1.6.2.2 正弦定理、余弦定理的综合应用 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第2课时　正弦定理、余弦定理的综合应用 [学习目标]　通过余弦定理、正弦定理进一步探索三角形中边与角的关系，掌握三角形的面积公式，灵活运用定理解三角形． 导语 上一节课我们学习了正弦定理，知道了应用正弦定理可以解决的两类解三角形问题，并对已知两边及其中一边的对角解三角形时解的个数作了讨论．这节课我们将进一步学习正弦定理，明确其比值的几何意义，实现边角互化的灵活性． 一、扩充的正弦定理 问题1　在△ABC中，＝＝，那么这个比值的几何意义是什么？ 提示　如图，无论怎么移动B′，都会有∠B′＝∠B， 所以在△AB′C中， ＝＝c， c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径， 所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 知识梳理 1．扩充的正弦定理：设△ABC的边长分别为a，b，c，外接圆的半径为R，则＝＝＝2R，这个结果称为扩充的正弦定理． 该式表明三角形各边与它所对角的正弦的比值为一个常数，这个常数等于该三角形外接圆的直径． 2．正弦定理的变形形式 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (4)＝＝＝. 例1　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. (1)求∠B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． 解　(1)∵bsin A＝acos B， ∴由扩充的正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B. 在△ABC中，sin A≠0， 即得tan B＝， 又∠B∈(0，π)，∴∠B＝. (2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得9＝a2＋4a2－2a·2acos ， 解得a＝，∴c＝2a＝2. 反思感悟　利用正、余弦定理解三角形关键是利用定理进行边角互化． (1)当出现边角混合时，常使用正弦定理； (2)当出现三边的平方时，常用余弦定理． 跟踪训练1　如图，已知⊙O的半径为R，△ABC为其内接等边三角形，求△ABC的边长及△OBC的外接圆半径． 解　设△OBC的外接圆半径为r，则在△ABC中，由正弦定理得＝2R， ∴BC＝2Rsin∠BAC＝2R·＝R. 在⊙O中，由圆的性质可知∠BOC＝2∠BAC＝， 故在△BOC中，由正弦定理得， ＝2r，即2r＝，即r＝R. 所以△ABC的边长为R，△OBC的外接圆半径为R. 二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 例2　在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sin A＝2sin Bcos C，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 答案　C 解析　在△ABC中，由扩充的正弦定理得 ＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴2＝2＋2， 即a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠A＝90°. 又sin A＝2sin Bcos C， ∴sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)， ∴sin2B＝. ∵∠B是锐角，∴sin B＝， ∴∠B＝45°，∠C＝45°. ∴△ABC是等腰直角三角形． 反思感悟　判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． 跟踪训练2　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b＝2asin B，cos A＝cos C，则△ABC的形状是(　　) A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　A 解析　在△ABC中，cos A＝cos C， ∠A，∠C∈(0，π)， 由函数y＝cos x在(0，π)上单调递减， 可得∠A＝∠C. 由扩充的正弦定理及3b＝2asin B， 得3sin B＝2sin Asin B， 而0<∠B<π，即sin B>0，解得sin A＝， 显然∠A为锐角，从而有∠A＝60°，则∠C＝60°，进而得∠B＝60°， 所以△ABC的形状是等边三角形． 三、三角形的面积公式 问题2　已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？ 提示　边b上的高h为asin C，故面积为S＝bh＝absin C. 知识梳理 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S＝ absin C＝bcsin A＝acsin B．即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． 例3　在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝，且AD＝BD，求△ABC的面积． 解　设CD＝x，则AD＝BD＝5－x， 在△CAD中，由余弦定理可知 cos∠CAD＝＝. 解得x＝1. 在△CAD中，由正弦定理可知 ＝， ∴sin C＝· ＝4＝， ∴S△ABC＝AC·BC·sin C＝×4×5×＝. ∴△ABC的面积为. 反思感悟　求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用． 跟踪训练3　如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，求该四边形ABCD的面积． 解　连接BD(图略)，在△BCD中，BC＝CD＝2，∠C＝120°， 则∠DBC＝30°，所以BD＝2，∠ABD＝90°，所以S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD ＝×2×2×＋×4×2＝5. 1．知识清单： (1)扩充的正弦定理． (2)利用正弦、余弦定理判断三角形的形状． (3)三角形的面积公式． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形． 1．在△ABC中，已知∠A＝60°，BC＝4，则△ABC外接圆的直径为(　　) A．8 B. C．4 D. 答案　B 解析　由正弦定理得2R＝＝＝＝. 2．已知在△ABC中，AB＝4，AC＝3，cos A＝，则△ABC的面积为(　　) A．3 B．3 C．6 D．6 答案　B 解析　因为cos A＝，A为三角形内角， 所以sin A＝＝， 所以S△ABC＝bcsin A＝×3×4×＝3. 3．在△ABC中，若a＝2bsin A，则∠B等于(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150° 答案　C 解析　由扩充的正弦定理得sin A＝2sin B·sin A， 因为sin A≠0，所以sin B＝. 又0°<∠B<180°， 所以∠B＝60°或120°. 4．在△ABC中，若lg(sin A＋sin C)＝2lg sin B－lg(sin C－sin A)，则此三角形是________三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”)． 答案　直角 解析　∵lg(sin A＋sin C)＝lg ， ∴sin2C－sin2A＝sin2B，结合正弦定理得c2＝a2＋b2， ∴△ABC为直角三角形． 1．(多选)已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则∠A等于(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 答案　BD 解析　因为S＝bcsin A＝， 所以×2×sin A＝， 所以sin A＝，因为0°<∠A<180°， 所以∠A＝60°或120°. 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为(　　) A. B．π C．2π D．