期末检测试卷(2)-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

期末检测试卷(二) (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．在△ABC中，若A＝60°，C＝45°，c＝，则a等于(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 解析　由正弦定理得，a＝＝. 2．设复数z＝(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　z＝＝＝＝1＋i，对应的点为(1,1)，在第一象限． 3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成和棋的概率为(　　) A．50% B．30% C．10% D．60% 答案　A 解析　甲不输为甲获胜或甲、乙下成和棋，且甲获胜和甲、乙下成和棋为互斥事件，所以P(甲不输)＝P(甲获胜)＋P(甲、乙和棋)，故P(甲、乙和棋)＝90%－40%＝50%. 4．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为(　　) A．280 B．320 C．400 D．1 000 答案　C 解析　∵青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为 ×200＝80， ∵每人被抽取的概率为0.2， ∴该单位青年职员共有＝400(人)． 5.tan 11°＋tan 19°＋tan 11°·tan 19°的值是(　　) A. B. C．0 D．1 答案　D 解析　原式＝(tan 11°＋tan 19°)＋tan 11°·tan 19°＝tan 30°(1－tan 11°·tan 19°)＋ tan 11°·tan 19°＝1－tan 11°·tan 19°＋tan 11°·tan 19°＝1. 6．《算术书》竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V≈l2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V≈l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　V＝πr2h＝π×2h＝l2h， 由≈，得π≈. 7．“十一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(单位：km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率直方图．下列结论错误的是(　　) A．这40辆小型汽车车速的众数的估计值为77.5 B．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80 km/h的概率为0.35 C．若从车速在[60,70)内的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)内的概率为 D．若从车速在[60,70)内的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60,65)内的概率为 答案　D 解析　在A中，由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值＝77.5，A正确；在B中，车速超过80 km/h的频率为0.050×5＋0.020×5＝0.35，用频率估计概率知B正确；在C中，由题意可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型概率公式求概率得，至少有一辆车的车速在[65,70)内的概率为，即车速都在[60,65)内的概率为，故C正确，D错误． 8.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB＝4，E，F分别为AB，BC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P(如图所示)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ－μ的值是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P，故＝＋， 又在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB＝4，E，F分别为AB，BC的中点， 故＝－＋， ＝＋＝＋ ＝＋＝＋， 由＝λ＋μ， 得＋＝λ＋μ(－＋)， 则解得 故λ－μ＝. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．关于复数z＝x＋yi(x，y∈R)，下列命题正确的是(　　) A．若|z＋i|＝1，则x2＋(y－1)2＝1 B．若z为实数，则y＝0 C．若zi是纯虚数，则x≠0，y＝0 D．若＝1＋i，则x＋y＝1 答案　BC 解析　A错误，z＋i＝x＋(y＋1)i， 则|z＋i|＝＝1， ∴x2＋(y＋1)2＝1； B正确，若z为实数，则虚部为零，即y＝0； C正确，zi＝(x＋yi)i＝xi－y＝－y＋xi， 若zi是纯虚数，那么x≠0，y＝0； D错误，∵＝1＋i， ∴z＝＝＝＝－i，x＝，y＝－，则x＋y＝0. 10．已知单位向量，满足·＝0.若点C在∠AOB内，且∠AOC＝60°，||＝1，＝m＋n(m，n∈R)，则下列式子一定成立的是(　　) A．m＋n＝1 B．mn＝1 C．m2＋n2＝1 D.＝ 答案　CD 解析　由题意可得＝＋ ＝m＋n(m，n∈R)， 故m＝，n＝， 所以mn＝，m＋n＝，＝，m2＋n2＝1. 11．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏后，他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配不合理的是(　　) A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张 C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张 答案　BCD 解析　由题意得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等， 所以继续游戏甲获胜的概率是＋×＝， 乙获胜的概率是×＝. 所以甲得到的游戏牌为12×＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×＝3(张)． 12．关于函数f(x)＝cos＋cos，下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)的最大值为 B．y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数 C．y＝f(x)在区间上是减函数 D．将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度后，将与已知函数的图象重合 答案　ABC 解析　f(x)＝cos＋cos ＝cos－sin ＝cos， ∴f(x)max＝，故A正确； T＝＝＝π，故B正确； 由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)． 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 故f(x)的减区间为(k∈Z)． 当k＝0时，≤x≤，故C正确； 将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得y＝cos＝cos≠f(x)，故D不正确． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．设向量a，b夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________. 答案　11 解析　设a与b的夹角为θ，因为a与b夹角的余弦值为，则cos θ＝， 又|a|＝1，|b|＝3， 所以a·b＝|a||b|cos θ＝1×3×＝1， 所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11. 14．在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则两人都不感冒的概率是________，两人中有人患感冒的概率是________． 