1.4.1 平面向量基本定理 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第1课时　平面向量基本定理 [学习目标]　1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基的含义.2.掌握平面向量基本定理，会用基表示平面向量． 导语 七个音符谱出千支乐曲，二十六个字母写就百态文章！ 在多样的平面向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 一、平面向量基本定理 问题1　如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量． 请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量． 提示　＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2，＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2. 问题2　上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 提示　分解方法唯一．如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝－e2.由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾)，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的． 知识梳理 1．平面向量基本定理 设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数． (2)实数x，y由v＝xe1＋ye2唯一决定，也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′. 2．基：平面上不共线的两个向量e1，e2组成的集合称为平面上的一组基{e1，e2}． 例1　(多选)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，下列说法正确的是(　　) A．若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对 C．λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量 D．当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量 答案　AC 解析　若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，∴λ＝0，同理可得μ＝0，故A正确； 由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定，故B不正确； 平面α内的每个向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立，故C正确； 结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定，故D不正确． 反思感悟　(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式． (2)向量的基是指平面内不共线的两个向量，事实上，若{e1，e2}是一组基，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等均不能构成一组基． 跟踪训练1　设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中不能作为一组基的是(　　) A．{e1＋e2，e1－e2} B．{3e1－4e2,6e1－8e2} C．{e1＋2e2,2e1＋e2} D．{e1,5e2} 答案　B 解析　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线， ∴不能作为一组基，选项A，C，D中两向量均不共线，可作为一组基，故选B. 二、v在基{e1，e2}下的坐标 知识梳理 1．分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标． 2．取定了平面上一组基{e1，e2}之后，可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标来表示，记为v＝(x，y)． 例2　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b. (1)试用基{a，b}表示，； (2)求向量，在基{a，b}下的坐标． 解　(1)方法一　由题意知，＝＝＝a， ＝＝＝b. 所以＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝a＋b. 方法二　设＝x，＝y，则＝＝y， 又则 所以 即＝a－b，＝a＋b. (2)由(1)知向量在基{a，b}下的坐标为，向量在基{a，b}下的坐标为. 反思感悟　求向量a在基{e1，e2}下的坐标的步骤 第一步：利用平面向量基本定理将向量a分解为e1，e2的实数倍之和，即a＝xe1＋ye2； 第二步：将e1，e2的系数分别作为向量a的横、纵坐标，即可求出a在基{e1，e2}下的坐标． 跟踪训练2　已知M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来，并写出向量，，在基{a，b}下的坐标． 解　＝－＝－＝a－b，＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b， ＝－＝－(＋)＝a＋b. 故向量，，在基{a，b}下的坐标分别为，，. 三、平面向量基本定理的综合应用 例3　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． 解　设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理， 得解得 ∴＝，＝， ∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 延伸探究 1．在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示. 解　易知BP∶PN＝3∶2，则＝， ＝＋＝＋ ＝b＋(－) ＝b＋a－b＝a＋b. 2．若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN的值． 解　如图，设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－2e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－2λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－ ＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋2e2. 由平面向量基本定理 得解得 ∴＝，＝， ∴AP∶PM＝2∶1，BP∶PN＝2∶1. 反思感悟　若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基之间满足的关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数． 跟踪训练3　如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. 答案　 解析　设＝a，＝b， 则＝a＋b，＝a＋b， 又∵＝a＋b，∴＝(＋)， 即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝. 1．知识清单： (1)平面向量基本定理． (2)基及向量在基下的坐标． (3)平面向量基本定理的应用． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：忽视基中的向量必须是不共线的两个向量． 1．(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．基中的向量可以有零向量 B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 答案　CD 2.