1.3 向量的数乘 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

[学习目标]　1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.3.理解向量的夹角的概念． 导语 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的向量的数乘运算． 一、向量的实数倍 问题1　已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向分别是怎样的？ 提示　a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)是a的长度的3倍，与a的方向相反，如图所示． 知识梳理 1．求向量的实数倍的运算称为向量的数乘，一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，称为a的λ倍，它的长度|λa|＝|λ||a|. (1)当λ≠0且a≠0时， λa的方向 (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0. 2．向量数乘的几何意义 向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小． 3．向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是一个向量． 注意点： (1)数乘向量与实数的乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别注意当λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0. (2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无法运算的． 例1　(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的是(　　) A．当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B．当λ＝0时，λa的方向具有任意性 C．|λa|＝λ|a| D．当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 答案　ABD 解析　根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λa＝0，零向量的方向具有任意性，故B正确；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa或者都是与a同向，或者都是与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；对于C，|λa|＝|λ||a|，故C错误． 反思感悟　λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模． 跟踪训练1　下列各式中不表示向量的是(　　) A．0·a B．a＋3b C．|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y) 答案　C 解析　向量的数乘运算结果均为向量，显然只有|3a|不是向量． 二、共线向量 问题2　若非零向量a，b方向相同或相反，则a与b存在怎样的数量关系？ 提示　a＝λb，λ∈R. 知识梳理 1．共线向量 当非零向量a，b方向相同或相反时，就称a，b共线，也称a，b平行，记作a∥b，并规定零向量与所有的向量平行． 2．向量共线定理 a∥b⇔存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb(a，b为非零向量)． 3．向量的夹角 (1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，任选一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ 称为向量a，b所成的角(也称夹角)，记作〈a，b〉． (2)范围：向量a，b夹角的范围是[0，π]． ①当θ＝0时，a，b方向相同； ②当θ＝π时，a，b方向相反； ③当0＜θ＜π时，a与b所在直线相交于点O； ④当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b. (3)零向量：由于零向量的方向可以是任意方向，于是既可以规定0与a的夹角为0，此时零向量与任一向量平行，也可以规定0与a的夹角为，此时零向量与任一向量垂直． 注意点： (1)相等向量是共线向量，但共线向量未必是相等向量． (2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． 例2　(1)根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明． ①＝； ②＝； ③＝，且||＝||. 解　①∵＝，∴AD∥BC，AD＝BC. ∴四边形ABCD是平行四边形． ②∵＝， ∴AD∥BC， AD≠BC. ∴四边形ABCD是梯形． ③∵＝，且||＝||， ∴四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形． 即四边形ABCD是菱形． (2)已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 解　如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则＝a＋b，＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 反思感悟　(1)利用向量共线求几何体的形状的关键是由＝λ，证得||＝λ||且AB∥CD. (2)①求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． ②特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 跟踪训练2　在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°. 三、共线向量的运算与数乘运算律 问题3　类比实数乘法的运算律，猜想一下向量的数乘有哪些运算律？ 提示　结合律，分配律． 知识梳理 1．单位向量 长度为1的向量称为单位向量．对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e＝a. 2．数乘运算律 一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： (1)对实数加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya. (2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝(xy)a. (3)对向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb. 角度1　向量的线性运算 例3　若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　) A．－a B．－b C．－c D．以上都不对 答案　C 解析　原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b ＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c. 角度2　共线向量的判定及应用 例4　设a，b是不共线的两个向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b， 求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值． (1)证明　∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2， ∴与共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线． (2)解　∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， ∵a与b不共线，∴ 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 角度3　用已知向量表示其他向量 例5　如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，. 解　因为＝＝＝(－)＝(a－b)， 所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b. 因为＝＝，所以＝＋＝ ＋＝＝(＋)＝(a＋b)． ＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b. 反思感悟　(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． (2)用已知向量表示其他向量的方法 跟踪训练3　(1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 答案　4b－3a 解析　由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0， 所以x＝4b－3a. (2)在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 答案　D 解析　如图所示， 由题意可得＝＋ ＝＋ ＝＋(－)＝＋. (3)设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝2a＋kb，＝a－b.