4.3.2.3 直线与平面垂直的判定定理 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第3课时　 直线与平面垂直的判定定理 第4章　4.3.2　空间中直线与平面的位置关系 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明. 2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直. 学习目标 导语 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象. 内容索引 一、直线与平面垂直的定义 二、直线与平面垂直的判定定理 课时对点练 三、线面垂直的应用 随堂演练 直线与平面垂直的定义 一 问题1　如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？ 提示　始终保持垂直. 问题2　在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 提示　可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 问题3　我们能说若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直吗？ 提示　不能. 直线与平面垂直的定义及画法 定义 如果直线l与平面α相交，并且垂直于这个平面内的 ，那么就称直线l与平面α垂直 记法 ______ 有关概念 直线l叫作平面α的 ，平面α叫作直线l的 ，它们的交点叫作______ 图示   所有直线 l⊥α 垂线 垂面 垂足 知识梳理 8 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 性质 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 知识梳理 9 例1　(多选)下列命题中，不正确的是 A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α √ √ √ 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确； 当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，所以B不正确，C正确； 若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误. 10 (1)定义中的“任意一条”与“任何直线”“所有直线”意义相同，但与“无数条直线”意义不同，即定义是说这条直线和平面内所有直线都垂直. (2)由定义可知，若直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任意一条直线，这是证明线线垂直一种重要的方法. 反思感悟 11 跟踪训练1　(多选)下列说法正确的是 A.若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内任一直线 B.若直线l垂直于平面α，则直线l与平面α内的直线可能相交，可能异面， 　也可能平行 C.若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α √ √ 由线面垂直的定义知，A正确； 当l⊥α时，l与α内的直线可能相交或异面，但不会平行，故B错； C显然是正确的； 而D中，a可能在α内，所以D错误. 12 直线与平面垂直的判定定理 二 问题4　如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ 提示　如图，当折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面所在的平面α垂直.这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，CD都垂直. 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b， ，则l⊥α 图形语言   两条相交直线 a∩b＝A 知识梳理 15 注意点： (1)“两条相交直线”是关键词语，是不可忽视的条件. (2)要证一条直线与一个平面垂直，只需在平面内找到两条相交的直线都和该直线垂直即可，不需要找到所有直线，而且这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的. (3)定理体现了相互转化的数学思想，即由证线面垂直转化为证线线垂直. 知识梳理 16 例2　如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于点E.求证： (1)BC⊥平面PAB； ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC. 又AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB. 17 (2)AE⊥平面PBC. ∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB， ∴BC⊥AE. ∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC， ∴AE⊥平面PBC. 18 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在平面内找两条直线，使它和已知直线垂直； (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线； (3)根据判定定理得出结论. 反思感悟 19 20 ∴PC2＋BC2＝PB2， ∴△PCB为直角三角形，且PC⊥BC， 又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF. 又EF⊥PB，EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面CEF， ∴PB⊥平面CEF. 21 线面垂直的应用 三 例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点. (1)求证：BM∥平面PAD； 23 如图，取PD的中点E，连接EM，AE， ∴四边形ABME是平行四边形，∴BM∥AE. ∵AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD， ∴BM∥平面PAD. 24 (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由. 25 当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD. 理由如下： ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A， PA，AD⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD， ∴AB⊥PD. ∵PA＝AD，E是PD的中点， ∴AE⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABME， ∴PD⊥平面ABME. 作MN⊥BE，交AE于点N，∴MN⊥PD. 又∵PD∩BE＝E，PD，BE⊂平面PBD， ∴MN⊥平面PBD. 易知△BME∽△MEN， (1)探索性问题主要有两种类型： ①结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件. ②存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立，若推出矛盾，则结论“不存在”. (2)本题属于条件探索性问题，需认真分析结论，利用结论中的MN⊥平面PBD探索条件并确定点N的位置. 反思感悟 28 跟踪训练3　如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F. 29 当F为CD的中点时，D1E⊥平面AB1F. 连接DE，A1B，CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1， 又A1D1∩A1B＝A1，A1D1，A1B⊂平面A1BCD1， 所以AB1⊥平面A1BCD1， 又D1E⊂平面A1BCD1，所以AB1⊥D1E. 又DD1⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD， 所以AF⊥DD1. 又AF⊥DE，DD1∩DE＝D， DD1，DE⊂平面D1DE， 所以AF⊥平面D1DE， 所以AF⊥D1E. 又AF∩AB1＝A，AF，AB1⊂平面AB1F， 所以D1E⊥平面AB1F. 即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F. 1.知识清单： (1)直线与平面垂直的定义. (2)直线与平面垂直的判定定理. 2.方法归纳：转化与化归、数形结合. 3.常见误区：易忽略直线与平面垂直的判定定理中“两条相交直线”这一关键条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于 A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC √ 由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC. 1 2 3 4 2.直线l⊥平面α，直线m⊂平面α，则l与m不可能 A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 √ 若l∥m，又l⊄α，m⊂α，∴l∥α， 这与已知l⊥α矛盾. 所以直线l与m不可能平行. 1 2 3 4 3.给出下列三个命题： ①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直； ②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直； ③一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直. 其中正确的个数是 A.0 　　　 B.1 　　　 C.2 　　　 D.3 √ ①错误，②③正确. 1 2 3 4 4.