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基的一组向量是(　　) A.， B.， C.， D.， 答案　B 解析　由题中图形可知与，与，与共线，不能作为基，与不共线，可作为基． 3．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为________． 答案　(－∞，4)∪(4，＋∞) 解析　若{a，b}能作为平面内的一组基，则a与b不共线．又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，故由a≠kb(k∈R)，得λ≠4. 4.如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若＝a，＝b，试以{a，b}为一组基表示＝________，＝________. 答案　a－b　b－a 解析　因为四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，所以＝＝2，＝＝2， 所以＝＝b，＝＝ ＝－＝－a， 所以＝＋＋＝－＋＋ ＝－b＋a＋b＝a－b， ＝＋＝＋＝b－a. 1．(多选)设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为该平面其他向量的基的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　AC 解析　易知与不共线，与不共线，故与，与可作为基． 2．(多选)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内一组基的是(　　) A．a＝e1＋e2，b＝e1 B．a＝2e1＋e2，b＝e1＋e2 C．a＝e1＋e2，b＝e1－e2 D．a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2 答案　ACD 解析　对于A，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合； 对于B，b＝a，所以a，b共线，故不符合； 对于C，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合； 对于D，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合． 3.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　) A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1) 答案　A 解析　＝＝(－)＝(＋) ＝(5e1＋3e2)． 4．在△ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，则在基{a，b}下的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意得＝＝(－)＝(－)＝(b－a)，所以在基{a，b}下的坐标为. 5．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量等于(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　C 解析　如图， ∵＝2， ∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 6．在等腰梯形ABCD中，＝－2.M为BC的中点，则等于(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　B 解析　如图，取AD的中点N，连接MN， ∵＝－2， ∴AB∥CD，|AB|＝2|CD|， 又M是BC中点， ∴MN∥AB，且|MN|＝(|AB|＋|CD|)＝|AB|， ∴＝＋＝＋. 7．在△ABC中，D是边AC的中点，点P在边BC上．点P满足＝，设＝a，＝b，则＝________.(用向量a，b表示) 答案　a－b 解析　依题意＝＋＝＋＝＋＝－＝a－b. 8.如图，P为△ABC内一点，且＝＋，延长BP交AC于点E，若＝λ，则实数λ的值为________． 答案　 解析　由＝λ，得＝， 可得＝＋， 由于B，P，E三点共线， ∴＋＝1， 解得λ＝. 9.如图，在△OAB中，延长BA到点C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，设＝a，＝b，求，在基{a，b}下的坐标． 解　＝＋ ＝＋＝＋－ ＝2a－b. ＝－＝－ ＝2a－b－b＝2a－b. 所以在基{a，b}下的坐标为(2，－1)，在基{a，b}下的坐标为. 10.如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点M，＝a，＝b，试用基{a，b}表示，，. 解　＝＋＝a＋b， ＝－＝b－a， 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以＝＝a＋b. ＝－＝－a－b， ＝＝b－a， 所以＝－＝a－b. 11．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于(　　) A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b C．λa＋b D.a＋b 答案　D 解析　∵＝λ， ∴－＝λ(－)， ∴(1＋λ)＝＋λ， ∴＝＋＝a＋b. 12．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则等于(　　) A.－ B.－ C．－＋ D．－＋ 答案　C 解析　＝＋＝＋ ＝－＋ ＝－＋ ＝－＋＋＋ ＝－＋＋＋ ＝－＋＋＋ ＝－＋＋＋－ ＝－＋. 13．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　) A．a－b B.a－b C．a＋b D.a＋b 答案　D 解析　连接CD，OD，图略， ∵点C，D是半圆弧的两个三等分点， ∴＝，∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°， ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°， ∴∠CAD＝∠ADO＝30°， ∴AC∥DO， ∴四边形ACDO为平行四边形，＝＋. ∵＝＝a，＝b， ∴＝a＋b. 14.已知＝a，＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则在基{a，b}下的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　＝＋＝＋＝＋＝. 而＝b－a，所以＝b－a， 所以＝＋＝a＋＝a＋b. 所以在基{a，b}下的坐标为. 15.如图，已知||＝1，||＝，向量，的夹角为90°，点C在AB上，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为______． 答案　3 解析　因为||＝1，||＝， 向量，的夹角为90°， 所以|AB|＝＝2， 所以tan∠OAB＝，∠OAB＝60°，而∠AOC＝30°， 所以OC⊥AB，|AC|＝|OA|＝， 即|AC|＝|AB|， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 又＝m＋n， 所以m＝，n＝， 所以＝3. 16.如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，OA⊥OC，OA＝2BC＝2OC，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于点D，P为线段BC上的一个动点． (1)用和表示； (2)求； (3)设＝λ＋μ，求λ·μ的取值范围． 解　(1)依题意＝，＝， ∴＝(－)＝(＋)－＝＋－＝－， ∴＝＋＝＋＝＋. (2)设＝t＝t＝＋， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知， ＋＝1， 解得t＝，所以＝3，即＝3. (3)由已知＝＋＝＋， 又P是线段BC上的动点，则令＝x， ＝λ＋μ＝λ＋μ＝＋， 又，不共线，则有 即 由0≤x≤， 可得1≤x＋1≤， 所以1≤μ≤. 因为λ·μ＝μ＝2－在μ∈上单调递增， 所以当μ＝1时，(λ·μ)min＝0，当μ＝时，max＝， 故λ·μ的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$