期末检测试卷(1)-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

期末检测试卷(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．设(1＋i)(a＋bi)＝2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a＋bi|等于(　　) A．2 B. C．2 D. 答案　D 解析　由题意可知，a＋bi＝＝1－i， ∴a＝1，b＝－1， ∴3a＋bi＝3－i， ∴|3a＋bi|＝|3－i|＝. 2．某学校有高中学生1 000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为(　　) A．68 B．38 C．32 D．30 答案　D 解析　根据题意得，采用分层抽样在各层中的抽样比为＝， 则高二年级被抽取的学生人数是300×＝30. 3．某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下： 91　89　90　92　94　87　93　96　91　85　89　93　88　98　93 则这组数据的60%分位数、90%分位数分别为(　　) A．92,96 B．93,96 C．92.5,95 D．92.5,96 答案　D 解析　将这组数据按从小到大的顺序排列得 85　87　88　89　89　90　91　91　92　93　93　93　94　96　98 则15×60%＝9,15×90%＝13.5， 所以60%分位数为＝92.5,90%分位数为96. 4．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图的面积为(　　) A.π B.π C．3π D．4π 答案　A 解析　圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为2π的扇形，其面积S＝l·r＝×2π×＝π，所以圆锥的侧面展开图的面积为π. 5．已知函数f(x)＝cos4x－sin4x，下列结论中错误的是(　　) A．f(x)＝cos 2x B．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 C．f(x)的最小正周期为π D．f(x)的值域为[－，] 答案　D 解析　f(x)＝cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)·(cos2x－sin2x)＝cos 2x，故A正确；由定义可知f(x)＝cos 2x为偶函数，故B正确；由周期公式可得f(x)的最小正周期T＝＝π，故C正确；由余弦函数的性质可得f(x)＝cos 2x的值域为[－1,1]，故D错误． 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为(　　) A．4π B．2π C．π D. 答案　D 解析　由余弦定理得， b2＋c2－a2＝2bccos A，a＝1， 所以b2＋c2－1＝2bccos A， 又S＝bcsin A，4S＝b2＋c2－1， 所以有4×bcsin A＝2bccos A， 即sin A＝cos A，tan A＝1， 又0<A<π，所以A＝， 由正弦定理得，＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，得R＝， 所以△ABC外接圆的面积为. 7．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则·等于(　　) A. B. C. D．9 答案　D 解析　由题意∠ABC＝120°， ·＝2×2×cos 120°＝－2， ·＝(－)·(－) ＝(－)·(－) ＝2－·＋2＝×22－×(－2)＋22＝9. 8．已知tan θ是方程x2－6x＋1＝0的一根，则cos2等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵tan θ是方程x2－6x＋1＝0的一根， ∴tan2θ－6tan θ＋1＝0，则－＋1＝0， 可得sin2θ－6sin θcos θ＋cos2θ＝0， 可得sin θcos θ＝， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝， ∴cos2＝ ＝＝＝. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中的假命题是(　　) A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，α⊥β，则m⊥β C．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n 答案　ABC 解析　A中n可能在α内，A是假命题；B中m也可能在β内，B是假命题；m与n可能平行，C是假命题；m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β，若m⊂β，则由n⊥β得n⊥m，若m∥β，则β内有直线c∥m，而易知c⊥n，从而m⊥n，D是真命题． 10．下列化简正确的是(　　) A．cos 82°cos 22°＋sin 82°sin 22°＝ B．cos215°－sin215°＝ C.＝－ D．sin 15°sin 30°sin 75°＝ 答案　ABC 解析　cos 82°cos 22°＋sin 82°sin 22°＝cos(82°－22°)＝cos 60°＝，故A正确； cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故B正确； ＝tan(48°＋72°)＝tan 120°＝－，故C正确； sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin(90°－15°) ＝sin 15°·cos 15°＝sin 30°＝，故D不正确． 11．某市抽取了1 000名市民进行消防安全知识问卷调查，根据问卷得分制成的频率直方图如图所示，问卷得分分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，根据图中信息，下列说法正确的是(　　) A．图中a的值为0.01 B．得分在80分及以上的人数为250 C．这组数据的极差为50 D．