4.3.1.1 平行直线 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第1课时　平行直线 第4章　4.3.1　空间中直线与直线的位置关系 1.了解空间两条直线的位置关系，异面直线的概念及画法. 2.了解基本事实4和等角定理. 学习目标 导语 在平面内，两条直线的位置关系，只有平行和相交两种，在空间中，两条直线的位置关系还有哪些情况？让我们借助身边的几何体一起来学习吧！ 内容索引 一、空间中直线与直线的位置关系 二、基本事实4 课时对点练 三、等角定理及其应用 随堂演练 空间中直线与直线的位置关系 一 问题1　观察你所在的教室. 提示　平行. (1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？ 提示　既不是平行直线，也不是相交直线. (2)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是平行直线吗？是相交直线吗？ 1.异面直线 的两条直线叫作异面直线. 2.空间中直线与直线的位置关系 不同在任何一个平面内 位置关系 是否在同一平面内 公共点个数 共面直线 相交直线 ____ 1 平行直线 是 0 异面直线 ____ 0 是 否 知识梳理 7 例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是______； 平行 在长方体ABCD－A1B1C1D1中， A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1为平行四边形， ∴A1B∥D1C. 8 (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ________； 异面 直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内. (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是______； 相交 直线D1D与直线D1C相交于点D1. 9 (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________. 异面 直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内. 10 判断空间两条直线位置关系的诀窍 (1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线. (2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. 反思感悟 11 跟踪训练1　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是 A.平行 B.异面 C.相交 D.平行、相交或异面 √ 可借助长方体来判断. 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中， 设A′D′所在直线为a，AB所在直线为b， 已知a和b是异面直线，b和c是异面直线， 则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′. 故a和c可以平行、相交或异面. 12 基本事实4 二 问题2　取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸板沿E，F折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何？ 提示　平行. 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线______ 图形语言   符号语言 若a，b，c为空间中三条不重合的直线，且a∥b，a∥c，则______ 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫作平行线的________ b∥c 传递性 平行 知识梳理 15 例2　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：四边形MNA1C1是梯形. 16 如图，连接AC，在△ACD中， ∵M，N分别是CD，AD的中点， ∴MN是△ACD的中位线， 由正方体的性质得AC∥A1C1，且AC＝A1C1. 即MN≠A1C1， ∴四边形MNA1C1是梯形. 17 证明空间中两条直线平行的方法 (1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明. (2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b. 反思感悟 18 跟踪训练2　如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形. 19 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取棱BB1的中点G，连接C1G，EG. 因为E，G分别是棱AA1，BB1的中点， 所以EG綊A1B1， 又A1B1綊C1D1， 所以EG綊C1D1， 从而四边形EGC1D1为平行四边形， 所以D1E綊C1G. 20 因为F，G分别是棱CC1，BB1的中点，所以C1F綊BG，从而四边形BGC1F为平行四边形，所以BF綊C1G， 又D1E綊C1G，所以D1E綊BF， 从而四边形EBFD1为平行四边形. 故平行四边形EBFD1是菱形. 21 等角定理及其应用 三 问题3　在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立呢？ 提示　当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图1，图2所示的两种位置. 对于图1，我们可以构造两个全等三角形，使∠BAC和∠B′A′C′是它们的对应角，从而证明∠BAC＝∠B′A′C′. 如图3，分别在∠BAC和∠B′A′C′的两边上截取AD，AE和A′D′，A′E′，使得AD＝A′D′，AE＝A′E′，连接AA′，DD′，EE′，DE，D′E′. ∵AD綊A′D′， ∴四边形ADD′A′是平行四边形， ∴AA′綊DD′. 同理可证AA′綊EE′， ∴DD′綊EE′， ∴四边形DD′E′E是平行四边形， ∴DE＝D′E′. ∴△ADE≌△A′D′E′， ∴∠BAC＝∠B′A′C′. 对于图2，同理可证. 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角______或______ 图形语言   符号语言 A′C′∥AC，A′B′∥AB⇒∠CAB＝∠C′A′B′或∠CAB＋∠C′A′B′＝180° 作用 判断或证明两个角相等或互补 相等 互补 知识梳理 26 注意点： (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同(或相反)，那么这两个角相等. (2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且一边的方向相同，另一边的方向相反，那么这两个角互补. 知识梳理 27 28 ∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′. ∵A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴∠BAC＝∠B′A′C′， 同理∠ABC＝∠A′B′C′， 29 (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，证明：∠BGC＝∠FD1E. 30 因为F为BB1的中点， 因为G为DD1的中点， 又BB1綊DD1， 所以BF綊D1G， 所以四边形D1GBF为平行四边形. 31 所以D1F∥GB，同理D1E∥GC， 所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同. 所以∠BGC＝∠FD1E. 32 等角定理的结论是两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能. 反思感悟 33 跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 34 如图所示，连接B1C. 因为G，F分别为BC，BB1的中点， 所以GF∥B1C. 又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD綊AB，A1B1綊AB， 由基本事实4知CD綊A1B1， 所以四边形A1B1CD为平行四边形， 所以A1D綊B1C. 又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG. 同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF. 35 又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且均为锐角， 所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF. 所以△EFG∽△C1DA1. 