1.2.1 向量的加法及运算律 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第1课时　向量的加法及运算律 [学习目标]　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性，理解零向量加法的性质． 导语 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？ 唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成了向量，从向量的物理背景和数的运算中得到启发，我们就引入了向量的运算． 一、向量加法的三角形法则 问题1　飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．从物理学的角度来看，上面实例中位移说明了什么？体现了向量的什么运算？ 提示　位移可以相加，体现了向量的加法运算． 知识梳理 1．向量的加法 求向量和的运算称为向量的加法． 2．向量加法的三角形法则 如图，已知两个非零向量a，b，在平面上任取一点O，分别作＝a，＝b，则定义从O到B的向量为a，b的和(也称为a，b的和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.当两个非零向量的方向既不相同也不相反时，像这样将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则． 注意点： (1)向量的相加不是两个向量的模相加． (2)运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”． 例1　(1)如图①所示，求作向量a＋b； (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. 解　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b， 则向量＝a＋b.如图③所示． (2)如图④所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a， 再作向量＝b， 则得向量＝a＋b， 然后作向量＝c， 则向量＝a＋b＋c. 反思感悟　向量加法的三角形法则的特征为首尾相接，即＋＋…＋＝. 跟踪训练1　如图所示， (1)a＋b＝________； (2)c＋d＝________； (3)a＋b＋d＝________； (4)c＋d＋e＝________. 答案　(1)c　(2)f　(3)f　(4)g 二、向量加法的平行四边形法则 问题2　请大家回顾我们物理中学过的力的合成的平行四边形法则，请你画出如图力F1和F2的合力F. 提示　如图所示． 知识梳理 如图，从同一点O出发作有向线段＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线就是a与b的和，即＝a＋b. 注意点： 运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调以下两点 (1)两个向量起点相同． (2)两个向量是非零向量且方向既不相同也不相反． 例2　如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c. 解　(1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，如图所示． (2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，如图所示． 反思感悟　向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个非零向量方向既不相同也不相反时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)适用于方向既不相同也不相反的两个非零向量求和 跟踪训练2　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量． (1)＋＝____________； (2)＋＝____________； (3)＋＝____________. 答案　(1)　(2)　(3)0 解析　(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝. (2)因为＝，故＋与方向相同， 长度为的长度的2倍， 故＋＝. (3)因为＝，故＋＝＋＝0. 三、向量加法的运算律及零向量的加法性质 问题3　对于实数a，b，c满足以下运算律： (1)a＋b＝b＋a；(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量a，b，c是否满足该类运算律？ 提示　满足． 知识梳理 1．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 2．零向量的加法性质 任意向量与零向量相加后保持不变，等于这个向量本身，即a＋0＝0＋a＝a. 例3　设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)＋＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. 解　(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝0＋＝. (3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 跟踪训练3　如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋； (3)＋＋. 解　(1)＋＋＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＋＝＋＝. 1.知识清单： (1)向量加法的三角形法则． (2)向量加法的平行四边形法则． (3)向量加法的运算律． (4)零向量加法的性质． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点． 1．下列等式错误的是(　　) A．a＋0＝0＋a＝a B.＋＋＝0 C.＋＝0 D.＋＝＋＋ 答案　B 解析　＋＋＝＋≠0，故B错． 2．正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　　) A．1 B. C．3 D．2 答案　B 解析　在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝，所以|＋|＝||＝AC＝. 3．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝______ km；向量a＋b的方向为______． 答案　8　东北 解析　如图所示，作＝a，＝b， 则a＋b＝＋＝， 所以|a＋b|＝||＝＝8 (km)． 因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北． 4.如图，已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，若||＝3，则|＋|＝________. 答案　2 解析　在AB上取点G， 使AG＝AB，如图所示， 则|＋|＝||＝||＝2. 1.＋＋＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝. 2.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 3. (多选)设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有(　　) A．a＝0 B．a＋b＝a C．a＋b＝b D．|a＋b|＝|a|＋|b| 答案　ACD 解析　由条件得a＝(＋)＋(＋)＝0. 故|a|＝0，|a＋b|＝|0＋b|＝|b|＝|a|＋|b|，故A，C，D正确． 4. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．2 答案　B 解析　由正六边形知＝， 所以＋＋＝＋＋＝， 所以|＋＋|＝||＝2. 5．(多选)在▱ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是(　　) A．a＋b＝c B．a＋d＝b C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c| 答案　ABD 解析　由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立． 6．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示(　　) A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋)km 答案　B 解析　如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°，且|a＋b|＝2 km. 7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)： (1)＋＝________； (2)＋＝________； (3)＋＋＝________. 答案　(1)　(2)　(3) 解析　由已知可得四边形DFCB为平行四边形． (1)易知＝. 由三角形法则得＋＝＋＝. (2)易知＝，所以＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＋＝. 8．在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝____，|＋|＝________. 答案　1　 解析　易知|＋|＝||＝1，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则|＋|＝||＝2||×sin 60°＝2×1×＝. 9.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋. 解　(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝. (2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 10.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：＋＋＝0. 证明　∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点， ∴AD＝(＋)，＝(＋)， ＝(＋)， ∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝[(＋)＋(＋)＋(＋)] ＝(0＋0＋0)＝0. 11.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设a＝＋，以OP，OQ为邻边作▱APOQ，如图，作a＝＋＝，∵a和长度相等，方向相同，∴a＝. 12．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案　D 解析　由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，即||2＋||2＝||2，所以△ABC为等腰直角三角形． 13．(多选)下列说法错误的有(　　) A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同 B．若向量a，b方向相反，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向与向量a的方向相反 C．若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b| 答案　BCD 解析　A正确，因为向量a与b的方向相同或相反，所以a＋b的方向必与a或b的方向相同；B错误，因为a，b的方向相反，且|a|>|b|>0，可知a＋b的方向与a的方向相同；C错误，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋CA＝0；D错误，当a，b反向时，等式不成立． 14．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________ km/h. 答案　20 解析　如图，设船在静水中的速度的大小为|ν1|＝10 km/h，河水的流速的大小为|ν2|＝10 km/h，小船实际航行速度为ν0，则由|ν1|2＋|ν2|2＝|ν0|2，得(10)2＋102＝|ν0|2，所以|ν0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h. 15．设|a|＝2，e为单位向量，则|a＋e|的最大值为______． 答案　3 解析　在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝， 因为e为单位向量， 所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)， 由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线， ||即|a＋e|最大，最大值是3. 16.如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？ 解　如图，作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°， 则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°. 设向量，分别表示两根绳子的拉力， 则表示物体所受的重力，且||＝300 N. 所以||＝||cos 30°＝150 (N)，||＝||·cos 60°＝150(N)． 所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 学科网（北京）股份有限公司 $$