1.6.1 余弦定理 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

1.6.1　余弦定理 第1章　§1.6　解三角形 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 导语 内容索引 一、余弦定理的推导 二、已知两边及一角解三角形 课时对点练 三、已知三边解三角形 随堂演练 余弦定理的推导 一 问题1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 那么c＝a－b， ① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b) ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C. 问题2　在问题1的探究成果中，若∠C＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示　c2＝b2＋a2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例. 余弦定理 (1)文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的 减去这两边与它们夹角的 . (2)符号语言：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2＝ ， b2＝ ， c2＝ . 平方和 余弦的积的两倍 b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 知识梳理 9 二 已知两边及一角解三角形 例1　(1)一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是　　，求三角形的另一边的长； 由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝25＋9＋18＝52， 11 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 12 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 反思感悟 13 跟踪训练1　(1)在△ABC中，a＝2，b＝1，∠A＋∠B＝60°，则边长c＝______. 由∠A＋∠B＝60°得∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝120°. 14 (2)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2 　 x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1. ①求∠C的大小； 15 ②求AB的长. ∴AB2＝b2＋a2－2abcos C＝(a＋b)2－ab＝10， 16 三 已知三边解三角形 余弦定理的推论 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c， 则cos A＝ ， cos B＝ ， cos C＝ . 利用上述公式就可由三角形的三条边计算出三角形的三个内角. 知识梳理 18 19 20 21 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角. 反思感悟 22 跟踪训练2　若△ABC的三条边a，b，c满足(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，则△ABC A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形也可能是钝角三角形 √ 23 由题意知，(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，不妨设a＋b＝7k，则b＋c＝9k，c＋a＝10k(k是不为0的正常数)， 解得a＝4k，b＝3k，c＝6k. ∵0<∠C<π，∴∠C为钝角，△ABC为钝角三角形. 24 1.知识清单： (1)余弦定理的推导及定义. (2)已知两边及一角解三角形. (3)已知三边解三角形. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件. 课堂小结 随堂演练 四 设第三条边长为x， 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 ∵a>b>c，∴∠C为最小角且∠C为锐角， 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 4 课时对点练 五 1.已知在△ABC中，c＝6，a＝4，∠B＝120°，则b等于 A.76 B. C.27 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由b2＝ac，且c＝2a，由余弦定理 4.(多选)在△ABC中，已知∠A＝30°，且3a＝　 b＝12，则c的值为 A.2 　　　B.4 　　　 C.6　　　 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 5.若△ABC的三条边长分别为5,7,8，则△ABC的最大角与最小角之和为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不妨设a＝5，b＝7，c＝8， 根据大边对大角可知，∠A<∠B<∠C. 又因为0<∠B<π， 6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，则bcos C＋ccos B等于 A.1 B. C.2 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　如图，易知bcos C＋ccos B＝a＝4. 7.在△ABC中，AB＝3，BC＝ 　 ，AC＝4，则∠A＝_____，AC边上的高 为_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理，可得 8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3bcos C＝3a－c， 且∠A＝∠C，则sin A＝________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为3bcos C＝3a－c，且∠A＝∠C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a－b＝4，所以a>b且a＝b＋4， 又a＋c＝2b，所以b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4， 则b>c，所以a>b>c， 所以a为最大边，故∠A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)， 即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14. 