9.2.1.1 向量的加法运算-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

9.2.1　向量的加减法 第1课时　向量的加法运算 [学习目标]　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性． 导语 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？ 唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，这样我们就引入了向量的运算． 一、向量加法的定义及三角形法则 问题1　某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 提示　这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以算作是与的和． 知识梳理 1．向量加法的定义 求两个向量和的运算叫作向量的加法． 任一向量与其相反向量的和是零向量． 2．向量求和的三角形法则 向量求和的法则 三角形法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则 注意点： 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”． 例1　如图所示． (1)a＋b＝________； (2)c＋d＝________； (3)a＋b＋d＝________； (4)c＋d＋e＝________. 答案　(1)c　(2)f　(3)f　(4)g 反思感悟　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即＋＋…＋＝. 跟踪训练1　化简＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据平面向量的加法运算，得 ＋＋＝＋＝. 二、向量加法的运算律及平行四边形法则 问题2　我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 提示　如图1，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，容易发现＝b，＝a，故＝＋＝a＋b.又＝＋＝b＋a，所以a＋b＝b＋a. 图1 借助图2，不难证明满足结合律． 图2 问题3　你能从问题2的结论出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？ 提示　平行四边形法则． 知识梳理 1．向量加法的运算律 (加法交换律)a＋b＝b＋a； (加法结合律)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 2．向量加法的平行四边形法则 向量求和的法则 平行四边形法则 对于任意两个不共线的非零向量a，b，分别作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和．这种求两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则 注意点： (1)运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同． (2)从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的． (3)对于零向量与任一向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 例2　(1)如图①所示，求作向量a＋b； (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. 解　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示． (2)方法一　(三角形法则)如图④所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 　　　　　　 方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求． (3)化简： ①＋； ②＋＋； ③＋＋＋＋. 解　①＋＝＋＝. ②＋＋＝＋＋＝＋＝0. ③＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋＝＋＝0. 反思感悟　(1)向量加法运算律的意义和应用原则 ①意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． ②应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． (2)向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 ①首尾相接 ②适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 ①共起点 ②仅适用于不共线的两个向量求和 跟踪训练2　(1)如图，已知向量a，b，求作向量a＋b. 解　①作＝a，＝b，则＝a＋b，如图④. ②作＝a，＝b，则＝a＋b，如图⑤. ③作＝a，＝b，则＝a＋b，如图⑥. (2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： ①＋＋； ②＋＋＋. 解　①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝. ②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 三、向量加法的实际应用 例3　河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度及航向． 解　设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内任意一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作矩形OACB，如图，则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度， 所以||＝＝20(km/h)， 又因为tan∠AOC＝＝， 所以∠AOC＝60°， 所以小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行． 反思感悟　应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念解答原问题． 跟踪训练3　如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1和F2的合力为______ N. 答案　12 解析　如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝. 在△OCA中，||＝24， ||＝12，∠OAC＝60°， ∴∠OCA＝90°，∴||＝12. ∴F1与F2的合力大小为12 N. 1．知识清单： (1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则． (2)向量加法的运算律． (3)向量加法的实际应用． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点． 1．(多选)下列等式不正确的是(　　) A．a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b B.＋＝0 C.＝＋＋ D．|a＋b|<|a|＋|b| 答案　BD 解析　B错误，＋＝0；D错误，当a，b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|，故选B，D. 2.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　) A．0 B. C. D. 答案　D 解析　＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝. 3．正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　　) A．1 B. C．3 D．2 答案　B 解析　在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝，所以|＋|＝||＝AC＝. 4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝. 1．(多选)下列各式一定成立的是(　　) A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a C.＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b| 答案　ABC 解析　A，B，C满足运算律及运算法则，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等． 2.＋＋＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝. 3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示(　　) A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋) km 答案　B 解析　如图，易知tan α＝， 所以α＝30°. 故a＋b的方向是北偏东30°. 又|a＋b|＝2(km)， 则a＋b表示向北偏东30°方向航行2 km. 4.如图所示，在▱ABCD中，＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　＋＋＝＋(＋)＝＋0＝. 5．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 答案　D 解析　由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1， ||＝|a＋b|＝，即||2＝||2＋||2， 所以△ABC为等腰直角三角形． 6．(多选)在▱ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是(　　) A．a＋b＝c B．a＋d＝b C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c| 答案　ABD 解析　由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立，故A，B，D正确，C错误． 7.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．则 (1)＋＋＝________； (2)＋＋＝________. 答案　(1)　(2)0 解析　(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝0. 8．在边长为1的等边△ABC中，|＋|＝________，|＋|＝________. 答案　1　 解析　易知|＋|＝||＝1， 以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC(图略)， 则|＋|＝||＝2||×sin 60°＝2×1×＝. 9.如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋； (3)＋＋. 解　(1)＋＋＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＋＝＋＝. 10.如图所示，一架飞机从A地向北偏东35°的方向飞行800 km到达B地，然后又从B地向南偏东55°的方向飞行600 km到达C地，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据：sin 37°＝0.6)． 解　设，分别表示飞机从A地向北偏东35°的方向飞行800 km，从B地向南偏东55°的方向飞行600 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；两次位移的和指的是＋＝.依题意，有||＋||＝800＋600＝1 400，∠ABC＝35°＋55°＝90°.在Rt△ABC中，||＝＝＝1 000， 所以sin∠BAC＝0.6，所以∠BAC＝37°， 即两次位移的和的方向为北偏东35°＋37°＝72°. 所以飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000 km，方向为北偏东72°. 11．(多选)下列说法错误的有(　　) A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同 B．若向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向与向量a的方向相同 C．若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b| 答案　ACD 解析　A错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；B正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同；C错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；D错，|a＋b|≤|a|＋|b|. 12．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是(　　) A．P在△ABC的内部 B．P在△ABC的边AB上 C．P在AB边所在的直线上 D．P在△ABC的外部 答案　D 解析　＋＝， 根据向量加法的平行四边形法则， 如图，则点P在△ABC外． 13．(多选)已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论中正确的是(　　) A．a∥b B．a＋b＝a C．a＋b＝b D．|a＋b|<|a|＋|b| 答案　AC 解析　因为在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，所以a为零向量，因为零向量和任一向量都平行，零向量和任一向量的和等于这个向量本身，所以A，C正确；B，D错误． 14．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝________. 答案　0 解析　如图所示，连接AG并延长交BC于点E，则点E为BC的中点，延长AE到点D，使ED＝GE，则＋＝，＋＝0，所以＋＋＝0. 15．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________． 答案　20,4 解析　当a，b共线同向时， |a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20； 当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4； 当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|， 即4<|a＋b|<20. 所以最大值为20，最小值为4. 16.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：＋＋＝0. 证明　由题意知，＝＋， ＝＋，＝＋. 由题意可知，＝，＝， 所以＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝(＋＋＋)＋(＋) ＝(＋＋＋)＋0 ＝＋＋＝＋＋＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$