第9章 平面向量 章末检测试卷-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

章末检测试卷一(第9章) (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．若＝(1，－2)，＝(－1,3)，则的坐标为(　　) A．(0,1) B．(2,－5) C．(－2,5) D．(2,5) 答案　C 解析　因为＝(1，－2)，＝(－1,3)， 所以＝－＝(－1,3)－(1，－2)＝(－2,5)． 2．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)， 所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)， 则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1. 3．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则锐角α等于(　　) A．30° B．60° C．45° D．75° 答案　A 解析　∵a∥b，∴sin2α＝×＝， ∴sin α＝±. 又∵α为锐角，∴sin α＝，∴α＝30°. 4.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于(　　) A．2 B. C. D. 答案　D 解析　设||＝x， 则||＝x， ·＝(＋)·＝· ＝||||cos∠ADB ＝x·1·＝. 5．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在向量上的投影向量的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　＝(2,2)，＝(－1,3)，||＝，·＝－2＋6＝4， 则向量在向量上的投影向量为 ·＝. 6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋(λ∈R)，则λ的值为(　　) A．1 B. C. D. 答案　D 解析　如图，过点C作CE⊥x轴于点E. 由||＝2，且∠AOC＝， 得|O|＝|C|＝2， 所以＝＋＝λ＋， 即＝λ， 所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝. 7．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由(a－b)⊥(3a＋2b)， 得(a－b)·(3a＋2b)＝0， 即3a2－a·b－2b2＝0.∵|a|＝|b|， 设a与b的夹角为θ， ∴3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0， ∴|b|2－|b|2cos θ－2|b|2＝0， ∴cos θ＝. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 8．在△ABC中，AB＝，BC＝2，∠B＝150°，点D是AC边上的一点(包括端点)，点M是AC的中点，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D．[0,1] 答案　B 解析　因为点M是AC的中点， 所以＝＋， 因为点D是AC边上的一点(包括端点)， 所以＝λ，λ∈[0,1]， 即－＝λ－λ， ＝λ＋(1－λ)， 则·＝·[λ＋(1－λ)] ＝λ2＋·＋(1－λ)2. 因为AB＝，BC＝2，∠B＝150°， 所以2＝3，·＝－3，2＝4， 所以·＝－λ. 因为0≤λ≤1，则0≤－λ≤. 故·的取值范围是. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．下列四式可以化简为的是(　　) A.＋(＋) B．(＋)＋(－) C.＋－ D.＋－ 答案　ABC 解析　A项中，＋(＋)＝(＋)－＝－＝； B项中，(＋)＋(－)＝(－)＋(＋)＝； C项中，＋－＝－＝； D项中，＋－＝－≠. 10．对于任意的平面向量a，b，c，下列说法中错误的是(　　) A．若a∥b且b∥c，则a∥c B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c C．若a·b＝a·c，且a≠0，则|b|＝|c| D．(a·b)c＝a(b·c) 答案　ACD 解析　选项A中，若b＝0，则此说法不成立； 选项C中，若a和b，c都垂直，显然b，c在模长方面没有任何关系，所以此说法不成立； 选项D中，(a·b)c是一个与向量c共线的向量，而a(b·c)是一个与向量a共线的向量，所以等号不成立；B显然成立． 11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　) A．若＝＋，则点M是边BC的中点 B．若＝2－，则点M在线段BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 答案　ACD 解析　A项，＝＋⇒－＝－，即＝， 则点M是边BC的中点，所以A正确； B项，＝2－⇒－＝－，即＝，则点M在线段CB的延长线上，所以B错误． C项如图，设BC的中点为D， 则＝－－＝＋＝2，由重心性质可知C成立． D项，＝x＋y， 且x＋y＝⇒2＝2x＋2y，2x＋2y＝1， 设＝2， 所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1， 可知B，C，D三点共线， 所以△MBC的面积是△ABC面积的，所以D正确． 12．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的值可能为(　　) A.－1 B．1 C. D．2 答案　AB 解析　因为a，b，c均为单位向量， 且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0， 所以a·b－c·(a＋b)＋c2≤0， 所以c·(a＋b)≥1， 所以|a＋b－c|＝ ＝ ＝≤＝1， 所以选项C，D不正确，故选A，B. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________. 