1.6.2.1 正弦定理 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第1课时　正弦定理 第1章　1.6.2　正弦定理 学习目标 通过探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题. 如图，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600 m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA的距离，如果船上有测角仪，我们能否计算出AB的距离？ 导语 内容索引 一、正弦定理的推导 二、已知两角及一边解三角形 三、已知两边及其中一边的对角解三角形 课时对点练 四、三角形解的个数的判断 随堂演练 正弦定理的推导 一 提示　成立，证明如下： 若△ABC是锐角三角形，如图，设CD为AB边上的高，易知CD＝bsin A＝asin B. 方法二　由于△ABC的面积不变，故有 若△ABC为钝角三角形，也可类似得到上述结论. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比值相等. 即 . 正弦 知识梳理 9 二 已知两角及一边解三角形 11 根据正弦定理得 又∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 12 已知三角形两角及一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角及对边. (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边. 反思感悟 13 跟踪训练1　在△ABC中，已知∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，求最短边的边长. 因为∠B＝45°，∠C＝60°，所以∠A＝75°， 故∠B最小，所以b为最短边， 14 三 已知两边及其中一边的对角解三角形 16 ∵0°<∠C<180°，∴∠C＝60°或∠C＝120°. ∠B＝15°，∠C＝120°. 17 延伸探究　若把本例中的条件“∠A＝45°”改为“∠C＝45°”，则角A有几个值？ 18 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 (1)由正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角. (2)由三角形内角和定理求出第三个角. (3)根据正弦定理求出第三条边. 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值. 反思感悟 19 跟踪训练2　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，则cos C等于 √ ∵AB<AC，∴∠C<∠B， 20 四 三角形解的个数的判断 问题2　由例2可知，已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角时，三角形解的个数可能不唯一，如何判断其解的个数？ 22 提示　不妨设已知△ABC的两边a，b和∠A，作图步骤如下：①先把未知边c画为水平的，作出已知∠A，∠A的另一条边为已知边b；②以边b的端点C为圆心，a为半径画弧；③观察此弧与除去顶点A的射线l的公共点的个数，便可得此三角形解的个数. 显然，当∠A为锐角时，有如图所示的四种情况： 23 当∠A为钝角时，有如图所示的两种情况： 根据分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致三角形有不同个数的解.若∠A为锐角，只有当a≥bsin A时才有解，并且随着a的增大，得到的解的个数也是不同的.若∠A为钝角或直角，只有当a>b时才有解. 24 例3　下列三角形是否有解？有解的作出解答，已知sin 75°＝ (1)a＝7，b＝8，∠A＝105°； 由a＝7，b＝8，可得a<b，所以∠A<∠B， 又由∠A＝105°>90°， 所以这样的三角形无解. 25 26 可得b<c，所以∠B<∠C， 又由∠C＝60°<90°， 所以这样的三角形只有一解. 所以∠B＝45°，所以∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝75°， 27 28 又由∠A＝30°<90°，且bsin A＝6sin 30°＝3， 所以a>bsin A， 所以这样的三角形有两解； 29 当∠B＝120°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝30°， 30 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数. (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： 反思感悟 31   A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 反思感悟 32 跟踪训练3　不解三角形，判断下列三角形解的个数. (1)a＝5，b＝4，∠A＝120°； 33 (2)a＝9，b＝10，∠A＝60°； 34 (3)b＝72，c＝50，∠C＝135°. 所以∠B>45°，所以∠B＋∠C>180°，故三角形无解. 35 1.知识清单： (1)正弦定理. (2)利用正弦定理解三角形. (3)三角形解的个数的判断. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论. 