又b＝a－4>0，所以a＝14， 即此三角形的最大边长为14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，若满足(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab， ∴a2＋b2－c2＝－ab， ∴2abcos C＝－ab， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设三角形的三边分别为a，b，c， 依题意得a＝5，b＝6，c＝7. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B， 13.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若∠A＝∠B，b＋ acos C＝c＝1，则b＝__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵∠A＝∠B，∴a＝b. 又b＋acos C＝c＝1， ∴4b2－2b－1＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝ 　，b＝5，c＝7. (1)求cos A的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若点D在边BC上，且BD＝3CD，求AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　因为点D在边BC上，且BD＝3CD， 所以在△ABD中，由余弦定理得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　如图，设＝a，＝b，＝c， － 设a＝5，b＝3，cos C＝－， 解得c＝2， 所以三角形的另一边长是2. 当a＝2时，a2＝20＝b2＋c2，所以该三角形为直角三角形，且∠A＝90°，∠C＝60°. (2)在△ABC中，已知b＝，c＝，∠B＝30°，解这个三角形. 得()2＝a2＋()2－2a××cos 30°， 即a2－3a＋10＝0，解得a＝或a＝2. 当a＝时，∠A＝30°，∠C＝120°； 由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋1－2×2×1×＝7， 解得c＝. ∵cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且∠C∈(0，π)， ∴∠C＝. ∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根， ∴ ∴AB＝. 例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求∠A，∠B，∠C. ＝＝， 由余弦定理得cos A＝ ＝＝. ∵∠A∈(0，π)，∴∠A＝， cos C＝ ∵∠C∈(0，π)，∴∠C＝. ∴∠B＝π－∠A－∠C＝π－－＝， ∴∠A＝，∠B＝，∠C＝. 由余弦定理可得cos C＝＝－<0， 故x＝2. 1.一个三角形的两边长分别为4和6，它们夹角的余弦值是，则该三角形的第三条边长为 A.12 B.2 C.6 D.4 则x2＝42＋62－2×4×6×＝12， 2.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为 A. B. C. D. 又∠C为△ABC的内角，∴∠C＝. 由余弦定理得cos C＝ ＝＝. 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ ac，则∠B为 A. B. C.或 　 D.或 又∠B为△ABC的内角，∴∠B＝. ∵a2－b2＋c2＝ac， ∴cos B＝＝＝， 4.在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝______. 由余弦定理得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4. 2 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝76，所以b＝2. A. B. C. D. 由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，且∠BAC∈(0，π)，因此∠BAC＝. A. B. C. D. 得cos B＝＝＝. 由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8. A. B. C. D. 由余弦定理可得，cos B＝＝＝， 所以∠B＝， 所以∠A＋∠C＝π－∠B＝π－＝， 所以△ABC的最大角与最小角之和为. 方法一　bcos C＋ccos B＝b·＋c· ＝＝＝a＝4. cos A＝＝＝， 又0<∠A<π，所以∠A＝， 所以sin A＝. 则AC边上的高为h＝AB·sin A＝3×＝. 所以3b·＝3a－c，a＝c， 则a＝c＝b， 所以cos A＝＝＝， 又0<∠A<π，所以sin A＝＝. 9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝，∠C＝.求c的值和cos B的值. 在△ABC中，a＝3，b＝，∠C＝， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝32＋()2－2×3×cos ＝5，解得c＝. 则cos B＝＝＝＝. A. B. C. D. 即cos C＝－， 又∠C∈(0，π)，∴∠C＝. 12.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为 A.19 B.14 C.－18 D.－19 ∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B. ∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)＝－19， ∴·＝－19. A.(1,7) B.(1,5) C.(，5) D.(，5) ∴cos A＝>0， 且cos C＝>0，∴7<a2<25， ∴<a<5. 即b＋b·＝1， 则b＋a·＝c＝1， 又b>0，解得b＝. 15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos A＝，则4cos(B＋C)cos 2A＝_____；若a＝，则bc的最大值为_____. 根据题意，在△ABC中，若cos A＝， 则4cos(B＋C)cos 2A＝4cos cos ＝4××＝1. 若a＝，则a2＝b2＋c2－2bccos A，即b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝6，又由(b＋c)2≥4bc，则有4bc－3bc＝bc≤6，即bc的最大值为6. 则∠A＝，则∠B＋∠C＝，∠2A＝， 4 如图，在△ABC中，因为a＝4，b＝5，c＝7， 所以cos A＝＝＝. 所以BD＝3，CD＝， 又因为cos B＝＝，  AD2＝c2＋BD2－2·c·BD·cos B＝72＋(3)2－2×7×3×＝25，可得AD＝5. 方法二　∵＝3， ∴＝＋， ∴||2＝2＋2＋· ＝×25＋×49＋×5×7cos∠BAC ＝＋＋×5×7×＝25， ∴||＝5，即AD＝5. $$