答案　 解析　∵向量a，b不平行， ∴a＋2b≠0. 又λa＋b与a＋2b平行， ∴存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立， 即λa＋b＝μa＋2μb， ∴∴λ＝μ＝. 14．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝________. 答案　 解析　设c＝(x，y)， 则c＋a＝(x＋1，y＋2)． 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)， ∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.② 联立①②，解得x＝－，y＝－. ∴c＝. 15.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________ J，重力对物体m所做的功为________ J(g＝9.8 m/s2)． 答案　0　98 解析　物体m的位移大小为 |s|＝＝(m)， 则支持力对物体m所做的功为 W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)； 重力对物体m所做的功为 W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)． 16.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过O点的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则mn的最大值为________． 答案　1 解析　∵O是BC的中点，∴＝(＋)． 又＝m，＝n， ∴＝＋. 又M，O，N三共点线，∴＋＝1， 即m＋n＝2，∴mn≤2＝1， 当且仅当m＝n＝1时，等号成立， 故mn的最大值为1. 四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.用a，b表示，，，，. 解　如图，延长AD到点G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC. 则＝a＋b， ＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)， ＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)， ＝－＝b－a. 18．(12分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|. 解　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3， 所以64－4a·b－27＝61， 所以a·b＝－6， 所以cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，所以θ＝. (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a＋b|＝. 19．(12分)已知在△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE. 证明　以C为坐标原点，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设A(a,0)，B(0，a)，E(x，y)． ∵D是BC的中点，∴D. 又∵＝2， 即(x－a，y)＝2(－x，a－y)， ∴解得x＝，y＝a. ∵＝－(a,0)＝，＝， ∴·＝－a×＋a×＝－a2＋a2＝0. ∴⊥，即AD⊥CE. 20．(12分)在△ABC中，已知A(2,4)，B(－1，－2)，C(4，3)，AD⊥BC于点D. (1)求点D的坐标； (2)求证：AD2＝BD·DC. (1)解　设D点坐标为(x，y)， 则＝(x－2，y－4)，＝(5,5)， ＝(x＋1，y＋2)． 因为AD⊥BC，所以·＝0， 即5(x－2)＋5(y－4)＝0. 所以x＋y＝6.① 又因为B，D，C三点共线，所以∥， 所以5(x＋1)－5(y＋2)＝0， 所以x－y＝1.② 联立①②，解得 所以点D的坐标为. (2)证明　由(1)得，＝， ＝，＝， 所以AD2＝||2＝＋＝， BD＝||＝＝， DC＝||＝＝， 即AD2＝BD·DC. 21．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t). (1)若⊥a，且||＝||，求向量； (2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值为4时，求·. 解　(1)＝(n－8，t)， ∵⊥a，∴8－n＋2t＝0. 又∵||＝||， ∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2， 解得t＝±8， ∴＝(24,8)或＝(－8，－8)． (2)＝(ksin θ－8，t)． ∵与a共线，∴t＝－2ksin θ＋16. ∵tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2k2＋， ∵k>4，∴1>>0， 当sin θ＝时，tsin θ取最大值为. 由＝4，得k＝8， 又0≤θ≤，∴此时θ＝，t＝8，＝(4,8)， ∴·＝8×4＋0×8＝32. 22．(12分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P. (1)用和分别表示和； (2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值； (3)在(2)的条件下，确定点P在边BC上的位置． 解　(1)由＝， 可得＝＋＝－＋. ∵＝，∴＝＋＝－＋. (2)将＝－＋，＝－＋ 代入＝＋λ＝＋μ， 则有＋λ＝＋μ， 即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)， ∵与不共线， ∴解得 (3)设＝m，＝n. 由(2)知＝＋， ∴＝－＝n－ ＝n－ ＝＋ ＝m＝m－m， ∵与不共线， ∴解得 ∴＝，即＝2， ∴点P是BC的三等分点且靠近点C处． 学科网（北京）股份有限公司 $$