36 1.知识清单： (1)空间两直线的位置关系. (2)基本事实4. (3)等角定理. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：用等角定理时，角有可能相等或互补. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.如图所示，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 √ 在△MPN中， ∵H，G分别为MP，MN的中点， ∴GH∥PN， 同理EF∥PN，∴GH∥EF. 1 2 3 4 2.如图所示，在长方体木块ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有 A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 √ EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1. 1 2 3 4 3.下列四面体中，直线EF与MN可能平行的是 A，B，D中EF与MN异面，C中EF与MN可能平行. √ 1 2 3 4 4.空间中两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β＝____________. ∵空间两角α，β的两边分别对应平行， ∴这两个角相等或互补. ∵α＝60°，∴β＝60°或120°. 60°或120° 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.若AB∥A′B′，BC∥B′C′，且∠ABC＝45°，则∠A′B′C′等于 A.45° B.135° C.45°或135° D.不能确定 √ ∵AB∥A′B′，BC∥B′C′， ∴∠ABC与∠A′B′C′相等或互补， 又∵∠ABC＝45°，∴∠A′B′C′＝45°或135°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.空间两条互相平行的直线指的是 A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 √ 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形 A.全等 B.相似 C.仅有一个角相等 D.无法判断 √ 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是 A.OB∥O1B1且方向相同 B.OB∥O1B1，方向可能不同 C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行 √ 如图， ∠AOB＝∠A1O1B1，OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同， 但是OB与O1B1不一定平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 √ 若b∥c，由a∥b，知a∥c，这与a，c异面相矛盾，则b与c不可能平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和 △ACD的重心，若BD＝m，则MN＝______. 连接AM并延长交BC于点E，连接AN并延长交CD于点F，再连接MN，EF，图略，根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可得AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′. 由等角定理得∠CAB＝∠C′A′B′， ∠ACB＝∠A′C′B′， ∴△ABC∽△A′B′C′， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由. 如图所示，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求. 理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1， 所以EF∥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； 由G，H分别为FA，FD的中点， ∴四边形BCHG为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ C，D，F，E四点共面，理由如下： ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面. 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是 A.异面 B.平行 C.相交 D.相交、平行或异面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是 A.l与AD平行 B.l与AD相交 C.l与AC平行 D.l与BD平行 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1， 知l∥B1C1， 这与l与B1C1不平行矛盾， ∴l与AD不平行. 又l在上底面中，AD在下底面中， 故l与AD无公共点，故l与AD不相交. CD可能成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.下列各图中，直线a与b平行的只可能是 A，B，C中直线a，b是异面直线，D中直线a，b共面，可能是平行直线. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点.若∠A′B′C′＝120°，则∠C′D′E′＝________. 120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A′，B′分别是AD，DB的中点， 所以A′B′∥a， 同理C′D′∥a，B′C′∥b，D′E′∥b， 所以A′B′∥C′D′，B′C′∥D′E′. 又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同， 所以∠A′B′C′＝∠C′D′E′，所以∠C′D′E′＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.(多选)如图，在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则 B.PQ∥MN C.M，N，P，Q四点共面 D.四边形MNPQ是梯形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又PQ∥DE，DE∥MN， 所以PQ∥MN，又PQ≠MN， 所以M，N，P，Q四点共面，且四边形MNPQ是梯形. 故B，C，D正确. 16.在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，DN∥BC，DN与EF相交于M.将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证： (1)四边形EFGH为平行四边形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点， 又C′D′∥EF，EF∥AB， 所以C′D′∥AB. 因为G，H分别为AD′，BC′的中点， 所以GH綊EF， 所以四边形EFGH为平行四边形. (2)∠C′EB＝∠D′MN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 折叠前DN∥BC，且DM∥CE，MN∥EB， 折叠后，D′M∥C′E，MN∥EB， 所以∠C′EB与∠D′MN的对应边平行且方向相同， 所以∠C′EB＝∠D′MN. ∴MN∥AC，且MN＝AC. ∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1， 不妨设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，易知BE＝BF＝a， 例3　(1)如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝______. ∵AA′∩BB′＝O，且＝＝， ∴△ABC∽△A′B′C′且＝＝， ∴＝2＝. 所以BF＝BB1， 所以D1G＝DD1. ∴MN綊EF，EF綊BD. m ∴MN綊BD.∴MN＝m. 8.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于一点O，且＝＝＝，则＝______. 如题图，由＝＝＝， ∴＝，∴＝×＝. 10.如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点. 可得GH綊AD. 又BC綊AD，∴GH綊BC， ∵BE綊AF，G为FA的中点，∴BE綊FG， A.PQ＝MN 由题意知PQ＝DE，且DE≠MN， 所以PQ≠MN，故A不正确； 所以EF∥AB，且EF＝(AB＋CD)， 所以GH∥AB，且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)， $$