9.3.2.2 向量数量积的坐标表示-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

第2课时　向量数量积的坐标表示 [学习目标]　1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 导语 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 一、向量数量积的坐标表示 问题1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，a＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？ 提示　由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2. 由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8＝3×2＋2×1；a·b＝x1x2＋y1y2. 知识梳理 向量数量积的坐标表示 若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．则a·b＝x1x2＋y1y2. 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 注意点： 向量数量积的坐标表示适用于任意向量． 例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 答案　B 解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)， 所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·的值是________． 答案　 解析　以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ∵AB＝，BC＝2， ∴A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)． ∵点E在边CD上，且＝2， ∴E， ∴＝，＝， ∴·＝－＋4＝. 反思感悟　数量积坐标运算的技巧 (1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2＝a·a. ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. ③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积． 跟踪训练1　(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， 所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)， 则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1. (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________. 答案　 解析　如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立直角坐标系，则 B(2,0)，E(1,2)，C(2,2)，F， ∴＝(－1,2)，＝. ∴·＝2－＝. 二、向量的模 问题2　设向量a＝(x，y)，你能由两向量数量积的坐标表示求|a|吗？ 提示　能，a2＝a·a＝x2＋y2，所以|a|＝. 问题3　对于平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何用向量推导A，B两点间的距离． 提示　由A(x1，y1)，B(x2，y2)， ＝(x1－x2，y1－y2)， 2＝·＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2， 得||＝， 即AB＝. 知识梳理 1．向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝. 2．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝. 注意点： (1)求模时，勿忘记开方． (2)两点间的距离公式也可表示为AB＝. 例2　已知向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)． (1)求a－2b及其模的大小； (2)若c＝a－(a·b)b，求|c|. 解　(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)， ∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， ∴|a－2b|＝＝. (2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1,6)， ∴|c|＝＝. 反思感悟　求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 跟踪训练2　已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　) A. B. C．5 D．25 答案　C 解析　∵a＝(2,1)，∴a2＝5， 又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50， 即a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. 三、向量的夹角与垂直问题 知识梳理 向量的夹角 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，由向量数量积的定义，可得cos θ＝＝. 特别地，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 注意点： a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0的前提条件是a，b均不为零向量． 例3　已知向量＝(－1,3)，＝(1，t)，若(－2)⊥. (1)求向量与的夹角θ； (2)求点A到直线OB的距离． 解　(1)因为＝(－1,3)，＝(1，t)， 所以－2＝(－3,3－2t)， 因为(－2)⊥， 所以(－2)·＝(－3)×(－1)＋(3－2t)×3＝0，解得t＝2， 所以·＝(－1)×1＋3×2＝5， ||＝，||＝， 所以cos θ＝＝＝， 所以θ＝45°. (2)点A到直线OB的距离为 d＝||sin∠AOB＝×＝. 反思感悟　解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法： 由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 跟踪训练3　(1)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　) A．2 B. C．0 D．－ 答案　B 解析　因为a＝(1，)，b＝(3，m)． 所以|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m， 又a，b的夹角为， 所以cos ＝，即＝， 所以＋m＝，解得m＝. (2)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　由向量λa＋b与a－2b垂直，得 (λa＋b)·(a－2b)＝0. 因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)， 所以λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)， 所以(λa＋b)·(a－2b)＝(－3λ－1)×(－1)＋2λ×2＝0， 即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－. 1．知识清单： (1)向量数量积的坐标表示． (2)用坐标表示向量的模及夹角． (3)向量垂直的坐标表示． 2．方法归纳：坐标法． 3．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错． 1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 答案　A 解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3. 2．已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a，b的夹角θ等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　cos θ＝＝＝－， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　) A．