1.2.2 向量的减法 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第2课时　向量的减法 第1章　§1.2　向量的加法 学习目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握向量减法的意义及减法法则. 2.理解向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加减法综合运算. 上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了加法的三角形法则和平行四边形法则，如何进行向量的减法运算呢？ 导语 内容索引 一、向量的减法 二、位置向量 课时对点练 三、向量加减法的综合应用 随堂演练 向量的减法 一 问题1　在数的运算中，减法是加法的逆运算.类比数的减法，向量的减法和加法有什么关系？ 提示　向量的减法是向量加法的逆运算. 问题2　类比减法的运算法则“减去一个数等于加上一个数的相反数”，你能定义向量的减法法则吗？ 提示　减去一个向量等于加上一个向量的相反向量. 1.定义：已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作_______ ______.记为x＝b－a，x称为 之差. 向量的 减法 b与a 2.意义：减去一个向量a，等于加上它的相反向量 ，即b－a＝ . －a b＋(－a) 知识梳理 7 √ √ 8 9 (2)化简： 10 求两个向量的差向量的思路 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号. (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简. 反思感悟 11 跟踪训练1　化简下列式子： 12 二 位置向量 知识梳理 14 例2　如图，已知向量a，b，c，求作向量a＋b－c. 15 16 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 反思感悟 17 跟踪训练2　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 18 三 向量加减法的综合应用 20 因为四边形ACDE是平行四边形， 21 延伸探究 22 2.将本例中的条件“点B是平行四边形ACDE外一点”换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，如图，其他条件不变，其结论又将如何呢？ 因为四边形ACDE是平行四边形， 23 用向量表示其他向量的方法 (1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则. (2)表示向量时要考虑以下问题：它是不是某个平行四边形的对角线，是否可以找到由起点到终点的恰当途径，它的起点和终点是否为两个有共起点的向量的终点. 反思感悟 24 跟踪训练3　如图所示，解答下列各题： 25 26 1.知识清单： (1)向量的减法运算. (2)位置向量. (3)向量加减法的综合运用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 2 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴BA∥CD，且BA＝CD， ∴四边形ABCD的形状是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 如图，作菱形ABCD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.a－b＋c B.b－(a＋c) C.a＋b＋c D.b－a＋c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝a－b＋c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)b＋c－a； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)a－b－c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于|a|＝|b|＝|a－b|， 则OA＝OB＝BA， ∴△OAB为正三角形，四边形OACB为菱形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由中线的性质可知点N在AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为△ABC的重心. 12.已知非零向量a与b同向，则a－b A.必与a同向 B.必与b同向 C.可能与a同向、反向也可能是0 D.不可能与b同向 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 向量a与b同向， 当|a|>|b|时，a－b与a同向； 当|a|<|b|时，a－b与a反向； 当|a|＝|b|时，a－b＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ ∴四边形OACB为平行四边形， 又点O是△ABC的外心， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴∠ACO＝∠BCO＝60°， 故∠ACB＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)|a＋b＋c|； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)|a－b＋c|. ∴|a－b＋c|＝2. 也可以由，经过加法得到：  ＝＋＝(－)＋＝(－a)＋b. 如图，，，是△OAB的三边，记＝a，＝b，由于＋＝. 因此，＝－＝b－a. 例1　(1)(多选)下列各式可以化简为的是 A.＋ B.－ C.－ D.－ 对于D，－＝，故选AD. 对于A，＋＝； 对于B，－＝－－＝－(＋)≠； 对于C，－＝； ②－(－－). －－＝＋＋＝0. ①－－； －(－－)＝－(＋－)＝－(－)＝－＝0. (2)(－)－(－). ＝(－)＋(－)＝＋＝0. 