1.1 向 量 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

[学习目标]　1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素． 导语 小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地(速度的大小为10 n mile/h)．如果仅仅给出指令：“由A地航行15 n mile”，显然小船不一定能到达B地．像位移、速度等既有大小又有方向的量，在数学中，我们能否对这些量进行抽象，形成一种新的量呢？ 一、向量的基本要素及几何表示 问题1　我们从一支笔、一棵树、一本书中抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对“位移”“速度”进行抽象，它们的共同特征是什么？ 提示　既有大小又有方向． 问题2　你还能举出具有这种特征的量吗？ 提示　力、加速度等． 问题3　我们知道数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可以用数轴上的点表示，那么我们用什么表示这样既有大小又有方向的量呢？ 提示　带有箭头的线段． 知识梳理 1．有向线段 (1)定义：质点从位置A运动到位置B，位置的改变称为位移．位移只刻画起点A与终点B的位置的差别．如图，从A到B虽然有不同的路线，但只要是从A到B，其位移就都是相同的，都用带箭头的线段表示，其中箭头表示这条线段的方向是从A到B，与质点实际运动的路 线无关．像这样具有方向的线段，称为有向线段． (2)长度：位移的大小就是A到B的直线距离，记作|AB|，也就是有向线段的长度，也记作||. 2．向量 (1)定义：像位移这样既有大小又有方向的量，在数学中称为向量． (2)向量的表示． ①用有向线段表示． ②用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示，如向量a，b，F，，，. ③用有向线段的起点与终点字母表示． (3)向量的模 向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的模，记作|a|. 注意点： (1)书写向量时要带箭头． (2)向量可以用有向线段来表示，但向量不是有向线段，也不能说有向线段是向量． (3)向量不能比较大小，向量的模可以比较大小． 例1　某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． (1)作出向量，，； (2)求的模． 解　(1)作出向量，，，如图所示． (2)由题意，得△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米， 所以BD＝10米． △ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝＝5(米)． 所以||＝5米． 反思感悟　用有向线段表示向量的步骤 跟踪训练1　已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 解　(1)由题意，作出向量，，，，如图所示． (2)依题意知，△ABC为正三角形， 所以AC＝2 000 km. 又因为∠ACD＝45°，CD＝1 000 km， 所以△ACD为等腰直角三角形， 则AD＝1 000 km，∠CAD＝45°， 所以D地在A地的东南方向， 距A地1 000 km. 二、向量的相等 知识梳理 1．相等向量：方向相同、长度相等的向量称为相等向量． 2．相反向量：长度相等、方向相反的向量a，b称为相反向量，记作b＝－a. 3．零向量：如果向量a的大小|a|＝0，就称a是零向量，记作0. 规定：所有的零向量相等． 注意点： (1)零向量的方向是任意的． (2)0与0不同，前者是向量，后者是数量． 例2　(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b B．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反 C．对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b D．所有的零向量都相等 答案　CD 解析　A不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小； B不正确，由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向； C正确，|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件可得a＝b；D显然正确． (2)如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： ①找出与相等的向量； ②分别找出与，，相反的向量． 解　①与，方向相同且长度相等，故与相等的向量有，. ②与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，. 延伸探究　本例(2)条件不变，试写出与相等的向量． 解　与相等的向量有，. 反思感悟　寻找相反向量与相等向量的步骤 第一步：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量； 第二步：确定与已知向量方向相同的向量即为相等向量，方向相反的向量即为相反向量． 跟踪训练2　如图，在矩形AFDC中，AC＝2AF，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量． 解　(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有，. (2)，与方向相同，且长度相等，所以与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 1．知识清单： (1)向量的概念及表示． (2)向量的相关概念：零向量、相等向量、相反向量． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区： (1)0与0不同． (2)零向量的方向具有任意性，不是没有方向．约定所有的零向量都相等． 1．(多选)下列物理量中，不是向量的是(　　) A．质量 B．速度 C．力 D．路程 答案　AD 解析　因为速度、力既有大小，又有方向，所以它们是向量；而质量、路程只有大小，没有方向，所以它们不是向量． 2.如图，在圆O中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 答案　C 解析　由图可知，三向量起点不同，不共线，但长度相等． 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．相等向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 答案　BC 解析　零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；相等的向量方向一定相同，故C正确；长度有大小，方向没有大小，不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误． 