9.2.3.1 向量的数量积(1)-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

9.2.3　向量的数量积 第1课时　向量的数量积(一) [学习目标]　1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会计算平面向量的数量积． 导语 我们已学习了向量的线性运算：加法和减法以及数乘，它们运算的结果还是一个向量，今天我们研究向量与向量能否“相乘”呢？ 一、向量的数量积 问题1　一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？功是力F和位移s的乘积吗？ 提示　如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W＝|F|·|s|·cos θ.功是一个数量，它由力和位移两个向量所确定，它不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量的夹角有关，是一种新的运算． 知识梳理 1．向量数量积 定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．两个非零向量a和b的夹角θ，可以由cos θ＝求得． 3．平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 注意点： (1)0·a＝0. (2)a·b结果为数量，符号由夹角的余弦值决定． (3)数量积a·b也称为“内积”或“点积”，中间的点不能省略，也不能写为“×”． 例1　已知正△ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解　(1)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)∵与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－. (3)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 反思感悟　定义法求平面向量的数量积 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ. 运用此方法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 跟踪训练1　(1)若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于(　　) A．－3 B．－6 C．6 D．2 答案　B 解析　a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×＝－6. (2)已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为(　　) A．60° B．120° C．135° D．150° 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－， 又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 二、投影向量 问题2　若a，b是两个非零向量，＝a，＝b，如图，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，记，能否用a，b表示呢？ 提示　能.与共线，其方向与模可由a，b的模及夹角确定． 知识梳理 1．定义：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量． 2．向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos θ). 3．向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积． 注意点： (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量． (2)a与b平行时，a在b上的投影向量是其本身；a⊥b时，a在b上的投影向量为0. 例2　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影向量． 解　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×＝－10. (2)a在b上的投影向量为 (|a|cos θ)＝5×cos 120°×b＝－b. 延伸探究　本例(2)改为求b在a上的投影向量． 解　∵|a|＝5，∴＝a， ∴b在a上的投影向量为 (|b|cos θ)·＝4cos 120°×a＝－a. 反思感悟　投影向量的求法 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定． 跟踪训练2　(1)已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b上的投影向量． 解　∵cos θ＝＝＝， ∴a在b上的投影向量为 (|a|cos θ)＝12××b＝b. (2)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a＋b)，则向量a在b方向上的投影向量为(　　) A．－b B.b C.b D．－b 答案　D 解析　设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由a⊥(a＋b)， 则a·(a＋b)＝a2＋a·b＝12＋1××cos θ＝0， 可得cos θ＝－，则|a|cos θ＝－， 又|b|＝， 所以向量a在b方向上的投影向量为 (|a|cos θ)·＝－b. 1．知识清单： (1)向量的数量积． (2)投影向量． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：在计算向量夹角大小时两向量要共起点． 1．在等腰Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　) A．－2 B．2 C．－2 D．2 答案　B 解析　·＝||||cos∠ABC＝2××cos 45°＝2. 2．下列命题中正确的为(　　) A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c C．若|a|＝2，|b|＝4，且a与b的夹角为，则a在b方向上的投影向量为b D．若a∥b，则一定存在实数λ，使得b＝λa 答案　C 解析　对于A，向量的模相等不能推出向量相等，故A错误； 对于B，当|a|＝2，|c|＝2，〈a，b〉＝， 〈c，b〉＝时，a·b＝2|b|cos ＝|b|＝c·b＝2|b|cos ＝|b|， 此时a与c不相等，故B错误； 对于C，a在b方向上的投影向量为 |a|cos ·＝b，故C正确； 对于D，当a＝0，b为非零向量时，a∥b，但不存在实数λ，使得b＝λa，故D错误． 3．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是(　　) A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C．若a⊥b，则a·b＝0 D．|a|＝ 答案　AB 解析　a·b＝0，则a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2， 所以|a|＝，所以D正确． 4．