1.1 向 量 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

§1.1　向　量 第1章　平面向量及其应用 学习目标 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和 两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地(速度的大小为10 n mile/h).如果仅仅给出指令：“由A地航行15 n mile”，显然小船不一定能到达B地.像位移、速度等既有大小又有方向的量，在数学中，我们能否对这些量进行抽象，形成一种新的量呢？ 导语 内容索引 一、向量的基本要素及几何表示 二、向量的相等 课时对点练 随堂演练 向量的基本要素及几何表示 一 问题1　我们从一支笔、一棵树、一本书中抽象出只有大小的数量“1”.类似地，我们可以对“位移”“速度”进行抽象，它们的共同特征是什么？ 问题2　你还能举出具有这种特征的量吗？ 提示　力、加速度等. 提示　既有大小又有方向. 问题3　我们知道数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可以用数轴上的点表示，那么我们用什么表示这样既有大小又有方向的量呢？ 提示　带有箭头的线段. 1.有向线段 (1)定义：质点从位置A运动到位置B，位置的改变称为位移.位移只刻画起点A与终点B的位置的差别.如图，从A到B虽然有不同的路线，但只要是从A到B，其位移就都是相同的，都用带箭头的线段　 表示，其中箭头表示这条线段的方向是从A到B，与质点实际运动的路线无关.像 　 这样具有方向的线段，称为 . 有向线段 (2)长度：位移的大小就是A到B的直线距离，记作 ，也就是有向线段　 的 ，也记作　　. |AB| 长度 知识梳理 8 2.向量 (1)定义：像位移这样既有 又有 的量，在数学中称为向量. (2)向量的表示. ①用有向线段表示. ②用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写) 来表示，如向量a，b，F， ③用有向线段的起点与终点字母　 表示. (3)向量的模 向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的 ，记作 . 大小 方向 模 |a| 知识梳理 9 注意点： (1)书写向量时要带箭头. (2)向量可以用有向线段来表示，但向量不是有向线段，也不能说有向线段是向量. (3)向量不能比较大小，向量的模可以比较大小. 知识梳理 10 11 所以BD＝10米. △ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 12 用有向线段表示向量的步骤 反思感悟 13 14 (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 依题意知，△ABC为正三角形， 所以AC＝2 000 km. 所以△ACD为等腰直角三角形， 所以D地在A地的东南方向， 15 二 向量的相等 1.相等向量：方向 、 相等的向量称为相等向量. 2.相反向量：长度 、方向 的向量a，b称为相反向量，记作_________. 3.零向量：如果向量a的大小|a|＝0，就称a是零向量，记作 . 规定：所有的零向量 . 注意点： (1)零向量的方向是任意的. (2)0与0不同，前者是向量，后者是数量. 相同 长度 相等 相反 b＝－a 0 相等 知识梳理 17 例2　(1)(多选)下列命题中，正确的是 A.若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b B.若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反 C.对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b D.所有的零向量都相等 √ √ 18 A不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小； B不正确，由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向； C正确，|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件可得a＝b； D显然正确. 19 (2)如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点.在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： 20 21 22 寻找相反向量与相等向量的步骤 第一步：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量； 第二步：确定与已知向量方向相同的向量即为相等向量，方向相反的向量即为相反向量. 反思感悟 23 跟踪训练2　如图，在矩形AFDC中，AC＝2AF，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： 24 25 1.知识清单： (1)向量的概念及表示. (2)向量的相关概念：零向量、相等向量、相反向量. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区： (1)0与0不同. (2)零向量的方向具有任意性，不是没有方向.约定所有的零向量都相等. 课堂小结 随堂演练 三 1.(多选)下列物理量中，不是向量的是 A.质量 B.速度 C.力 D.路程 因为速度、力既有大小，又有方向，所以它们是向量；而质量、路程只有大小，没有方向，所以它们不是向量. 1 2 3 4 √ √ 2.如图，在圆O中， A.有相同起点的向量 B.相反向量 C.模相等的向量 D.相等向量 由图可知，三向量起点不同，不共线，但长度相等. 1 2 3 4 √ 3.(多选)下列说法正确的是 A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的长度为0 C.相等向量的方向相同 D.同向的两个向量可以比较大小 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确； 相等的向量方向一定相同，故C正确； 长度有大小，方向没有大小，不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误. 4.如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则　　＝_____. 1 2 3 4 课时对点练 四 1.下列各量中是向量的为 A.海拔 B.压强 C.重力 D.温度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 向量是既有大小，又有方向的量，因为海拔、压强、温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向，所以重力是向量. 2.(多选)下列说法错误的是 A.若|a|＝|b|，则a＝±b B.长度相等的向量是相等向量 C.零向量的方向是任意的 D.方向相反的向量是相反向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 当|a|＝|b|时，由于a，b的方向不一定相同，故a＝±b未必成立，故A错误； 长度相等的向量方向未必相同，故B错误； 零向量的方向是任意的，故C正确； 方向相反的向量长度未必相等，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.