9.2.2 向量的数乘-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

9.2.2　向量的数乘 [学习目标]　1.了解向量数乘的概念并理解其几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 导语 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学习的向量的数乘运算． 一、向量的数乘及其几何意义 问题1　如图，已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样？ 　 提示　＝＋＋＝a＋a＋a＝3a. ＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a. 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍． 知识梳理 1．一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)若a≠0，则当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反． 实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘． 特别地，当λ＝0时，0a＝0； 当a＝0时，λ0＝0. 2．向量数乘λa的几何意义是：当λ>0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小；当λ<0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小． 注意点： (1)向量数乘的结果仍是向量． (2)实数λ与向量不能相加． 例1　如图，已知向量a与b，求作向量3a－b. 解　作向量＝3a，＝b，则即为所求向量，如图． 反思感悟　λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模． 跟踪训练1　(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是(　　) A．λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B．λ＝0时，λa与a是共线向量 C．|λa|＝λ|a| D．λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 答案　ABD 解析　对于A，根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λa＝0,0与a是共线向量，故B正确；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；对于C，|λa|＝|λ||a|，故C错误． 二、向量数乘的运算 问题2　已知a(a≠0)，求作3(2a)和6a，并进行比较． 提示　 3(2a)＝6a. 问题3　如图，已知向量a，b，求作向量2(a＋b)和2a＋2b，并进行比较． 提示　如图，作＝a，＝b，＝a＋b， ＝2(a＋b)． 作＝2b，＝2a，＝2(a＋b)． 则2(a＋b)＝2a＋2b. 知识梳理 1．向量数乘的运算律 设a，b为向量，λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 例2　(1)若a＝2b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)． 解　原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c. (2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________. 答案　a－b＋c 解析　将原等式变形为 2y－a－c－b＋y＋b＝0， 即y－a－c＋b＝0， 则y＝a－b＋c， 所以y＝＝a－b＋c. 反思感悟　向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算． 跟踪训练2　(1)计算：(a＋b)－3(a－b)－8a. 解　(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b. (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，化简－＋(2b－a)． 解　原式＝a－b－a＋b＋2b－a ＝a＋b ＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j) ＝－i－5j. 三、向量共线定理 问题4　观察a＝m－n，b＝－2m＋2n有何关系． 提示　因为b＝－2a，所以a与b平行． 问题5　若向量a与b为平行向量，能否得出b＝λa或a＝λb? 提示　若a，b都为非零向量可以，若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，仅能存在λ＝0使得a＝λb，同理若b＝0，a≠0，情况类似． 知识梳理 一般地，对于两个向量a(a≠0)，b，有如下的向量共线定理： 设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa. 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 注意点： 条件a≠0不能去掉． 例3　设a，b是不共线的两个向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b， 求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值． (1)证明　∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2， ∴与共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线． (2)解　∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， ∵a与b不共线，∴ 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 反思感悟　(1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 跟踪训练3　已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________． 答案　A，B，D 解析　∵＝e1＋2e2， ＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2， ∴，共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线． 四、向量线性运算的应用 例4　(1)如图，已知O为直线AB外一点，点C在直线AB上，且＝λ(λ≠－1)． 求证：＝. 证明　因为＝－，＝－， 又＝λ， 所以－＝λ(－)， 即(1＋λ)＝＋λ， 又因为λ≠－1，即1＋λ≠0. 所以＝. 延伸探究　本例中当λ＝1时你能得到什么结论？ 解　当λ＝1时，可得＝，C为线段AB的中点． (2)在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 答案　D 解析　示意图如图所示， 由题意可得 ＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋. 反思感悟　用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 跟踪训练4　如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a－b B.a＋b C．a＋b D．a－b 答案　D 解析　因为E是BC的中点， 所以＝＝－＝－b， 所以＝＋＝＋＝a－b. 1．知识清单： (1)向量的数乘及运算律． (2)向量共线定理． 2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法． 3．常见误区：忽视零向量这一个特殊向量；注意0a＝0，而不是0. 1．(多选)下列运算正确的是(　　) A．