15.3.1 互斥事件-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

第1课时　互斥事件 [学习目标]　1.理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系.2.掌握互斥事件的概率加法计算公式． 导语 甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.那么如何计算甲获胜的概率呢？本节课我们就一起来学习一下吧！ 一、互斥事件与对立事件 问题1　在“抛掷骰子”的试验中，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是偶数”记为事件A.“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是3”记为事件B，事件A与事件B有何关系？ 提示　事件A与事件B不会同时发生即AB＝∅. 问题2　若记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为奇数”为事件C.事件A与事件C有何关系？ 提示　事件A与事件C不会同时发生，且在一次试验中，A与C一定有一个发生，即AC＝∅且A＋C＝Ω. 知识梳理 事件的关系 定义 表示法 图示 互斥事件 若事件A与B不可能同时发生．这时，我们称A，B为互斥事件 若AB＝∅，则称A，B为互斥事件 对立事件 互斥事件A，C中必有一个发生．这时，我们称A，C为对立事件，记作C＝或A＝ 若AC＝∅，并且A＋C＝Ω，则称A，C为对立事件 注意点： (1)事件A和事件B互斥并不意味着二者必须有一个发生． 事件A，B互斥，包含三种情况：①事件A发生，B不发生；②事件A不发生，B发生；③事件A不发生，B也不发生． (2)“对立”是“互斥”的充分不必要条件． 例1　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E. 解　(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件． (2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件． (3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件． (4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件． (5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件． 反思感悟　(1)要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件． (2)考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析． 跟踪训练1　判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由． 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中： (1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”； (2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”； (3)“至少有1名男生”和“全是男生”； (4)“至少有1名男生”和“全是女生”． 解　(1)是互斥事件． 理由：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件． (2)不是互斥事件． 理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果；“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，所以两事件可能同时发生． (3)不是互斥事件． 理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，与“全是男生”可能同时发生． (4)是互斥事件． 理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生． 二、互斥、对立事件的概率公式 问题3　问题1中的事件A与B有什么关系，二者的和事件A＋B的概率与A，B的概率有什么关系？ 提示　A与B互斥，P(A)＝，P(B)＝，P(A＋B)＝，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 问题4　问题2中的事件A与C有什么关系，二者的和事件A＋C的概率与A，C的概率有什么关系？ 提示　A与C对立，P(A)＝，P(C)＝，P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝1. 知识梳理 1．概率的加法公式 如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 2．概率的加法公式的推广 互斥事件可以推广到n个事件的情形(n∈N，n>2)：如果事件A1，A2，…，An中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件A1，A2，…，An两两互斥．如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 3．随机事件的概率还具有以下常用性质 (1)P()＝1－P(A)； (2)当A⊆B时，P(A)≤P(B)； (3)当A，B不互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)． 注意点： 概率加法公式中的事件A与B必须是互斥事件，否则公式不成立． 例2　如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是，取到方块(事件B)的概率是，问： (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？ (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？ 解　(1)因为C＝A＋B，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥， 所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝. (2)事件C与事件D互斥，且C＋D为必然事件， 因此事件C与事件D是对立事件， 所以P(D)＝1－P(C)＝. 反思感悟　只有当A，B互斥时，公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式P(A)＝1－P(B)才成立． 跟踪训练2　在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率： (1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩； (2)若60分以下为不及格，则小明考试及格的概率是多少？ 解　分别记小明的成绩在“90分及90分以上”，在“80～89分”，在“70～79分”，在“60～69分”为事件A，B，C，D，显然这四个事件彼此互斥． (1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69. (2)方法一　小明考试及格的概率是 P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93. 方法二　因为小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93. 三、概率公式的综合应用 例3　玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝. (1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率； (2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率． 解　(1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件， 所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. (2)方法一　“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＋＋＝. 方法二　“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A＋B＋C的对立事件为D， 所以P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－＝， 即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为. 反思感悟　复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率的加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求解． 跟踪训练3　从3名男生、2名女生中任选2人参加志愿者活动，求： (1)恰有一名女生的概率； (2)至少有一名男生的概率． 解　记3名男生分别为a，b，c,2名女生分别为m，n，从中任选2人，样本空间为Ω＝{ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn}， 所有样本点共有10个． (1)设A＝{恰有1名女生}＝{am，an，bm，bn，cm，cn}， 所以P(A)＝＝. (2)方法一　设B＝{至少有1名男生}＝{ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn}，所以P(B)＝. 方法二　设B＝{至少有1名男生}， 则＝{都是女生}＝{mn}， 所以P()＝， P(B)＝1－P()＝1－＝. 1．知识清单： (1)互斥事件与对立事件． (2)概率的加法公式． (3)对立事件的概率． 2．方法归纳：列举法、Venn图法、间接法． 3．常见误区： (1)忽略概率加法公式的应用前提． (2)互斥事件与对立事件混淆，公式混用． 1．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　) A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7 答案　C 解析　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3. 2．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是(　　) A．F与G互斥 B．E与G互斥但不对立 C．E，F，G任意两个事件均互斥 D．E与G对立 答案　D 解析　由题意得，事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C错误；事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B错误，D正确． 3．某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为和，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　“甲班取得冠军”和“乙班取得冠军”是两个互斥事件，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件，其概率为两个互斥事件的概率之和，即为＋＝. 4．