2.1.3 两角和与差的正切公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

2.1.3 两角和与差的正切公式 第2章　§2.1　两角和与差的三角函数 学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 同学们，上节课我们实现了两角和与差的正弦、余弦的展开与合并，今天我们将继续“变脸”，共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸”. 导语 内容索引 一、两角和与差的正切公式 二、给值求值(角) 课时对点练 三、两角和与差的正切公式的综合应用 随堂演练 两角和与差的正切公式 一 问题1　请同学们写出两角和与差的余弦公式、正弦公式. 提示　cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 问题2　同角三角函数中的商数关系是什么？ 问题3　你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 用－β来代替tan(α＋β)中的β即可得到tan(α－β). 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切公式 tan(α＋β) ＝_____________ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋ (k∈Z) 两角差的正切公式 tan(α－β)＝_____________ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋ (k∈Z) 知识梳理 9 注意点： 公式的结构特征及符号特征 (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和； (2) 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 知识梳理 10 √ 11 原式＝tan(180°＋75°)＝tan 75° 12 √ 13 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. 反思感悟 14 (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用： 反思感悟 15 跟踪训练1　化简求值： 16 17 二 给值求值(角) 18 问题4　根据两角和与差的正切公式的特点以及上述练习，你能写出几种公式的变形形式吗？ 提示　T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)； T(α－β)的变形： tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)； √ 21 22 延伸探究　若本例条件不变，求tan(α＋β)的值. 23 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小. 反思感悟 24 (1)tan(α＋β)的值； 25 26 27 (2)α＋2β的大小. 28 ∵α，β为锐角， 29 三 两角和与差的正切公式的综合应用 例3　设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为 A.－3 B.－1 C.1 D.3 √ 由题意知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2， 31 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围. 反思感悟 32 √ √ 33 ∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C， 34 1.知识清单： (1)两角和与差的正切公式的推导. (2)公式的正用、逆用、变形用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：公式中加减符号易记错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 2.已知tan α＝2，tan β＝3，则tan(α＋β)等于 A.1 　　　B.5 　　　C.－1 　　　 D.－5 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1， ∴(1－tan α)(1－tan β) ＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β ＝1－(tan αtan β－1)＋tan αtan β＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵28°＋32°＝60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 即2tan θ－2tan2θ－tan θ－1＝7－7tan θ， 即2tan2θ－8tan θ＋8＝0， 即2(tan θ－2)2＝0，解得tan θ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 所以(1＋tan α)(1＋tan β) ＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求tan α的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ tan β＝tan[(α＋β)－α] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.角A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴α＋β＋γ∈(0，π)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴tan α＝tan[(α－β)＋β] tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0). 提示　＝tan α. 提示　tan(α＋β)＝ ＝＝ ＝. 例1　(1)tan 255°等于 A.－2－ B.－2＋ C.2－ D.2＋ ＝tan(45°＋30°)＝ ＝＝2＋. (2)化简等于 A. 　　　 B. 　　　C.3 　　　 D.1 原式＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝. 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值. 