1 B. C．2 D．4 答案　C 解析　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0， ∴n2＝3，∴|a|＝＝2. 4．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于(　　) A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3) 答案　A 解析　由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)， 则|b|＝＝|λ|＝3， 又λ<0， ∴λ＝－3，故b＝(－3,6)． 1．已知a＝(1,2)，b＝(4,3)，则(a－b)·b等于(　　) A．－30 B．－15 C．－10 D．5 答案　B 解析　因为a＝(1,2)，b＝(4,3)， 所以a－b＝(－3，－1)， 所以(a－b)·b＝(－3)×4＋(－1)×3＝－15. 2．已知A(0，－1)，B(0,3)，则||等于(　　) A．2 B. C．4 D．2 答案　C 解析　因为A(0，－1)，B(0,3)， 所以＝(0,4)， 则||＝4. 3．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设a，b的夹角为θ，∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5， ∴cos θ＝＝＝. 又∵θ∈[0，π]， ∴a与b的夹角为. 4．(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是(　　) A．|a|＝b2 B．a·b＝0 C．a＝2b D．(a－b)⊥b 答案　AD 解析　|a|＝b2＝2，故A正确；B，C显然错误； ∵a－b＝(1，－1)， ∴(a－b)·b＝1－1＝0，故D正确． 5．已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　∵＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)， ＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)， ∴·＝21－21＝0， ∴⊥. 则∠A＝90°， 又||≠||， ∴△ABC为直角三角形． 6．设点A(4,2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵四边形OABC是平行四边形， ∴＝，即(4－0,2－0)＝(a－2,8－a)， ∴a＝6，∵＝(4,2)，＝(2,6)， 设向量与的夹角为θ， ∴cos θ＝＝＝， 又θ∈(0，π)，∴与的夹角为. 7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb，若a⊥c，则k＝________. 答案　－ 解析　由已知得c＝(3,1)＋k(1,0)＝(3＋k，1)， 因为a⊥c，所以a·c＝0， 所以3(3＋k)＋1＝0，解得k＝－. 8．设向量a＝(m，1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________，|a＋b|＝________. 答案　－2　 解析　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0， 即m＋2＝0，解得m＝－2. 所以a＋b＝(－1,3)， 所以|a＋b|＝. 9．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)． (1)设c＝4a＋b，求(b·c)a； (2)若a＋λb与a垂直，求λ的值． 解　(1)∵c＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)， ∴b·c＝(2，－2)·(6,6)＝2×6－2×6＝0， ∴(b·c)a＝0·a＝0. (2)∵a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(1＋2λ，2－2λ)， (a＋λb)⊥a， ∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝. 10．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值． (1)证明　∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， ∴＝(1,1)，＝(－3,3)， ∴·＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴⊥，即AB⊥AD. (2)解　∵四边形ABCD为矩形， ∴＝. 设点C的坐标为(x，y)， 则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)， ∴解得∴C点坐标为(0,5)． 则＝(－2,4)，＝(－4,2)， ∴·＝8＋8＝16，||＝2，||＝2. 设与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， ∴矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值为. 11．已知向量a＝(3,0)，b＝(0,1)．若a－λb与2a＋b共线，则实数λ的值为(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 答案　D 解析　由题意知，a－λb＝(3，－λ)，2a＋b＝(6,1)． ∵a－λb与2a＋b共线， ∴设a－λb＝μ(2a＋b)，即(3，－λ)＝μ(6,1)， 则解得 12．(多选)已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k等于(　　) A．－1＋ B．－2 C．－1－ D．1 答案　AC 解析　∵ka－b＝(k，k＋2)，a＋b＝(1，－1)， ∴|ka－b|＝， |a＋b|＝＝， (ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2， 又ka－b与a＋b的夹角为120°， ∴cos 120°＝， 即－＝， 化简并整理，得k2＋2k－2＝0， 解得k＝－1±. 13．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3,0)，则|2a－b|的最大值和最小值分别是(　　) A．4，0 B．4,2 C．25,1 D．5,1 答案　D 解析　|2a－b|＝＝ ＝＝. ∵cos θ∈[－1,1]． ∴13－12cos θ∈[1,25]，∴|2a－b|∈[1,5]，故选D. 14．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________． 答案　(－∞，－1)∪(－1,1) 解析　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)， ∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1. 又∵a，b的夹角α为钝角， ∴即 ∴λ<1且λ≠－1. ∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)． 15．已知＝(2,2)，＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使·有最小值，则P点的坐标为________． 答案　(3,0) 解析　设P(x，0)， 所以·＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 当x＝3时，·有最小值，此时P(3,0)． 16．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ)． (1)求·及在上的投影向量； (2)证明A，B，C三点共线，且当＝时，求λ的值； (3)求||的最小值． 解　(1)·＝8.设与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， ∴在上的投影向量为(||cos θ)·＝4××＝＝(1，)． (2)＝－＝(－2,2)， ＝－＝(1－λ)－(1－λ)＝(λ－1)， 又∵与有公共点B，λ2≠λ， ∴A，B，C三点共线． 当＝时，λ－1＝1，∴λ＝2. (3)||2＝(1－λ)22＋2λ(1－λ)·＋λ22＝16λ2－16λ＋16＝162＋12， ∴当λ＝时，||取得最小值2. 学科网（北京）股份有限公司 $$