这组数据中位数的估计值(精确到0.1)为71.7 答案　BD 解析　A选项，由(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005，故A错误； B选项，得分在80分及以上的人数为1 000×(0.02＋0.005)×10＝250，故B正确； C选项，因为这组数据的最大值与最小值无法确定，故C错误； D选项，由(0.005＋0.04)×10＝0.45<0.5， (0.005＋0.04＋0.03)×10＝0.75>0.5， 所以中位数x∈[70,80)， 所以(0.005＋0.04)×10＋0.03×(x－70)＝0.5， 解得x＝70＋≈71.7，故D正确． 12．已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC＝2，CD＝PC＝PD＝2.若点M为PC的中点，则下列说法正确的为(　　) A．BM⊥平面PCD B．PA∥平面MBD C．四棱锥M－ABCD外接球的体积为36π D．四棱锥M－ABCD的体积为6 答案　BC 解析　四棱锥P－ABCD如图所示， 因为侧面PCD⊥平面ABCD，侧面PCD∩平面ABCD＝CD，底面ABCD为矩形，BC⊥CD， 则BC⊥平面PCD. 过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误； 连接AC交BD于点O，则O为AC的中点， 又M为PC的中点，连接MO，则OM∥PA， 又MO⊂平面MBD，PA⊄平面MBD， 所以PA∥平面MBD，所以选项B正确； 四棱锥M－ABCD的体积是四棱锥P－ABCD的体积的. 取CD的中点N，连接PN， 易知△PCD为等边三角形， 则PN⊥CD，从而有PN⊥平面ABCD， 又PN＝3， 故四棱锥M－ABCD的体积 VM－ABCD＝××2×2×3＝12，所以选项D错误； 矩形ABCD中，易得AC＝6，OC＝3，ON＝， 在△PCD中求得NM＝PD＝， 因为BC⊥平面PCD，ON∥BC， 所以ON⊥平面PCD，即ON⊥NM， 在Rt△MNO中，MO＝＝3， 即OM＝OA＝OB＝OC＝OD， 所以O为四棱锥M－ABCD外接球的球心， 所以外接球的半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C正确． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知向量a＝(x，2)，b＝(2,1)，c＝(3，x)，若a∥b，则|b＋c|＝________. 答案　5 解析　因为a∥b， 所以x－2×2＝0，解得x＝4， 则 b＋c＝(2,1)＋(3,4)＝(5,5)， 所以|b＋c|＝5. 14．已知在三棱锥P－ABC中，若PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝BC，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为________． 答案　 解析　过点B作BD∥AC，且BD＝AC，连接AD， 则四边形ADBC为菱形，如图所示， ∴∠PBD(或其补角)即为异面直线PB与AC所成的角． 设PA＝AB＝AC＝BC＝a. ∴AD＝a，BD＝a， ∵PA⊥平面ABC， ∴PB＝PD＝＝a， ∴cos∠PBD＝ ＝＝. ∴异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 15．已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且每次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是________． 答案　 解析　设事件A为“甲射击一次命中目标”，事件B为“乙射击一次命中目标”，则A，B相互独立，停止射击时甲射击了两次，包括两种情况： ①甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击命中， 此时的概率为P(A)＝××＝； ②甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率为P(B)＝×××＝. 故停止射击时，甲射击了两次的概率是 ＋＝. 16．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝________；cos∠ABD＝________. 答案　　 解析　在△ABD中，由正弦定理得，＝，而AB＝4，∠ADB＝135°， AC＝＝5， sin∠BAC＝＝， cos∠BAC＝＝， 所以BD＝. cos∠ABD＝cos(∠BDC－∠BAC) ＝cos 45°cos∠BAC＋sin 45°sin∠BAC＝. 四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0)． (1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角； (2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围． 解　(1)a－b＝(1，)－(－2,0)＝(3，)， 所以a－b的坐标为(3，)． 设a－b与a之间的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 而0≤θ≤π，故θ＝. (2)因为a－tb＝(1，)－t(－2,0)＝(1＋2t，)， 所以|a－tb|＝＝， 所以当t＝－时，|a－tb|取最小值为， 当t＝1时，|a－tb|取最大值为2， 故|a－tb|的取值范围为[，2]． 18．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a2＋c2＝b2－ac. (1)求角B的大小； (2)若∠BAC的角平分线AD交BC于D，AD＝2，BD＝1，求sin∠BAC的值． 解　(1)∵a2＋c2＝b2－ac， ∴a2＋c2－b2＝－ac， 在△ABC中，由余弦定理可得 cos B＝＝＝－， ∵B∈(0，π)，∴B＝. (2)在△ABD中， 由正弦定理可得＝， ∴sin∠BAD＝＝＝， ∵∠BAC∈(0，π)，∠BAC的角平分线AD交BC于D， ∴∠BAD∈， ∴cos∠BAD＝＝， ∴sin∠BAC＝sin(2∠BAD) ＝2sin∠BAD·cos∠BAD＝. 19．(12分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量m＝(2－2sin A，sin A＋cos A)与n＝ (sin A－cos A，1＋sin A)共线，且·>0. (1)求角A的大小； (2)求函数y＝2sin2＋cos 的值域． 解　(1)由题意知， (2－2sin A)(1＋sin A)＝(sin A＋cos A)(sin A－cos A)， 得2(1－sin2A)＝sin2A－cos2A＝2sin2A－1， 即sin2A＝. 