(－3)·2a＝－6a B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0 D．2(3a－b)＝6a－2b 答案　ABD 解析　根据向量数乘运算和加减运算规律知A，B，D正确；C中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误． 2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　　) A.(a－b) B．－(a－b) C.(a＋b) D．－(a＋b) 答案　C 解析　因为M是BC的中点，所以＝(a＋b)． 3．已知a，b是不共线的两个向量，若＝a＋2b，＝2a＋3b，＝b，则(　　) A．O，A，B三点共线 B．O，A，C三点共线 C．O，B，C三点共线 D．A，B，C三点共线 答案　D 解析　由＝－＝2a＋3b－(a＋2b)＝a＋b， ＝－＝b－(a＋2b)＝－a－b， 故＝－， 所以，共线，且有公共点A， 所以A，B，C三点共线． 4.如图所示，已知＝，则＝________.(用，表示) 答案　－＋ 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋. 1．下列说法中正确的是(　　) A．λa与a的方向不是相同就是相反 B．若a，b共线，则b＝λa C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b|＝2|a| 答案　D 解析　对于A，λ＝0时不成立； 对于B，当a≠0时，结论才成立； 对于C，|b|＝2|a|时，b与a不一定共线； 对于D，利用平面向量共线定理，可知正确． 2．(多选)下列各式计算正确的有(　　) A．(－7)6a＝－42a B．7(a＋b)－8b＝7a＋15b C．a－2b＋a＋2b＝2a D．4(2a＋b)＝8a＋4b 答案　ACD 解析　因为7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b，故B错误． 3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　) A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝ 答案　D 解析　∵向量m与向量n共线， ∴设m＝λn(λ∈R)， ∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1， ∵e1与e2不共线， ∴解得 4.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则等于(　　) A.(b－a) B.(b－a) C.(a－b) D.(a－b) 答案　A 解析　＝＋＝－ ＝－＝b－(a＋b) ＝b－a＝(b－a)． 5．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　B 解析　因为＋＋＝， 所以＋＋＋＝0， 即－2＝，所以与共线． 6．已知a，b是两个不共线的向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 答案　B 解析　因为＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝， 所以与共线， 又AB与BD有公共点B， 则A，B，D三点共线． 7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________． 答案　± 解析　由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|. ∵|a|＝3，|b|＝5， ∴|λ|＝，即λ＝±. 8．已知O，A，B是平面内任意三点，点P在直线AB上，若＝3＋x，则x＝________. 答案　－2 解析　因为点P在直线AB上， 所以＝λ，λ∈R， －＝λ(－)， 即＝λ＋(1－λ)＝3＋x， 所以解得x＝λ＝－2. 9．计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)－； (3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)． 解　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. (2)原式＝－＝a＋b－a－b＝0. (3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c) ＝6a＋2b. 10．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量2ka＋b与8a＋kb的方向相反，求k的值． 解　由题意可知，存在实数λ使 2ka＋b＝λ(8a＋kb)＝8λa＋λkb， 即 解得或 ∵2ka＋b与8a＋kb的方向相反， ∴k＝2不符合题意，舍去， ∴k＝－2. 11．在四边形ABCD中，若＝3e，＝－5e，且||＝||，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰的梯形 答案　C 解析　因为＝3e，＝－5e， 所以＝－， 所以与共线，即AB∥CD且长度不相等， 所以四边形ABCD是梯形， 又因为||＝||， 所以AD＝BC. 所以四边形ABCD是等腰梯形． 12.如图，已知＝a，＝b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则等于(　　) A．a＋b B．2a－3b C．3a＝2b D．2b－2a 答案　D 解析　因为点M关于点A的对称点为点S，点S关于点B的对称点为点N， 所以＝(＋)，＝(＋)， 即＋＝2＝2b， ＋＝2＝2a， 两式相减得－＝2b－2a，即＝2b－2a. 13．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．当x＋y＝0时，xa＋yb＝0 D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 答案　AB 解析　对于A，∵向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e， ∴a＝e，b＝－e，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，应有非零向量a，b是共线向量．故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，若x＝y＝0，则不能证明a，b共线，故C错误；对于D，已知梯形ABCD中，＝a，＝b，如果AB，CD是梯形上、下底则正确，否则错误． 14.如图，在△ABC中，点P在边BC上，且BP＝2PC，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则下列说法正确的是________．(填序号) ①3m＋n＝4；②m＋3n＝4；③2m＋n＝3；④m＋2n＝3. 答案　④ 解析　由题意知，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 又＝m，＝n， 即＝m＋n， 由P，M，N三点共线，可得m＋n＝1， 即m＋2n＝3. 15．△ABC所在的平面内有一点P，满足＋4＋＝2，则△PAC与△PBC的面积之比为________． 答案　 解析　因为＋4＋＝2， 所以＋4＋＝2(－)， 所以3＋2＋＝0， 设＝3，＝2，＝， 则＋＋＝0， 即P为△A′B′C′的重心， 设S△A′B′P＝S， 则S△PAC＝S，S△PBC＝S， 即△PAC与△PBC的面积之比为＝. 16．设，不共线，且＝a＋b(a，b∈R)． (1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线； (2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由． (1)证明　当a＝，b＝时， ＝＋， 所以(－)＝(－)， 即2＝， 所以与共线， 又与有公共点C， 所以A，B，C三点共线． (2)解　a＋b为定值1.理由如下： 因为A，B，C三点共线，所以∥， 不妨设＝λ(λ∈R)， 所以－＝λ(－)， 即＝(1－λ)＋λ， 又＝a＋b，且，不共线， 则所以a＋b＝1(定值)． 学科网（北京）股份有限公司 $$