答案　0.2　0.8 解析　“有人感冒”这一事件包括甲、乙中有一人感冒和全都感冒，是两人都不感冒的对立事件， 设事件A：甲患感冒，事件B：乙患感冒． 则两人都不感冒这一事件的概率为 P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)] ＝0.4×0.5＝0.2， 则两人中有人患感冒这一事件的概率为 1－P()＝0.8. 15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝b，c2＝2b2(1－sin C)，则C＝________. 答案　 解析　∵c2＝2b2(1－sin C)，∴sin C＝1－， 又∵a＝b，由余弦定理可得， cos C＝＝1－＝sin C， ∴tan C＝1， ∵C∈(0，π)，∴C＝. 16．在正三棱锥S－ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S－ABC的体积为________，其外接球的表面积为________． 答案　　12π 解析　如图所示，在正三棱锥S－ABC中，取AC的中点N，连接BN，SN，则SN⊥AC，BN⊥AC，且SN∩BN＝N，SN，BN⊂平面SBN， 所以AC⊥平面SBN， 又SB⊂平面SBN， 所以AC⊥SB， 因为SB⊥AM，且AC∩AM＝A，AC，AM⊂平面SAC， 所以SB⊥平面SAC， 又SA，SC⊂平面SAC， 所以SB⊥SA且SB⊥SC， 所以AS＝BS＝SC＝2， 又AC＝AB＝2， 所以AS2＋SC2＝AC2， 即SA⊥SC，从而可知SA，SB，SC两两垂直，将其补为正方体，故正三棱锥S－ABC是棱长为2的正方体的一个角， VS－ABC＝VB－SAC＝××2×2×2＝， 其外接球直径2R＝2， 故外接球的表面积为4πR2＝12π. 四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)求a·b的值及|a＋b|的值； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)? 解　(1)由向量的数量积的运算公式， 可得a·b＝|a||b|cos 120°＝4×8× ＝－16， |a＋b|＝ ＝＝4. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)， 所以(a＋2b)·(ka－b) ＝ka2－2b2＋(2k－1)a·b＝0， 整理得16k－128＋(2k－1)×(－16)＝0， 解得k＝－7. 即当k＝－7时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 18．(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcos C＝csin B. (1)求角C的大小； (2)若c＝2，△ABC的面积为6，求△ABC的周长． 解　(1)由正弦定理＝，得 sin Bcos C＝sin Bsin C， 在△ABC中，因为sin B≠0， 所以cos C＝sin C， 故tan C＝， 又因为0<C<π，所以C＝. (2)由已知，得absin C＝6. 又C＝，所以ab＝24. 由已知及余弦定理， 得a2＋b2－2abcos C＝28， 所以a2＋b2＝52， 从而(a＋b)2＝100，即a＋b＝10， 又c＝2， 所以△ABC的周长为10＋2. 19．(12分)如图，在三棱锥A－BCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，AB＝AD，AE⊥BC. 求证：(1)EF∥平面ACD； (2)AE⊥CD. 证明　(1)因为在△BCD中，点E，F分别是BD，BC的中点， 所以EF∥CD， 又因为EF⊄平面ACD，CD⊂平面ACD， 从而EF∥平面ACD. (2)因为点E是BD的中点，且AB＝AD， 所以AE⊥BD， 又因为AE⊥BC，BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD， BC∩BD＝B，故AE⊥平面BCD， 因为CD⊂平面BCD， 所以AE⊥CD. 20．(12分)全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市．全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号．为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩(单位：分)如下表： 甲单位 87 88 91 91 93 乙单位 85 89 91 92 93 (1)根据表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好； (2)用简单随机抽样从乙单位5名职工中抽取2名，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率． 解　(1)甲＝＝90， 乙＝＝90， s＝×[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝， s＝×[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8， 显然甲＝乙，s<s，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对文明城市知识掌握得更好． (2)从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有样本点(用数对表示)为(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等．记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件A，则事件A包含的样本点为(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)，共5个． 由古典概型概率公式可知P(A)＝＝. 21．(12分)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，－sin x)，函数f(x)＝m·n＋. (1)若f ＝1，x∈(0，π)，求tan的值； (2)若f(α)＝－，α∈，sin β＝， β∈，求2α＋β的值． 解　(1)因为向量m＝(cos x，sin x)， n＝(cos x，－sin x)， 所以 f(x)＝m·n＋＝cos2x－sin2x＋ ＝cos 2x＋， 因为f ＝1，所以cos x＋＝1， 即cos x＝， 又x∈(0，π)，所以x＝， 所以tan＝tan ＝＝－2－. (2)因为f(α)＝－， 则cos 2α＋＝－， 即cos 2α＝－， 因为α∈，所以2α∈， 则sin 2α＝－＝－， 因为sin β＝，β∈， 所以cos β＝＝， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β ＝×－×＝. 又因为2α∈，β∈， 所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β＝. 22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，F在AD上且∠FCD＝30°. (1)求证：CE∥平面PAB； (2)若PA＝2AB＝2，求四面体P－ACE的体积． (1)证明　∵∠ABC＝∠ACD＝90°， ∠BAC＝∠CAD＝60°， ∴∠FDC＝30°， ∵∠FCD＝30°， ∴∠ACF＝60°， ∴AF＝CF＝DF， ∴F为AD的中点， ∵E为PD的中点， ∴在△PAD中，EF是中位线，可得EF∥PA. ∵EF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB. ∵∠BAC＝∠ACF＝60°， ∴CF∥AB. ∵CF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴CF∥平面PAB. ∵EF，CF是平面CEF内的两条相交直线， ∴平面CEF∥平面PAB. ∵CE⊂平面CEF， ∴CE∥平面PAB. (2)解　∵EF∥AP，EF⊄平面PAC，AP⊂平面PAC， ∴EF∥平面APC， ∵∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°， PA＝2AB＝2， ∴AC＝2AB＝2，CD＝＝2， ∴VP－ACE＝VE－PAC＝VF－PAC＝VP－ACF ＝S△ACF·PA＝×××2×2×2 ＝. ∴四面体P－ACE的体积为. 学科网（北京）股份有限公司 $$