如图，在▱ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形 ∴四边形ABCD为平行四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则　 ＝______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AC(图略)，由题意知AC⊥BD，且∠ABD＝30°. 8.已知四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与向量　 相等的向量为__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形ABCD和ABDE都是平行四边形， ∴AB綊ED，AB綊DC， 9.在方格纸(每个小方格的边长为1)中，画出下列向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形.在图中所示的向量中： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是 由向量的有关概念，结合图形可知C不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∠ACB＝90°， 13.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°方向行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点，则|　 |＝_____ km，|　 |＝_____ km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 100 200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，汽车从点A出发，经过B点，到达C点，最后停在D点， 所以四边形ABCD为平行四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E. 因为△ADE∽△BDC， 15.记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，O是该正六边形的中心，设点集S＝{A1，A2，A3，A4，A5，A6，O}，向量集T＝{ 　 |M，N∈S且M，N不重合}.则这个集合T中元素的个数为 A.18 B.24 C.36 D.42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ②当点C位于点C5或C6时，       || ，，.   例1　某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点. (1)作出向量，，； 作出向量，，，如图所示. 所以||＝5米. (2)求的模. 由题意，得△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米， 所以AD＝＝5(米). 由题意，作出向量，，，，如图所示. 跟踪训练1　已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地. (1)作出向量，，，； 又因为∠ACD＝45°，CD＝1 000 km， 则AD＝1 000 km，∠CAD＝45°， 距A地1 000 km. ①找出与相等的向量； 与，方向相同且长度相等，故与相等的向量有，. 与相反的向量有，，. ②分别找出与，，相反的向量. 与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，； 延伸探究　本例(2)条件不变，试写出与相等的向量. 与相等的向量有，. (1)分别找出与，相反的向量； 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. (2)分别找出与，相等的向量. ，与方向相同，且长度相等，所以与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 向量，，是 所以||＝. 因为正方形的对角线长为2， || A.和 B.和 C.和 D.和 和方向相同且长度相等，是相等向量，故可以用同一条有向线段表示. 4.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的 向量与的关系是 A.＝ B.||＝|| C.> D.< ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等. 5.若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为 ∵＝，∴||＝||且BA∥CD， 又||＝||，∴四边形ABCD为菱形. A.与相等的向量只有1个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与不相等 由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正确； 而在Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||，故C正确； 由于＝，因此与是相等的，故D错误. 2 设AC，BD交于点O，在Rt△ABO中，||＝||cos 30°＝2×＝， ∴||＝2||＝2.  ， 从而＝，＝， ∴＝. 故与向量相等的向量为，. (1)＝2，点A在点O的正东方向； (2)＝2，点B在点O的北偏东45°方向； (3)求出||的值. 由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以||＝2.  ＝，＝. (1)分别写出与，相等的向量；  的相反向量有，. (2)写出的相反向量； 与模相等的向量有，，，，，，. (3)写出与模相等的向量. A.||＝|| B.||＝|| C.＝ D.＝－ 12.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||等于 A.1 B. C. D.2 则||＝||＝×2＝1. 如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°，   易知||＝||＝100 km，||＝200 km， 所以||＝||＝200 km. 又在四边形ABCD中，＝， 14.如图所示，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模 为2，的模为3，的模为1，则的模为______. 所以＝＝，故||＝. 因为∠ACD＝∠BCD＝∠AED，所以||＝||. 如图，图形中长度为1的向量一定与，，中的一个相等，再考虑方向相反，这样的向量有6个， 长度为2的向量是与，，相等或相反的向量，这样的向量有6个， 长度为的向量是与，，相等或相反的向量，这样的向量也有6个.所以共有18个. 16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； 画出所有的向量，如图所示. (2)求||的最大值与最小值. ||取得最小值＝. ||取得最大值＝. 所以||的最大值为，最小值为. $$