课堂小结 随堂演练 五 1.在△ABC中，一定成立的等式是 A.asin A＝bsin B B.acos A＝bcos B C.asin B＝bsin A D.acos B＝bcos A 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 3.已知在△ABC中，b＝　　，c＝2，∠C＝30°，那么此三角形 A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 1 2 3 4 √ 4.在△ABC中，a＝5，b＝　　，∠A＝30°，则∠B＝_____________. 1 2 3 4 60°或120° ∵b>a，∴∠B>∠A，且0°<∠B<180°， ∴∠B＝60°或120°. 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1.在△ABC中，a＝3，∠A＝30°，∠B＝15°，则c等于 2.在△ABC中，已知AB＝　 AC，∠B＝30°，则∠C等于 A.45° B.15° C.45°或135° D.15°或105° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为0°<∠C<180°， 所以∠C＝45°或∠C＝135°. 3.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 又∠B∈(0，π)，故∠B为直角，△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∴cos C＝sin C，∴tan C＝1， 又∵0°<∠C<180°，∴∠C＝45°. 6.(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 A.a＝8，b＝16，∠A＝30°，有一解 B.b＝18，c＝20，∠B＝60°，有两解 C.a＝5，c＝2，∠A＝90°，无解 D.a＝30，b＝25，∠A＝150°，有一解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∠A∈(0，π)，a>b， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 9.在△ABC中，已知b＝　　，c＝6，∠C＝30°，求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为b>c，所以∠B>∠C＝30°，所以∠B＝60°或120°. 所以a＝6或12. 10.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且　 a＝2csin A. (1)求角C的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若c＝　 ，且ab＝6，求△ABC的周长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在△ABC中，a＝1，b＝x，∠A＝30°，若△ABC有两解，则x的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，三角形有两解的条件为bsin A<a<b， ∴xsin 30°<1<x， 故x的取值范围是1<x<2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－75°＝45°， 由三角形的边角关系小角对小边，可知最小的边长为c， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在△ABC中，∠B＝60°，最大边与最小边之比为(　 ＋1)∶2，则最大角为(附：sin(A－B)＝sin Acos B－sin Bcos A) A.45° B.60° C.75° D.90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设C为最大角，则A为最小角， ∵∠A＋∠C＝120°， 又∵A为锐角，∴∠A＝45°，∠C＝75°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝15°，∠BAC＝30°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴b＝2sin B，c＝2sin C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 问题1　在Rt△ABC中，＝＝，在锐角三角形或钝角三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 方法一　故＝. 同理可证＝，故＝＝. S△ABC＝AB·CD＝bcsin A＝acsin B. 因此bsin A＝asin B，即＝. 同理可证＝，即＝＝. ＝＝ 例1　在△ABC中，c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求a，b和∠B . a＝＝＝10. 所以b＝＝＝20sin 75° ＝20×＝5(＋). 由正弦定理＝， 得b＝＝＝， 故所求的最短边长为. 例2　在△ABC中，已知c＝，∠A＝45°，a＝2，解这个三角形. ∴b＝＋1，∠B＝75°，∠C＝60°或b＝－1， ∵＝，∴sin C＝＝＝， 当∠C＝60°时，∠B＝75°，b＝＝＝＋1； 当∠C＝120°时，∠B＝15°，b＝＝＝－1. ∵＝，∴sin A＝＝＝. ∵c＝>2＝a，∴∠C>∠A. ∴∠A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个. ∴cos C＝＝. A. 　　　