4π 答案　B 解析　在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝45°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝60°. 设△ABC的外接圆的半径为R， 则由扩充的正弦定理，可得2R＝＝＝2， 解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π. 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋bsin B<csin C，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 答案　C 解析　由扩充的正弦定理及已知，得a2＋b2<c2， 所以a2＋b2－c2<0， 由余弦定理，得cos C＝<0， 所以角C为钝角，即△ABC为钝角三角形． 4．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　∵在△ABC中， sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3， ∴a∶b∶c＝3∶2∶3， 设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)， 则cos C＝＝＝. 5．(多选)在△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是(　　) A．2 B. C．3 D．4 答案　AB 解析　在△ABC中，因为∠B＝30°，AB＝2，AC＝2， 所以由＝，得sin C＝＝， 又因为AB·sin 30°<AC<AB， 所以∠C有两解， 所以∠C＝60°或∠C＝120°. 由三角形内角和定理得∠A＝90°或∠A＝30°. 由面积公式S△ABC＝AB·AC·sin A， 所以S△ABC＝2或S△ABC＝. 6．(多选)下列说法正确的是(　　) A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则∠A＝∠B C．在△ABC中，若sin A>sin B，则∠A>∠B；若∠A>∠B，则sin A>sin B D．在△ABC中，＝ 答案　ACD 解析　对于A，由正弦定理＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确； 对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得2A＝2B，或2A＋2B＝π，即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝，故B错误； 对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A>sin B⇔a>b⇔∠A>∠B，因此∠A>∠B是sin A>sin B的充要条件，故C正确； 对于D，由正弦定理＝＝＝2R， 可得右边＝＝＝2R＝左边，故D正确． 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则∠A＝________. 答案　 解析　因为＝，所以由正弦定理得＝，即b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理得cos A＝＝＝， 又∠A∈(0，π)，所以∠A＝. 8．在△ABC中，sin B＝2sin A，a＋c＝3，且cos C＝，则a＝________. 答案　1 解析　∵sin B＝2sin A，∴b＝2a， 又a＋c＝3，∴c＝3－a， ∴cos C＝＝＝， 整理，得a2＋2a－3＝0，解得a＝1(a＝－3舍去)． 9．在△ABC中，已知2a＝b＋c，sin2A＝sin Bsin C，试判断△ABC的形状． 解　由sin2A＝sin Bsin C和正弦定理，得a2＝bc. 因为2a＝b＋c，则a＝， 所以2＝bc，整理得(b－c)2＝0， 所以b＝c，所以从而a＝＝b＝c，故△ABC是等边三角形． 10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，角C是钝角，且sin B＝. (1)求角C的值； (2)若b＝2，△ABC的面积为，求c的值． 解　(1)由sin B＝得2csin B＝b， 由扩充的正弦定理得2sin Csin B＝sin B， 所以sin B(2sin C－1)＝0， 因为sin B≠0，所以sin C＝， 因为∠C是钝角，所以∠C＝. (2)由S＝absin C＝a＝，得a＝2， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝12＋4－2×2×2×＝28， 即c的值为2. 11．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆半径为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　不妨设c＝2，b＝3，则cos A＝，sin A＝. ∵a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴a2＝32＋22－2×3×2×＝9，∴a＝3. ∵＝2R，∴R＝＝＝. 12．(多选)在锐角△ABC中，三个内角分别是∠A，∠B，∠C，且∠A>∠B，则下列说法正确的是(　　) A．sin A>sin B B．cos A<cos B C．sin A>cos B D．sin B<cos A 答案　ABC 解析　∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B，故A成立． 函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减， ∵∠A>∠B，∴cos A<cos B，故B成立． 在锐角三角形中，∵∠A＋∠B>， ∴∠A>－∠B， 函数y＝sin x在区间上单调递增， 且∠A，－∠B∈， 则有sin A>sin，即sin A>cos B， 故C成立， 同理sin B>cos A，故D不成立． 13．已知△ABC的面积S＝，∠A＝，则·＝________. 答案　2 解析　S＝||||sin A， 即||||sin ＝， 故||||＝4， 所以·＝||||cos A＝4cos ＝2. 14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝______，角C的最大值为________． 答案　2　 解析　∵2sin Asin Bcos C＝sin2C， ∴2abcos C＝c2⇒a2＋b2－c2＝c2⇒＝2， ∴cos C＝＝≥， ∵0<∠C<π， ∴0＜∠C≤，当且仅当a＝b时取等号． 即角C的最大值为. 15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，∠B＝，若a2＋c2＝4ac，则＝______. 答案　 解析　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝5ac， 由正弦定理，得sin2B＝5sin Asin C＝， 所以sin Asin C＝， 所以＝＝. 16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b＝4，∠B＝. (1)求△ABC周长的取值范围； (2)求△ABC面积的最大值． 解　(1)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即b2＝a2＋c2＋ac. 又b＝4， 所以16＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2，当且仅当a＝c时，等号成立， 所以(a＋c)2≤16，所以(a＋c)2≤. 即4<a＋c≤. 所以8<a＋b＋c≤4＋，当且仅当a＝c时，等号成立． 即△ABC周长的取值范围为. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝a2＋c2＋ac，又b＝4， 所以16＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝3ac，即ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立， 所以S△ABC＝acsin B≤××＝， 即△ABC面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$