若P，Q，R三点共线，则实数k的值为(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 答案　B 解析　∵a，b是不共线的两个平面向量，∴a≠b，即≠0，∵P，Q，R三点共线，∴与共线，∴存在实数λ，使＝λ.∴2a＋kb＝λa－λb，即(2－λ)a＝(－k－λ)b，由a，b不共线，必有2－λ＝－k－λ＝0，解得λ＝2，k＝－2. 1.知识清单： (1)向量的数乘及运算律． (2)向量共线定理． (3)向量的夹角． (4)数乘的运算律． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：找错向量的夹角． 1．(多选)下列算式中，正确的是(　　) A．(－7)×6a＝－42a B．a－2b＋(2a＋2b)＝3a C．a＋b－(a＋b)＝0 D．4(2a＋b)＝8a＋4b 答案　ABD 2．已知非零向量a，b满足a＝4b，则(　　) A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b| C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反 答案　C 解析　∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|. ∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同． 3．在▱ABCD中，＝2a，＝3b，则等于(　　) A．a＋b B．a－b C．2a＋3b D．2a－3b 答案　C 解析　＝＋＝2a＋3b. 4．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝______. 答案　－ 解析　因为A，B，D三点共线， 故存在一个实数λ，使得＝λ， 又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2， 所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2) ＝(3－k)e1－(2k＋1)e2， 所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 所以 解得k＝－. 1．下列说法中，正确的是(　　) A．λa与a的方向不是相同就是相反 B．若a，b共线，则b＝λa C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b|＝2|a| 答案　D 解析　对于A，当λ＝0时，结论不成立； 对于B，当a＝0时，结论不成立； 对于C，当|b|＝2|a|时，b与2a不一定共线； 对于D，因为b＝±2a，所以|b|＝2|a|，故正确． 2．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° 答案　A 解析　向量－a与－b的夹角与a与b的夹角相等，都为60°. 3．(多选)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是(　　) A．a∥b B．向量a，b方向相反 C．|a|＝3|b| D．b＝－3a 答案　ABD 解析　∵a＝2e，b＝－6e，∴b＝－3a，∴|b|＝3|a|，故C错误，ABD正确． 4．已知＝a＋4b，＝2b－a，＝2(a＋b)，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 答案　B 解析　∵＋＝a＋4b，即＋＝， ∴＝，即存在λ＝1使＝λ. ∴，共线． 又∵两向量有公共点B，∴A，B，D三点共线． 5．(多选)已知e1，e2是不共线的向量，下列向量a，b共线的为(　　) A．a＝e1，b＝－2e2 B．a＝e1－3e2，b＝－2e1＋6e2 C．a＝3e1－e2，b＝2e1－e2 D．a＝e1＋e2，b＝e1－3e2 答案　BC 解析　因为e1，e2是不共线的向量， 所以e1，e2都不是零向量． A中，若a与b共线，则e1，e2共线，这与已知矛盾， 所以a与b不共线； B中，因为b＝－2e1＋6e2＝－2(e1－3e2)＝－2a，所以a与b共线； C中，因为b＝2e1－e2＝＝a，所以a与b共线； D中，若a与b共线，则存在实数λ∈R，使a＝λb，即e1＋e2＝λ(e1－3e2)，所以(1－λ)e1＋(1＋3λ)e2＝0. 因为e1，e2是不共线向量， 所以方程组无解， 所以a与b不共线． 6.如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则等于(　　) A．－a＋b B.a－b C.a＋b D．－a＋b 答案　D 解析　＝＋＝＋ ＝(－)－＝－＋ ＝－a＋b. 7．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________. 答案　a－b＋c 解析　将原等式变形为 2y－a－c－b＋y＋b＝0， 即y＝a－b＋c， 所以y＝＝a－b＋c. 8．若＝－，且＝λ，则λ＝____. 答案　 解析　因为＝－， 所以－＝－(＋)， 所以＝， 即＝， 所以λ＝. 9．计算： (1)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)； (2)－. 解　(1)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)＝a＋b＋a－b－a＋b ＝a＋b＝a＋b. (2)－ ＝－＝a＋b－a－b＝0. 10.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求证：B，E，F三点共线． (1)解　∵＝(＋)＝(a＋b)， ∴＝＝(a＋b)， ∵＝＝b， ∴＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)， ＝－＝b－a. (2)证明　由(1)知＝－a＋b，＝－a＋b＝， ∴＝，∴与共线． 又BE，BF有公共点B，∴B，E，F三点共线． 11．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定能使a，b共线的是(　　) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 答案　AB 解析　对于A，联立2a－3b＝4e和a＋2b＝－2e消去向量e可得出4a＋b＝0， ∴b＝－4a，且a≠0，∴a，b共线． 对于B，∵a，b都是非零向量，且λ≠μ，λa－μb＝0， ∴λ，μ都不为0，∴a＝b，∴a，b共线． 对于C，当x＝y＝0时，满足x＋y＝0，此时对任意的向量a，b都有xa＋yb＝0，∴不能得出a，b共线； 对于D，∵在梯形中AB与CD不一定平行，∴不能得出a，b共线． 12．已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD为(　　) A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 答案　A 解析　∵＝＋＋ ＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b) ＝－8a－2b＝2(－4a－b)， ∴＝2. ∴与共线，且||＝2||. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且AD＝2BC. ∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形． 13.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则等于(　　) A．－＋ B.＋ C.－ D.－ 答案　D 解析　由三角形法则得＝－，＝＋. 因为E为BC的中点，F为AE的中点， 所以＝，＝， 所以＝－＝－＝(＋)－＝＋－. 又因为＝，所以＝－. 14．△ABC所在的平面内有一点P，满足＋4＋＝2，则△PAC与△PBC的面积之比为________． 答案　 解析　因为＋4＋＝2， 所以＋4＋＝2(－)， 所以3＋2＋＝0， 设＝3，＝2，＝，如图所示， 则＋＋＝0， 即P为△A′B′C′的重心， 设S△A′B′P＝S△A′PC′＝S△PB′C′＝S， 则S△PAC＝S，S△PBC＝S， 即△PAC与△PBC的面积之比为＝. 15．(多选)设P是△OAB内部(不含边界)的一点，以下可能成立的是(　　) A.＝＋ B.＝＋ C.＝＋ D.＝＋ 答案　AC 解析　对于A，如下图所示，可知P在△OAB内部，故成立； 对于B，如下图所示，可知P在△OAB外部，故不成立； 对于C，因为＝＋＝＋＋＝＋，如下图所示，可知P在△OAB内部，故成立． 对于D，因为＝＋＝＋＋＝－＋，如下图所示，可知P在△OAB外部，故不成立． 16．过△ABC的重心G任作一直线分别交AB，AC于点D，E，若＝x，＝y，且xy≠0，试求＋的值． 解　如图，设＝a，＝b，则＝＝×＝(a＋b)． ∴＝－＝a－b， ＝－＝xa－yb. ∵与共线，∴＝λ， ∴a－b＝λxa－λyb， ∴消去λ得＝， ∴＋＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$