原式＝＋－＝＋＝0. (1)－－－； 原式＝－－＋ 任取一定点O，从O分别观测A，B两点的方向和距离，则点A，B的位置由点O分别到A，B的两个向量，唯一表示， 分别称为点A，B的位置向量.因此，向量等于终点向量减去起点向量. ， 方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 则向量＝a－b－c. 如图，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b， 则向量＝a－b，再作向量＝c， 问题3　如图，在平行四边形ABCD中，记＝a，＝b，你能找到a＋b，a－b吗？ 提示　能.a＋b＝，a－b＝. 故＝＋＝b－a＋c. 例3　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 所以＝＝c，＝－＝b－a， 1.本例条件不变，试用向量a，b，c表示向量与. ＝－＝c－a，＝－＝c－b. 所以＝＝c，＝－＝b－a， ＝＋＝b－a＋c. ＝－＝－－＝－b－c. (1)用a，d，e表示； ＝＋＋＝d＋e＋a. (2)用b，c表示； ＝－＝－(＋)＝－c－d. (3)用a，b，e表示； ＝＋＋＝a＋b＋e. (4)用c，d表示. ∴＝－＝－a－b. 1.在△ABC中，＝a，＝b，则等于 A.a＋b B.－a－b C.a－b D.b－a 如图，∵＝＋＝a＋b， 2.－＋等于 A. 　　B. 　　C.0 　　D. －＋＝＋＝0.  ＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0. 3.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为 A.0 B. C. D. |－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 4.若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|的长度为_____. 1.在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是 A.－＝ B.－＝ C.－＝ D.－＝ 对于A，－＝，A正确； 对于B，－＝＋＝，B正确； 对于C，－＝－＝－2≠，C错误； 对于D，－＝＋＝，D正确. 2.已知四边形ABCD，O为任意一点，若＋＝＋，那么四边形ABCD的形状是 A.正方形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形 由＋＝＋得， －＝－， ∴＝， 3.下列各式不能化简为的是 A.＋(＋) B.＋＋－ C.－＋ D.＋－  ＋(＋)＝＋＋＝，  ＋＋－＝＋＋＋＝， －＋＝＋＋＝， 因为＋＝，＋＝， 所以≠＋－＝－. 4.在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为 A.1 　　B.2 　　C. 　　 D. 则|－|＝|－|＝||＝. 5.(多选)下列结果恒为零向量的是 A.－(＋) B.－＋－ C.－＋ D.＋＋－ A项，－(＋)＝－＝＋； B项，－＋－＝＋＝0； C项，－＋＝＋＝0； D项，＋＋－＝＋＝0. 6.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b， ＝c，则等于 ＝－ ＝＋－ ＝－＋ 7.如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝______. 因为D是边BC的中点，所以＝， 所以－＋＝＋－＝－＝0. 8.在矩形ABCD中，||＝2，||＝4，则|＋－|＝_______， |＋＋|＝_____. 在矩形ABCD中，因为＋－＝＋＋＝＋， 4 所以|＋－|＝2||＝4. 因为＋＋＝＋＋＝＋， 所以|＋＋|＝2||＝8. 9.如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作： 如图所示，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD， 则＝＋＝b＋c， 所以b＋c－a＝－＝. 由(1)知，＝b＋c， 则a－b－c＝－＝. 10.已知在△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积. 以，为邻边作平行四边形OACB如图， 由已知得||＝||， 且＝a＋b，＝a－b， ∴|a＋b|＝||＝2×＝2， S△OAB＝×2×＝. 11.(多选)已知点O，N在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O，N分别是△ABC的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 因为||＝||＝||，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为△ABC的外心； 由＋＋＝0，得＋＝－＝， 13.若||＝5，||＝8，则||的取值范围是 A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) ∵||＝|－|且|||－|||≤|－|≤||＋||， ∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13. 14.已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝______. ∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°， ∴||2＋||2＝||2，∴||＝13. ∵＝a，＝b， ∴a－b＝－＝， ∴|a－b|＝||＝13. 15.若点O是△ABC的外心，且＋＋＝0，则△ABC的内角C等于 A.45° B.60° C.90° D.120° ∵＋＋＝0， ∴＋＝， ∴||＝||＝||＝||＝||， 16.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，求： 由已知得a＋b＝＋＝， ∵＝c， 则a＋b＋c＝， ∴延长AC到点E，使||＝||，如图所示， 且||＝2. ∴|a＋b＋c|＝2. 作＝，连接CF，则＋＝， 而＝－＝－＝a－b， ∴|a－b＋c|＝|＋|＝||且||＝2. $$