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是，则该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是________． 答案　 解析　该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率为 P＝1－＝. 1．从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A表示 “所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是(　　) A．所取的3个球中至少有1个白球 B．所取的3个球中恰有2个白球、1个黑球 C．所取的3个球都是黑球 D．所取的3个球中恰有1个白球、2个黑球 答案　B 解析　从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则事件A的互斥事件为“所取的3个球中白球多于1个”，即“所取的3个球中恰有2个白球、1个黑球”． 2．许洋说：“本周我至少做完3套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为(　　) A．至多做完3套练习题 B．至多做完2套练习题 C．至多做完4套练习题 D．至少做完2套练习题 答案　B 解析　至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6，…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题． 3．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是(　　) A．[0,0.9] B．[0.1,0.9] C．(0,0.9] D．[0,1] 答案　A 解析　由于事件A和B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A＋B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9. 4．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，若“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为(　　) A．0.95 B．0.7 C．0.35 D．0.05 答案　D 解析　设事件A为“抽到一等品”，事件B为“抽到二等品”，事件C为“抽到不合格品”，因为事件A与B是互斥事件，所以P(A＋B)＝0.65＋0.3＝0.95，P(C)＝1－P(A＋B)＝0.05. 5．如果事件A，B互斥，那么(　　) A．A∪B是必然事件 B.∪是必然事件 C.与一定互斥 D.与 一定不互斥 答案　B 解析　A，B互斥，不一定是对立事件，故A不正确；当A，B不是对立事件时，与不互斥，故C不正确；当A，B是对立事件时，与也是对立事件，当然也是互斥事件，故D也不正确．另外，用集合表示方法中的“Venn图”来解决此题比较直观．如图所示，∪是必然事件． 6．(多选)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．则下列结论正确的是(　　) A．此人被评为优秀的概率为 B．此人被评为良好的概率为 C．此人被评为不合格的概率为 D．此人被评为良好及以上的概率为 答案　ACD 解析　将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的样本点为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10个．令D表示“此人被评为优秀”的事件，E表示“此人被评为良好”的事件，F表示“此人被评为不合格”的事件，G表示“此人被评为良好及以上”的事件．则事件D含(1,2,3)，只有1个样本点，事件E含(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，共6个样本点． 故P(D)＝，P(E)＝， P(F)＝1－P(D)－P(E)＝， P(G)＝P(D)＋P(E)＝. 7．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． 答案　 解析　由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为＋＝. 8．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________，任取出2粒恰好不同色的概率是________． 答案　　 解析　易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求2粒恰好同色的概率为＋＝，不同色的概率为1－＝. 9．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示： 命中环数 10 9 8 7 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该射击队员在一次射击中： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率． 解　记事件“射击一次， 命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)， 则事件Ak之间彼此互斥． (1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A， 那么当A9，A10之一发生时，事件A发生， 由互斥事件概率的加法公式得 P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6. (2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B， 那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生， 由互斥事件概率的加法公式得 P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10) ＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78. (3)设“射击一次命中不足8环”为事件C， 由于事件C与事件B互为对立事件， 故P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22. 10．袋中有红、黄、白3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次，求： (1)3个球颜色全相同的概率； (2)3个球颜色不全相同的概率． 解　(1)“3个球颜色全相同”有可能是这样的三种情况： “3个球全是红球”(事件A)； “3个球全是黄球”(事件B)； “3个球全是白球”(事件C)， 故“3个球颜色全相同”这个事件可记为A＋B＋C. 由于事件A，B，C不可能同时发生， 因此它们是互斥事件， 再由于红、黄、白球个数一样，有放回地抽取3次共有27种结果， 故不难得到P(A)＝P(B)＝P(C)＝， 故P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝. 故3个球颜色全相同的概率为. (2)记“3个球颜色不全相同”为事件D， 则事件为“3个球颜色全相同”， 显然事件D与是对立事件， 且P()＝P(A＋B＋C)＝. 所以P(D)＝1－P()＝1－＝. 故3个球颜色不全相同的概率为. 11．(多选)下列四种说法，其中错误的是(　　) A．对立事件一定是互斥事件 B．若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B) C．若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件 答案　BCD 解析　对立事件一定是互斥事件，故A对； 只有A，B为互斥事件时才有 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，故B错； 因为A，B，C并不一定包括随机试验中的全部样本点， 故P(A)＋P(B)＋P(C)并不一定等于1，故C错； 若A，B不互斥，尽管P(A)＋P(B)＝1， 但A，B也不是对立事件，故D错． 12．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝. 13．从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥但不对立的两个事件是(　　) A．至少有一个红球，至少有一个白球 B．恰有一个红球，都是白球 C．至少有一个红球，都是白球 D．至多有一个红球，都是红球 答案　B 解析　对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件． 14．现有8名翻译人员，其中A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语、韩语的翻译人员各一人组成一个翻译小组，则B1和C1不全被选中的概率为________． 答案　 解析　用列举法可求出样本点总数为18， 若N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于由(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个样本点组成． ∴P()＝＝，∴P(N)＝1－P()＝. 15．抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P(A＋B)＝________. 答案　 解析　方法一　将事件A＋B分成“出现1,2,3”和“出现5”这两个事件，记“出现1,2,3”为事件C，“出现5”为事件D，则C与D两个事件互斥，所以P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝. 方法二　事件AB为“出现的数为1或3”， 故P(AB)＝(A，B不互斥)， 所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) ＝＋－＝. 16．袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是. (1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率； (2)从中任取一球，求得到的不是红球或绿球的概率． 解　(1)从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则A，B，C，D为互斥事件， 则P(A)＝，P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝， P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝， P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D) ＝1－P(A)＝1－＝. 联立 解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝， 故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，，. (2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件A＋D， 由(1)得P(A＋D)＝P(A)＋P(D) ＝＋＝， 故得到的不是红球或绿球的概率 P＝1－P(A＋D)＝1－＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$