平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的位置关系是______. 因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理PO⊥BD， 又AC∩BD＝O，所以PO⊥平面ABCD. 垂直 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α C.若l∥α，m⊂α，则l∥m D.若l∥α，m∥α，则l∥m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直； 对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确； 对于C，也有可能是l，m异面； 对于D，l，m还可能相交或异面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边； ③圆的两条直径；④正六边形的两边，则能保证直线与平面垂直的是 A.①③ 　　　B.②③ 　　　C.②④ 　　　D.①④ √ 根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②中的梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，④中的正六边形的两边可能是互相平行的两边，不满足定理条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是 √ √ 对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直； 对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE； 对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直； 对于D，连接AC(图略)，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是 A.异面 　B.平行　　　C.垂直 D.不确定 √ ∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l， 又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l， 又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC， ∴l⊥平面ABC， 又AC⊂平面ABC，∴l⊥AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为 正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为 A.AD1⊥B1E B.AD1∥B1E C.AD1与B1E共面 D.以上都不对 √ 连接A1D(图略)，则由正方形的性质知AD1⊥A1D. 又B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，又B1A1∩A1D＝A1，B1A1，A1D⊂平面A1B1ED，所以AD1⊥平面A1B1ED. 又B1E⊂平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 √ 因为PB⊥α，AC⊂α，所以PB⊥AC，又PC⊥AC，PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC，所以△ABC为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中直角三角形的个数为_____. ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AD，PA⊥AB， 又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB. ∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________. ∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN. 又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°. 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BO. 又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥BB1， 又∵BO∩BB1＝B，BO，BB1⊂平面BB1O， ∴AC⊥平面BB1O， 又E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足，求证：AN⊥平面PBM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 √ ∵PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PO⊥AC，又∵AC⊥BO，PO∩BO＝O，∴AC⊥平面PBD，∴平面PBD中的4条线段PB，PD，PO，BD都与AC垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有 A.AG⊥△EFH所在平面 B.AH⊥△EFH所在平面 C.HF⊥△AEF所在平面 D.HG⊥△AEF所在平面 √ 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，可推出AH⊥平面EFH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)下列命题错误的是 A.若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α B.若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交 C.如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行 D.过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A错误，若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与α平行、相交或l在α内都有可能； B错误，若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能； C错误，这两条直线相交、异面都有可能； D正确，不论点A是否在直线a上(如图)，设过点A 与直线a垂直的平面为α. 如果还有一个平面β过点A与直线a垂直， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 且α∩β＝l，设过点A和直线a且不过l的平面为γ，且α∩γ＝b，β∩γ＝c. 因为a⊥α，a⊥β，所以a⊥b，a⊥c，这样在同一平面γ内，过一点A就有两条直线b，c都与a垂直，这是不可能的. 所以过点A和直线a垂直的平面只有一个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，PA⊥平面AC，E在线段BC上，在满足条件PE⊥DE的E点有两个时，a的取值范围是_________；E点有一个时a的值为_____. (6，＋∞) 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵PA⊥平面AC，DE⊂平面AC， ∴PA⊥DE，又PE⊥DE， PA∩PE＝P，PA，PE⊂平面PAE， ∴DE⊥平面PAE，又AE⊂平面PAE， ∴DE⊥AE. 由平面几何知识得，以AD为直径的圆与BC边有两个交点时，a＝BC>2AB＝6，与BC边有一个交点时，a＝BC＝2AB＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件____________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) A1C1⊥B1C1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C， 因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C， 即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证 AC⊥BC即可. 因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等). (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. ∵D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D. 又AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥平面AA1B1B. (2)若点F为BB1上的动点，则当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.证明如下： 由(1)得C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B， ∴C1D⊥AB1. ∴四边形AA1B1B为正方形. 又D为A1B1的中点，F为BB1的中点， ∴AB1⊥DF，又DF∩C1D＝D，DF，C1D⊂平面C1DF， ∴AB1⊥平面C1DF. 跟踪训练2　如图，在四面体PABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2. F是线段PB上一点，CF＝，点E在线段AB上，且EF⊥PB.求证：PB⊥平面CEF. 在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2，CF＝， 则有EM綊CD. 而由题意可得AB綊CD，∴EM綊AB. 而BM＝，EM＝AB＝1， ∴＝，即EN＝＝＝. ∵AE＝，∴N为AE的中点. 16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1， ∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点. 易知A1B1＝，∵AA1＝， $$