4.如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________. 答案　 解析　因为正方形的对角线长为2， 所以||＝. 1．下列各量中是向量的为(　　) A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度 答案　C 解析　向量是既有大小，又有方向的量，因为海拔、压强、温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向，所以重力是向量． 2．(多选)下列说法错误的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a＝±b B．长度相等的向量是相等向量 C．零向量的方向是任意的 D．方向相反的向量是相反向量 答案　ABD 解析　当|a|＝|b|时，由于a，b的方向不一定相同，故a＝±b未必成立，故A错误；长度相等的向量方向未必相同，故B错误；零向量的方向是任意的，故C正确；方向相反的向量长度未必相等，故D错误． 3.如图，在▱ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是(　　) A.和 B.和 C.和 D.和 答案　B 解析　和方向相同且长度相等，是相等向量，故可以用同一条有向线段表示． 4.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　) A.＝ B．||＝|| C.> D.< 答案　B 解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等． 5．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 答案　B 解析　∵＝，∴||＝||且BA∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又||＝||，∴四边形ABCD为菱形． 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是(　　) A．与相等的向量只有1个(不含) B．与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与不相等 答案　ABC 解析　由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正确；而在Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||，故C正确；由于＝，因此与是相等的，故D错误． 7．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则＝________. 答案　2 解析　连接AC(图略)，由题意知AC⊥BD，且∠ABD＝30°.设AC，BD交于点O，在Rt△ABO中，||＝||cos 30°＝2×＝， ∴||＝2||＝2. 8．已知四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与向量相等的向量为________． 答案　， 解析　∵四边形ABCD和ABDE都是平行四边形， ∴AB綊ED，AB綊DC， 从而＝，＝， ∴＝. 故与向量相等的向量为，. 9．在方格纸(每个小方格的边长为1)中，画出下列向量． (1)＝2，点A在点O的正东方向； (2)＝2，点B在点O的北偏东45°方向； (3)求出||的值． 解　依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示． (3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以||＝2. 10.如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出的相反向量； (3)写出与模相等的向量． 解　(1)＝，＝. (2)的相反向量有，. (3)与模相等的向量有，，，，，，. 11．(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是(　　) A．||＝|| B．||＝|| C.＝ D.＝－ 答案　ABD 解析　由向量的有关概念，结合图形可知C不正确． 12.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||等于(　　) A．1 B. C. D．2 答案　A 解析　如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°， 则||＝||＝×2＝1. 13．一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°方向行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点，则||＝________ km，||＝________ km. 答案　100　200 解析　如图所示，汽车从点A出发，经过B点，到达C点，最后停在D点，易知||＝||＝100 km，||＝200 km，又在四边形ABCD中，＝，所以四边形ABCD为平行四边形，所以||＝||＝200 km. 14.如图所示，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为______. 答案　 解析　如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E. 因为∠ACD＝∠BCD＝∠AED，所以||＝||. 因为△ADE∽△BDC，所以＝＝，故||＝. 15．记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，O是该正六边形的中心，设点集S＝{A1，A2，A3，A4，A5，A6，O}，向量集T＝{|M，N∈S且M，N不重合}．则这个集合T中元素的个数为(　　) A．18 B．24 C．36 D．42 答案　A 解析　如图，图形中长度为1的向量一定与，，中的一个相等，再考虑方向相反，这样的向量有6个， 长度为2的向量是与，，相等或相反的向量，这样的向量有6个， 长度为的向量是与，，相等或相反的向量，这样的向量也有6个．所以共有18个． 16．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； (2)求||的最大值与最小值． 解　(1)画出所有的向量，如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ||取得最小值＝. ②当点C位于点C5或C6时， ||取得最大值＝. 所以||的最大值为，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$