9.2.1.2 向量的减法运算-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

第2课时　向量的减法运算 [学习目标]　1.借助实例和平面向量的几何表示，理解向量减法的意义.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算． 导语 上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了向量加法的三角形法则和平行四边形法则，这节课我们研究如何进行向量的减法运算． 一、向量的减法及其几何意义 问题1　如图，向量是向量与向量x的和，你能作出向量x吗？ 提示　能．由向量加法的三角形法则可知连接BD. ＋＝，故x＝. 问题2　如何进行向量的减法运算？ 提示　转化为加法来进行，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 问题3　若a，b是不共线向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？ 提示　如图所示，设＝a，＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长． 知识梳理 1．向量的减法 定义：若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫作向量的减法． 2.减法的作图方法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，因为＋＝，即b＋＝a，所以＝a－b，如图所示． 3．几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量． 注意点： (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算，利用相反向量的定义． －＝，就可以把减法转化为加法，即a－b＝a＋(－b)． (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点． (3)在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”． 例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 　　　 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 跟踪训练1　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解　如图，在平面内任取一点O， 作向量＝a，＝b， 则向量＝a－b， 再作向量＝c， 则向量＝a－b－c. 二、向量的加、减法运算 例2　(1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A．0 B. C. D. 答案　A 解析　因为＝， 所以＋＝0， 所以＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝0. (2)化简：①＋－－； ②(＋＋)－(－－)． 解　①＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝. ②(＋＋)－(－－)＝＋－＋＝＋＋＋＝0. 反思感悟　(1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和． ②起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 跟踪训练2　(1)(多选)下列各向量运算的结果与相等的有(　　) A.＋ B.－ C.－ D.－ 答案　AD (2)化简下列各式： ①－＋－； ②(－)＋(－)． 解　①－＋－ ＝＋－ ＝－＝. ②(－)＋(－) ＝＋＋＋ ＝＋(＋＋) ＝＋0＝. 三、向量加、减法的综合应用 例3　(1)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解　因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c， ＝－＝b－a， ＝＋＝b－a＋c. 延伸探究　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解　因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c， ＝－＝b－a， 故＝＋＝b－a＋c. (2)在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是(　　) A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 答案　B 解析　∵＝， ∴四边形ABCD为平行四边形． 又∵|－|＝|－|， ∴||＝||， ∴四边形ABCD为矩形． 反思感悟　(1)解决用给定向量表示要求向量的问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养． 跟踪训练3　(1)在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 答案　A 解析　＝＋＋＝a－b＋c. (2)若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|的长度为________． 答案　2 解析　|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 1．知识清单： (1)向量的减法运算． (2)向量减法的几何意义． (3)向量加、减法的综合运用． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：忽视向量共起点时才可用向量的减法． 1．在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　) A．a B．a＋b C．b－a D．a－b 答案　D 解析　＝－＝a－b. 2．化简－＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝. 3．已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案　A 解析　由－＝－，可得＝， 所以四边形ABCD一定是平行四边形． 4．向量可以写成：①＋；②－；③－；④－.其中正确的是________．(填序号) 答案　①④ 解析　①＋＝；②－＝－－＝－(＋)≠；③－＝；④－＝，故①④正确． 1.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　) A．a＋b和a－b B．a＋b和b－a C．a－b和b－a D．b－a和b＋a 答案　B 解析　由向量的加法、减法，得 ＝＋＝a＋b，＝－＝b－a. 2．化简：－－等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　－－＝＋＋＝. 3．下列各式中，恒成立的是(　　) A.＝ B．a－a＝0 C.－＝ D.－＋＝0 答案　D 解析　选项D中，－＋＝＋＋＝＋＝0. 4.如图所示，在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则＋－等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　＋－＝－＝. 5．在边长为1的正△ABC中，|－|的值为(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　D 解析　如图，作菱形ABCD， 则|－|＝|－|＝||＝. 6．(多选)下列结果恒为零向量的是(　　) A.＋＋＋ B.－＋－ C.－＋ D.＋＋－ 答案　BCD 解析　A项，＋＋＋＝＋＋＝； B项，－＋－＝＋－＝－＝0； C项，－＋＝＋＝0； D项，＋＋－＝＋＝0. 7.如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________. 答案　0 解析　因为D是边BC的中点， 所以＝， 所以－＋＝＋－＝－＝0. 8．已知＝a，＝b，||＝5，||＝12，∠AOB＝90°，则|a－b|＝________. 答案　13 解析　由∠AOB＝90°，知△AOB为直角三角形， 故|a－b|＝||＝＝13. 9．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解　方法一　先作a－b，再作a－b－c即可． 如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.则向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，则向量即为所求作的向量a－b－c. 方法二　先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②. (1)作＝－b和＝－c； (2)作＝a，则＝a－b－c. 10.如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，求用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？ 解　由向量的平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b. 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形； 当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形； 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形． 11．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　) A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0 答案　B 解析　易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中有＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，故a－b＋c－d＝0. 12．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是(　　) A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13) 答案　C 解析　∵||＝|－|且|||－|||≤|－|≤|A|＋||， ∴3≤|－|≤13， ∴3≤||≤13. 13．(多选)八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则给出下列结论中正确的为(　　) A.－＋＝0 B.与的夹角为90° C.＋－＝ D.＝ 答案　BC 解析　对于A，因为－＋＝＋＋＝＋＝，故A错误； 对于B，因为∠AOC＝×2＝90°，且＝， 所以与的夹角等于与的夹角∠AOC＝90°，故B正确； 对于C，因为＋－＝＋＋＝＋，且＝，所以＋－＝＋＝，故C正确； 对于D，因为与方向不同，所以≠，所以D错误． 14.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________. 答案　a＋c－b 解析　由已知得＝， 则＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b. 15．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________. 答案　2 解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB(图略)，由向量加、减法的几何意义可知， ＝＋，＝－， ∵|＋|＝|－|， ∴||＝||， 又||＝4，M是线段BC的中点， ∴||＝||＝||＝2. 16.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，求： (1)|a＋b＋c|； (2)|a－b＋c|. 解　(1)由已知得a＋b＝＋＝， ∵＝c， ∴延长AC到点E，使||＝||，如图所示， 则a＋b＋c＝， 且||＝2. ∴|a＋b＋c|＝2. (2)作＝＝c，连接CF，如图所示， 则＋＝， ∵＝－＝－＝a－b， ∴|a－b＋c|＝|＋|＝||，又||＝2. ∴|a－b＋c|＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$