在△ABC中，已知＝a，＝b，当a·b<0时，△ABC的形状为________．(填“锐角三角形”“直角三角形”“钝角三角形”) 答案　钝角三角形 解析　因为a·b<0，所以a·b＝||||cos A<0. 所以cos A<0，即∠A为钝角， 故△ABC为钝角三角形. 1．若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b等于(　　) A．6 B．6 C．－6 D．－6 答案　C 解析　a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×＝－6. 2．在△ABC中，AB＝5，BC＝2，∠B＝60°，则·的值为(　　) A．5 B．5 C．－5 D．－5 答案　D 解析　∵AB＝5，BC＝2，∠B＝60°， ∴·＝5×2×cos(180°－60°)＝10×＝－5. 3．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　) A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案　C 解析　由＝，得四边形ABCD为平行四边形，由·＝0，得AB⊥BC，所以四边形ABCD是矩形． 4．(多选)若|a|＝1，|b|＝2，则|a·b|的值可能是(　　) A．0 B. C．2 D．3 答案　ABC 解析　由向量的数量积性质|a·b|≤|a|·|b|＝2，可知ABC正确． 5．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　) A．3 B. C．2 D. 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ， ∵(|a|cos θ)＝b， ∴(|a|cos θ)＝，∴|a|cos θ＝， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝. 6．(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是(　　) A．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 B．|a·b|＝|a||b| C．λ(a＋b)＝λa＋λb D．|a·b|≤|a||b| 答案　ACD 解析　选项B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误． 7.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值是________． 答案　－1 解析　方法一　·＝||||cos(180°－∠B)＝－||||cos B ＝－||||＝－||2＝－1. 方法二　||＝1，即为单位向量，·＝－·＝－||||cos B，而||·cos B＝||，所以·＝－||2＝－1. 8．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________． 答案　 解析　设a与b的夹角为θ，由题意知|a|＝|b|＝1， 则cos θ＝＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 9．已知|a|＝3，|b|＝5，设a，b的夹角为θ，当θ分别等于60°，135°时，求a在b上的投影向量，并图示其意义． 解　当θ＝60°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)·＝3cos 60°·＝b； 当θ＝135°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)＝3cos 135°·＝－b，如图，表示a，表示b，过点A作所在直线的垂线，垂足为A1，则即为a在b上的投影向量． 10．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求： (1)·； (2)在方向上的投影向量； (3)在方向上的投影向量． 解　∵AC2＋BC2＝AB2. ∴△ABC为直角三角形，且C＝90°. ∴cos A＝＝，cos B＝＝. (1)·＝－·＝－5×4×＝－16. (2)在方向上的投影向量为||cos〈，〉·＝3××＝. (3)在方向上的投影向量为||cos〈，〉·＝5××＝－. 11．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确的是(　　) A．cos θ>0⇔e1·e2>0 B．若e1∥e2，则e1·e2＝1 C．若e1∥e2，则e1·e2＝－1 D．|e1·e2|≤1 答案　AD 解析　∵e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ， ∴若cos θ>0，则e1·e2>0； 若e1·e2>0，则必有cos θ>0，故A正确； e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2＝1；当e1，e2反向时，e1·e2＝－1，故B，C错误； |e1·e2|≤|e1||e2|＝1，故D正确． 12．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 答案　D 解析　由题意知∠ABC＝90°， ∴原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20×－15×＝－16－9＝－25. 13．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 答案　A 解析　cos θ＝＝＝－， ∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴|a×b|＝2×5×＝8. 14.如图，AB是圆C的弦，设＝a，＝b，则向量在向量上的投影向量为________．(用a或b表示) 答案　 解析　如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，连接CB，则向量在向量上的投影向量为.因为CA＝CB，所以D是AB的中点， 所以＝＝. 15．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________． 答案　90° 解析　由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中， 因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|， 所以∠ABO＝30°， OA⊥OB， 即向量a与c的夹角为90°. 16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量； (2)求·的取值范围． 解　(1)由已知可得＝， 连接BM，AM(图略)，易知四边形OAMB是菱形，则＝＋， 所以＝－＝－(＋)＝－－. (2)易知△MBD≌△MOC，故∠MCO与∠MDO互补， 所以∠DOC与∠DMC互补，故∠DMC＝60°， 且||＝||， 那么只需求MC的最大值与最小值即可． 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 当MC与MO或MA重合时，MC最大， 此时MC＝1， 则·＝1×1×cos 60°＝. 所以·的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$