (3)向量在物理中的应用． 2．方法归纳：转化法、坐标法． 3．常见误区：不能将几何或物理问题转化为向量问题． 1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　) A．是正三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．形状无法确定 答案　C 解析　∵(＋)·(－)＝2－2＝0， 即||＝||，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形． 2．一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为(　　) A．5 N B．5 N C．5 N D．5 N 答案　D 解析　两个力的合力的大小为|F1＋F2|＝＝5(N)． 3．在平面直角坐标系中，力F＝(2,3)作用于一物体，使物体从点A(2,0)移动到点B(4,0)，则力F对物体作的功为________． 答案　4 解析　根据题意， 力F对物体作的功为W＝F·， 因为A(2,0)，B(4,0)，则＝(4－2,0－0)＝(2,0)， 又F＝(2,3), 所以W＝F·＝2×2＋3×0＝4. 4．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，若点M在线段BD上，则·的最小值为________． 答案　－ 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，易知A(0,0)， 因为AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1， 所以B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，＝(－2,1)， 设＝λ，0≤λ≤1， 则M(2－2λ，λ)， 所以＝(2－2λ，λ)，＝(1－2λ，λ－1)， 所以·＝(2－2λ)(1－2λ)＋λ(λ－1)＝5λ2－7λ＋2＝52－， 当λ＝时，·的最小值为－. 1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　) A．6 B．2 C．2 D．2 答案　C 解析　由题意知F3＝－(F1＋F2)， 所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2. 2．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用的时间为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 答案　B 解析　∵|v|＝＝， ||＝＝3， ∴时间t＝＝3. 3.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于(　　) A. B．2 C．3 D．2 答案　B 解析　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设||＝a(a>0)，则A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2,0)， 所以＝(2，－a)，＝(4，a)． 因为⊥，所以·＝0， 所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8. 所以a＝2，所以＝(2，－2)， 所以||＝＝2. 4．在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必通过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 答案　C 解析　设BC的中点是O，则2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心． 5．在△ABC中，∠A＝，AB＝1，G为△ABC的重心，若·＝·，则△ABC外接圆的半径为(　　) A. B．1 C．2 D．2 答案　B 解析　如图，延长AG交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴AD为△ABC的中线． ·＝·⇒·－·＝0⇒·＝0⇒·＝0， 即AD⊥BC，故△ABC是等腰三角形，且AB＝AC， 则△ABC外接圆圆心在直线AD上，设为O，则OA＝OC， ∵∠OAC＝，∴△OAC是等边三角形，∴OA＝OC＝AC＝AB＝1，即△ABC外接圆的半径为1. 6．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 答案　C 解析　由题意知，·(－)＋·(－)＝0， 即·＋·＝0， 即·＝0， 则⊥，∠ACB＝90°，故△ABC的形状为直角三角形． 7．一个重20 N的物体从倾斜角为θ，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10 J，则θ＝____. 答案　30° 解析　∵WG＝G·s＝|G||s|cos(90°－θ)＝20×1×cos(90°－θ)＝10 (J)， ∴cos(90°－θ)＝，∴θ＝30°. 8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________. 答案　－ 解析　如图，以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)， ∴C(2,1)． ∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E，F(1,1)， ∴＋＝，＝(－2,1)， ∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－. 9．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)． (1)求F1，F2分别对质点所做的功； (2)求F1，F2的合力F对质点所做的功． 解　(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， W1＝F1·＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99， W2＝F2·＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3. ∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3. (2)F＝F1＋F2＝(3,4)＋(6，－5)＝(9，－1)， W＝F·＝(F1＋F2)· ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102. ∴合力F对质点所做的功为－102. 10.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明　方法一　设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝· ＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 方法二　如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)， 则＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 11．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的角平分线AD交边BC于点D，已知AB＝3，且＝＋，则AD的长为(　　) A. B．3 C．2 D．3 答案　C 解析　如图，过D作DE∥AC交AB于E，作DF∥AB交AC于F， 则＝＋，又＝＋， 所以＝，＝， 所以＝＝，即＝， 又AD是∠BAC的平分线，所以＝＝，而AB＝3，所以AC＝6， ·＝cos∠BAC＝3×6×cos 60°＝9， 2＝2＝2＋·＋2＝×62＋×9＋×32＝12， 所以||＝2. 12.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是(　　) A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 答案　AC 解析　设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向的夹角为θ， 则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝. ∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大． ∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小． 13.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边AD，CD上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0,1]，则·的取值范围是(　　) A．[－3，－1] B．[－3,1] C．[－1,1] D．[1,3] 答案　A 解析　以A为原点，AB所在直线，垂直于AB所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)， 则B(2,0)，A(0,0)，D， ＝，＝(2,0)． ∵满足＝＝λ，λ∈[0,1]， ∴＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(2,0)＝， ＝＋＝－＋(1－λ)＝(－2,0)＋(1－λ)＝， ·＝· ＝＋×(1－λ) ＝λ2＋λ－3＝2－. ∵λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为λ＝－， ∴当λ∈[0,1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]． 14．在四边形ABCD中，若＝(1,2)，＝(－4,2)，则向量与的夹角为__________，四边形ABCD的面积为________． 答案　　5 解析　由·＝1×(－4)＋2×2＝0，知⊥，夹角为. 又∵||＝，||＝＝2， ∴S＝||||＝××2＝5. 15.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记P(a，b)．若斜坐标系中坐标原点为O，x轴正方向和y轴正方向的夹角θ＝60°，点M(2,1)，N(1,2)，则△OMN的面积为________． 答案　 解析　设与x轴方向相同的单位向量为e1，与y轴方向相同的单位向量为e2，则＝2e1＋e2，＝e1＋2e2，则＝－＝e1－e2， 所以||2＝(e1－e2)2＝e＋e－2e1·e2＝1，所以MN＝1， 因为||2＝(2e1＋e2)2＝4e＋4e1·e2＋e＝7， ||2＝(e1＋2e2)2＝e＋4e1·e2＋4e＝7，所以OM＝，ON＝，故S△OMN＝×1×＝. 16.如图所示，在某海滨城市O附近海面有台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ方向，距点O 300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 参考数据：cos(θ－45°)＝. 解　设t h后，台风中心移动到Q处， 此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°. ∵＝＋， ∴2＝(＋)2 ＝2＋2＋2· ＝2＋2－2||||cos(θ－45°) ＝3002＋(20t)2－2×300×20t× ＝100(4t2－96t＋900)． 依题意得2≤(60＋10t)2， 解得12≤t≤24. ∴12小时后该城市开始受到台风的侵袭． 学科网（北京）股份有限公司 $$