又A为△ABC的内角， 所以sin A＝. 由·>0知A为锐角， 所以A＝. (2)因为A＝， 所以B＋C＝， 所以y＝1－cos B＋cos ＝1＋sin B－cos B ＝1＋sin. 又0<B<， 所以－<B－<， 所以－<sin<1， 所以y∈. 故函数y＝2sin2＋cos 的值域为. 20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝AB. 求证：(1)AD∥平面PBC； (2)平面PBC⊥平面PAD. 证明　(1)∵BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD. ∵AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴AD∥平面PBC. (2)∵PA＝PB＝AB，满足PA2＋PB2＝AB2， ∴PA⊥PB. 由∠ABC＝90°知BC⊥AB. 又∵平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD， ∴BC⊥平面PAB. 又∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA. 又∵PB∩BC＝B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴PA⊥平面PBC. 又∵PA⊂平面PAD，∴平面PBC⊥平面PAD. 21．(12分)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下： A组：10,11,12,13,14,15,16； B组：12,13,15,16,17,14，a. 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙． (1)求甲的康复时间不少于14天的概率； (2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率． 解　设事件Ai为“甲是A组的第i个人”． 事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7. 由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1,2，…，7. (1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人或者第6人或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5＋A6＋A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝. (2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，由题意知C＝A4B1＋A5B1＋A6B1＋A7B1＋A5B2＋A6B2＋A7B2＋A7B3＋A6B6＋A7B6，因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝. 22．(12分)某企业进口优质大米向100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量(单位：吨)依次分为七组：[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]，得到频率直方图如图所示． (1)求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数； (2)在年平均销售量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240,260)，[260,280)，[280,300]的农贸市场中应各抽取多少家； (3)在(2)的条件下，再从这三组抽取的农贸市场中随机抽取2家参加该企业举办的宣传交流活动，求恰有1家在[240,260)内的概率． 解　(1)由直方图的性质得 (0.002 0＋0.002 5＋0.005 0＋x＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5)×20＝1， 解得x＝0.007 5， 由直方图可知，年平均销售量的众数是 ＝230. 因为(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＝0.45<0.5， (0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5)×20 ＝0.7>0.5， 所以年平均销售量的中位数在[220,240)内， 设中位数为a，则(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＋(a－220)×0.012 5＝0.5， 解得a＝224， 故年平均销售量的中位数为224，众数为230. (2)由直方图及(1)可知，年平均销售量为[220,240)的农贸市场有0.012 5×20×100＝25(家)，年平均销售量为[240,260)的农贸市场有0.007 5×20×100＝15(家)，年平均销售量为[260,280)的农贸市场有0.005 0×20×100＝10(家)，年平均销售量为[280,300]的农贸市场有0.002 5 ×20×100＝5(家)， 所以总体容量为25＋15＋10＋5＝55， 所以年平均销售量在[240,260)的农贸市场中应抽取11×＝3(家)，年平均销售量在[260,280)的农贸市场中应抽取11×＝2(家)，年平均销售量在[280,300]的农贸市场中应抽取11×＝1(家)，故年平均销售量在[240,260)，[260,280)，[280,300]的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家． (3)由(2)知年平均销售量在[240,260)的农贸市场中抽取3家，分别记为A，B，C；[260,280)的农贸市场中抽取2家，分别记为a，b；[280,300]的农贸市场中应抽取1家，记为α；从这6家随机抽取2家参加该企业举办的宣传交流活动有15种抽取方法，即{A，B}，{A，C}，{A，a}，{A，b}，{A，α}， {B，C}，{B，a}，{B，b}，{B，α}，{C，a}， {C，b}，{C，α}，{a，b}，{a，α}，{b，α}， 其中恰有1家在[240,260)内的有9种， 所以恰有1家在[240,260)内的概率P＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$