第4练 平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

第4练　平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示 一、选择题 1．若A(3,1)，B(2，－1)，则的坐标是(　　) A．(－2，－1) B．(2,1) C．(1,2) D．(－1，－2) 答案　C 解析　＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2)． 2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于(　　) A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4) 答案　B 解析　∵＝＋， ∴＝－＝(－1，－1)， ∴＝－＝(－3，－5)． 3．设e1，e2是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．e1和e1＋e2 C．e1＋3e2和3e1＋e2 D．3e1－2e2和－6e1＋4e2 答案　D 解析　∵e1，e2是平面内的一组基底， ∴e1，e2不共线，而－6e1＋4e2＝－2(3e1－2e2)， 则根据向量共线定理可得，(－6e1＋4e2)与(3e1－2e2)共线，则根据基底的定义可知，选项D不符合题意． 其他三组中的向量均为不共线向量，故可作为基底向量． 4．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且||＝2||，那么点C的坐标为(　　) A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4,2) 答案　C 解析　由题意知，G是△ABC的重心，设C(x，y)， 则有解得故C(4，－2)． 5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝，则点P的坐标为(　　) A．(－14,16) B．(22，－11) C．(6,1) D. 答案　D 解析　设P(x，y)，则＝(10－x，－2－y)， ＝(x＋2，y－7)， ∵＝， ∴解得 ∴点P的坐标为. 6.如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝＋2μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　) A．1 B．－1 C. D. 答案　D 解析　因为E为AO的中点， 所以＝＝(＋)， 所以＝－＝(＋)－ ＝－， 即解得 所以λ＋μ＝. 二、填空题 7．点M(8，－10)按向量a平移后的对应点M′的坐标是(－7,4)，则a＝________. 答案　(－15,14) 解析　∵点M(8，－10)按向量a平移后的对应点M′的坐标是(－7,4)， ∴a是一个以M为起点，M′为终点的向量， ∴a＝＝(－7－8,4＋10)＝(－15,14)． 8．若a＋b＝(－3，－4)，a－b＝(5,2)，则向量a＝________，向量b＝________. 答案　(1，－1)　(－4，－3) 解析　由题意知，a＋b＝(－3，－4)，① a－b＝(5,2)．② 由①＋②，得a＝[(－3，－4)＋(5,2)]＝(1，－1)； 由①－②，得b＝[(－3，－4)－(5,2)]＝(－4，－3)． 9．向量a在基底e1，e2下可表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底e1＋e2，e1－e2下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________. 答案　　－ 解析　∵a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)＝(λ＋μ)e1＋(λ－μ)e2，且a＝2e1＋3e2， ∴ ∴λ＝，μ＝－. 10．在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值是________． 答案　＋1 解析　由题意，知＝(1,0)，＝(0,1)． 设C(x，y)，则＝(x，y)． ∵＝λ＋μ， ∴(x，y)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，∴ 又∵∠AOC＝，OC＝2， ∴λ＝x＝2cos ＝，μ＝y＝2sin ＝1， ∴λ＋μ＝＋1. 三、解答题 11.如图，在△ABC中，已知＝2，＝，＝，＝a，＝b. (1)用向量a，b分别表示与； (2)证明：B，F，D三点共线． (1)解　因为＝a，＝b， 所以＝(＋)＝ ＝＝a＋b， ＝－＝－＝－a＋b. (2)证明　因为＝－＝a＋b－a ＝－a＋b＝， 所以∥. 又因为与有公共点B， 所以B，F，D三点共线． 学科网（北京）股份有限公司 $$