2.1.3 两角和与差的正切公式 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第2章 三角恒等变换 2.1 两角和与差的三角函数 1 课时3 两角和与差的正切公式 2 1.会推导出两角和与差的正切公式.（逻辑推理） 2.熟记公式的形式及符号特征，掌握公式的变形形式.（逻辑推理） 3.会用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数的求值、化简.（数学运算） 学习目标 3 1.两角和的正弦、余弦公式是什么？ [答案] ， . 2.两角差的正弦、余弦公式是什么？ [答案] ， . 自主预习 4 1.若，，则 __． [解析] ． 自主预习 5 2.已知，则 ____． [解析] ． 自主预习 6 3. ____． [解析] 原式 ． 自主预习 7 4.已知, 是第一象限角，且，则 的值为__. [解析] 因为, 是第一象限角，所以 ， 所以 ， 所以 . 自主预习 8 探究1 两角和与差的正切公式 问题1： 从两角和的正、余弦公式出发，你能推导出两角和的正切公式吗？ [答案] 当时， . 若时，将上式的分子、分母分别除以 ， 得 . 合作探究 9 问题2： 两角差的正切公式又如何推导呢？ [答案] 类比问题1的推导方法或用 代替 即可得到 . 问题3： 两角和的正切公式中角 , 的取值范围是什么？为什么？ [答案] 公式中角 , 的取值范围是 ，, ， , ，.因为要得到两角和的正切公式，先是将 作分母，然后是 分式分子、分母同时除以 ，得到 .根据分母不能为 零可得取值范围. 合作探究 10 新知生成 两角和与差的正切公式 名称 公式 简记 条件 两角和的 正切公式 ,， , ， ， ,， 两角差的 正切公式 特别提醒：（1）在两角和与差的正切公式中，角 ， ， ， 均不 等于， ，这是由正切函数的定义域决定的. 合作探究 11 （2）在应用两角和与差的正切公式时，只要 ， ， (或 中任一个的值不存在，就不能使用两角和（或差）的正切公式解决问题， 应改用诱导公式或其他方法解题.如化简，因为 的值不存在，所以不能 利用公式进行化简，应改用诱导公式来化简，即 . 合作探究 12 新知运用 一、正切公式的正用 例1 （1）求 的值； （2）已知，，，求 的值. 方法指导（1） ，利用两角和的正切公式求解；（2）由已知可求得 的值，则可求得 的值，因为 ，所以 ， 再利用两角差的正切公式求解. 合作探究 13 [解析] （1） ， . 合作探究 14 （2），， ， ， ， . 合作探究 15 二、正切公式的逆用 例2 求值：（1） ； （2） . 方法指导（1）逆用两角和的正切公式；（2）将换成 ，再逆用两角差的正 切公式. [解析] （1）原式 . （2）原式 . 合作探究 16 &1& （1）利用公式， 求角的步骤：①计算待求角的正切值；②缩 小待求角的范围，特别注意隐含的信息；③根据角的范围及三角函数值确定角. （2）注意用已知角来表示未知角. 合作探究 17 1.（1）已知，则 __. （2）已知角 ， 均为锐角，且，，则 ___. 3 [解析] （1）因为 ， 所以 . （2）因为， 为锐角，所以， ， 所以 . 合作探究 18 2. ( ) . A A. B. C.1 D. [解析] . 合作探究 19 3. ___. [解析] 原式 . 合作探究 20 探究2 正切公式在实际问题中的应用 例3 某购物广场准备建造一座大型电子屏幕.已知大屏幕下端 处离地面 3.5米，大屏幕高4米，若某位观众眼睛离地面1.5米.为获得观看的最佳视 野（最佳视野是指看到屏幕上下端夹角的最大值），这位观众距离大屏 幕所在的平面距离应为________米. 方法指导 构造直角三角形，利用两角差的正切公式求得表达式，利用基本不等式求解即可. 合作探究 21 [解析] 如图，作于，, ， 设，则,，, ， ，当且仅当，即 时取等号, 当，即这位观众距离大屏幕所在的平面为 米时，可以获得 观看的最佳视野. 合作探究 22 &2& 应用两角和与差的正切公式解决问题，要熟记公式特征，选择合适的公式 求解.切记不要盲目地看到是和差角形式就套用公式，那样会凭空增加计算量，而且容 易出错，先整体观察题目的特点，再寻找最简单的解题方法. 合作探究 23 如图，三个相同的正方形相接，则 的值是( ) . B A. B. C. D. [解析] 因为, ， 所以 . 合作探究 24 探究3 和、差公式在三角形中的应用 问题1： 根据两角和与差的正切公式， ， 的变形是什么？ [答案] ，