原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－. (1)； ∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝. ∵tan 60°＝＝， (2)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°. ∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°， tan αtan β＝1－. tan αtan β＝－1. 例2　已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为 A.－ B. C. D.－ 所以tan(α－β)＝ ＝＝－. 因为sin α＝，α∈， 所以cos α＝－，即tan α＝－. 因为tan(π－β)＝－tan β＝，故tan β＝－. ＝＝－2. 因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－， tan α＝－，又tan β＝－tan(π－β)＝－， 所以tan(α＋β)＝ 跟踪训练2　如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.求： 因此tan α＝＝7， tan β＝＝. 由条件得cos α＝，cos β＝. ∵α，β为锐角，∴sin α＝＝， sin β＝＝. ∴tan(α＋β)＝ ＝＝－3. ∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝. ∵tan 2β＝tan(β＋β)＝＝＝， ∴tan(α＋2β)＝＝＝－1. 所以tan(α＋β)＝＝＝－3. 跟踪训练3　(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式中正确的是 A.A＋B＝2C B.tan(A＋B)＝－ C.tan A＝tan B D.cos B＝sin A 又tan A＋tan B＝， ② ∴联立①②解得tan A＝tan B＝， ∴cos B＝sin A，故选项C，D正确. ∴tan(A＋B)＝，∴选项A，B错误； ∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝， ∴tan A·tan B＝， ① 1.已知tan α＝－，则tan等于 A.－ 　　　 B.－7 　　　 C.　　　 D.7 tan＝＝＝7. tan(α＋β)＝＝＝－1. 由α，β都是锐角可知α＋β＝. tan(α＋β)＝＝＝1， 3.已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为 A. B. C. D. 4.计算：＝______. 原式＝＝tan 45°＝1. 1.与相等的是 A.tan 66° B.tan 24° C.tan 42° D.tan 21° 原式＝＝tan(45°－21°)＝tan 24°. 2.已知α∈，sin α＝－，则tan等于 A.－7 B.－ C. D.7 ∵α∈，sin α＝－， ∴cos α＝，∴tan α＝－. ∴tan＝＝＝－. 3.若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)等于 A. B.2 C.1＋ D.不确定 ∵α＋β＝， ∴tan(α＋β)＝＝－1， 4.若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于 A.m B.(1－m) C.(m－1) D.(m＋1) ∴tan 28°＋tan 32°＝(1－m). ∴tan 60°＝tan(28°＋32°)＝＝， 5.已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为 A. 　　　B. 　　　C. 　　　 D. 因为sin α＝，且α为锐角， 所以cos α＝，tan α＝， 所以tan(α＋β)＝＝＝－1. 又α＋β∈，故α＋β＝. 6.(多选)已知cos α＝－，则tan等于 A.－ 　　　B.－7 　　　 C.　　　 D.7 因为cos α＝－， 所以sin α＝±＝±， 所以tan α＝±. 当tan α＝时，tan＝＝； 当tan α＝－时，tan＝＝7. 7.已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝______. ∵2tan θ－tan＝7， ∴2tan θ－＝7， 8.已知0＜α＜，sin α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝______， ＝________. 因为0＜α＜，sin α＝， 所以cos α＝＝＝， 所以tan α＝＝，又因为tan(α－β)＝－， 所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝＝3， 所以＝＝＝＝. 9.已知α，β满足α＋β＝，求(1＋tan α)(1＋tan β)的值. 因为α＋β＝， 所以tan(α＋β)＝tan ＝1， 又tan(α＋β)＝＝1， 10.已知tan＝2，tan β＝. ∵tan＝2， ∴＝2，解得tan α＝. ∴＝2， (2)求的值. ∵tan α＝，tan β＝， ∴原式＝ ＝＝ ＝tan(β－α)＝＝＝. 11.已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)等于 A. 　　　B.　　　 C.1 　　　 D. 因为tan β＝＝＝tan， 又α，β均为锐角，所以－<－α<，0<β<，可得β＝－α， 即α＋β＝，所以tan(α＋β)＝tan ＝1. 12.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β等于 A. 　　　B. 　　　C. 　　　 D. ＝＝＝. 由题意得tan A＋tan B＝， tan Atan B＝， ∴tan(A＋B)＝＝， ∴tan C＝－tan(A＋B)＝－， 14.已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ ＝________. ∵tan(α＋β)＝＝＝， ∵α，β，γ∈，∴α＋β∈(0，π)， tan(α＋β＋γ)＝＝＝1， 又tan(α＋β)＝>0，∴α＋β∈， ∴α＋β＋γ＝. 15.已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、三 象限角，则tan 的值是________. － 因为sin＝，且α－为第二象限角， 所以cos＝－＝－. 又cos＝－，且－β为第三象限角， 所以sin＝－＝－. 所以tan＝－，tan＝， 所以tan ＝tan ＝＝＝－. 16.已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值. ∵tan β＝－，tan(α－β)＝， ＝＝＝， ＝＝＝1. ∵α，β∈(0，π)，tan α＝>0，tan β＝－<0， ∴α∈，β∈，∴α－β∈(－π，0). 又∵tan(α－β)＝>0， ∴α－β∈， 又∵tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－. $$