B.　　　 C. 　　　D. 由正弦定理，得＝， 即＝，解得sin C＝， . (2)b＝10，c＝5，∠C＝60°； 由b＝10，c＝5， 由正弦定理，可得sin B＝＝＝， 所以a＝＝＝＝5＋5. (3)a＝2，b＝6，∠A＝30°. 由a＝2，b＝6，可得a<b， 由正弦定理，可得sin B＝＝＝，所以∠B＝60°或∠B＝120°， 当∠B＝60°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝90°，c＝＝＝4； c＝＝＝2， 所以∠B＝60°，∠C＝90°，c＝4或∠B＝120°， ∠C＝30°，c＝2. sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解. sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1. 所以当∠B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°<∠B<90°.满足∠A＋∠B<180°； 当∠B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°<∠B<120°，也满足∠A＋∠B<180°.故三角形有两解. sin B＝＝sin C>sin C＝. 由正弦定理＝，得asin B＝bsin A. 所以AC＝×＝2. 2.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC等于 A.4 　　　B.2 　　　 C. 　　　 D. 由正弦定理＝，得＝， ∴sin B＝>1，∴此三角形无解. 4 由正弦定理和已知条件，得＝， 5 由正弦定理＝，得sin B＝＝. A.1 　　　 B. 　　　C.3 　　　 D. ∠C＝180°－30°－15°＝135°，c＝＝＝3. 由正弦定理，可得＝， 即＝，可得sin C＝， 由AB＝AC可知AB>AC，所以∠C>∠B， 由题意及正弦定理可知，＝b＝，则sin B＝1， 4. 在△ABC中，已知∠A＝，a＝，b＝1，则c的值为 A.1 B.2 C.－1 D. 由正弦定理＝， 可得＝， ∴sin B＝， 由a>b，得∠A>∠B，∴∠B∈， ∴∠B＝. 故∠C＝，由勾股定理得c＝2. 5.在△ABC中，若＝，则C的值为 A.30° 　　 　B.45°　　 　C.60° 　　　 D.90° 由正弦定理，知＝，∴＝， A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴∠B＝90°，即只有一解； B中，∵＝，∴sin C＝＝，且c>b，∴∠C>∠B，故有两解； C中，∵∠A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，有解； D中，∵＝，∴sin B＝＝，又b<a，∴角B只有一解. 由正弦定理，得sin A＝＝＝， 7.在△ABC中，若a＝，b＝，∠B＝，则∠A＝________. 或 ∴∠A>∠B，∴∠A＝或. 在△ABC中，b＝7，∠B＝，cos A＝， 所以sin A＝＝＝. 由正弦定理＝， 8.在△ABC中，b＝7，∠B＝，cos A＝，则a＝______. 得a＝＝＝3. 由正弦定理＝，得sin B＝＝. 6 当∠B＝60°时，∠A＝90°，a＝＝＝12. 当∠B＝120°时，∠A＝30°，a＝＝＝6. 由a＝2csin A及正弦定理得＝＝， 因为sin A≠0，故sin C＝. 又因为△ABC为锐角三角形，所以∠C＝. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ＝7， 因为ab＝6，所以a2＋b2＝13，解得或 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋. A. B.(1，＋∞) C. D.(1,2) 12.在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，b＝2＋2，已知sin 75°＝，则△ABC中最小的边长为 A.2 B.4 C.＋ D.－ 由正弦定理＝， 得＝， 所以c＝＝4，所以△ABC中最小的边长为4. ∴＝＝ ＝ ＝×＋＝， ∴＝1.∴tan A＝1. 14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则c＝______. 可得sin A＝，sin C＝， 在△ABC中，由cos A＝，cos C＝， 又a＝1，故由正弦定理得，c＝＝. 15.在△ABC中，∠B＝120°，AB＝，角A的平分线交BC于D，AD＝，则AC＝______. 如图所示，∵∠B＝120°，AB＝，AD＝， ∴由正弦定理得sin∠ADB＝＝， ∴在△ABC中，∠C＝30°，由正弦定理得AC＝＝＝. 16.在△ABC中，a＝，∠A＝，试求△ABC周长的取值范围.(附： sin(A－B)＝sin Acos B－sin Bcos A；sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A) 由正弦定理，得＝＝， 即＝＝＝2， ∴△ABC的周长为l＝a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C ＝＋2sin B＋2sin ＝＋3sin B＋cos B ＝＋2sin， 又B∈， ∴B＋∈， ∴sin∈， ∴l∈(2，3]. 即△ABC周长的取值范围为(2，3]. $$