9.1 向量概念-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

[学习目标]　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.3.理解零向量、单位向量、平行(共线)向量、相等向量、相反向量及向量的模、夹角等概念，会辨识图形中这些相关的概念． 导语 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等．还有一些量则不是这样，例如图中小船的位移． 小船由A地向东南方向航行15 n mile(海里)到达B地，如果仅指出“由A地航行15 n mile”而不指明“向东南方向”航行，那么小船就不一定到达B地了．本节课我们学习另外一种量——向量． 一、向量的概念及表示 问题1　在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？ 提示　不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小． 问题2　从一支笔，一棵树等中可以抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们可以对力、位移等量进行抽象，形成一种新的量——向量．什么叫作向量？ 提示　既有大小又有方向的量叫作向量． 问题3　由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可以用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量．那么，该如何表示向量呢？ 提示　如图，用以A为起点，B为终点的有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向，记为，也可用a表示． 知识梳理 1．向量的概念 (1)向量：我们把既有大小又有方向的量叫作向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 2．向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫作有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示． (2)向量的表示 ①几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为.向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||. ②字母表示：向量也可用小写字母a，b，c来表示(印刷时用黑体a，b，c，书写时用，，)． 注意点： (1)书写向量时带箭头． (2)向量强调长度和方向两个元素． (3)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素． 例1　(1)下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有________．(填序号) 答案　①⑥⑦⑧ 解析　由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量．而质量、路程、密度、功，只有大小而没有方向，所以不是向量． (2)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点． ①作出向量，，； ②求||. 解　①向量，，，如图所示． ②由题意，可知AB∥CD， ∵||＝||， ∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，∴||＝||＝200(km)． 反思感悟　(1)判断向量的依据：看是否同时具备两个要素：大小和方向． (2)作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 跟踪训练1　下列说法正确的是(　　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，方向相同的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 答案　D 解析　无论向量的方向如何，它们都不能比较大小；向量的模是一个数量可以比较大小，故D正确． 二、向量的有关概念 问题4　向量由其模和方向所确定．对于两个向量a，b，就其模相等与不相等，方向相同与不相同而言，有哪几种可能的情形？ 提示　模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同． 知识梳理 相关概念 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量；向量a与向量b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a与向量b相等，记作a＝b 相反向量 与向量a长度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，记作－a，a与－a互为相反向量． 规定：零向量的相反向量仍是零向量． 性质：对任意一个向量a，总有－(－a)＝a 注意点： (1)零向量的方向是任意的． (2)单位向量有无数个，它们长度相等，均为1个单位长度，但方向不一定相同． (3)平行向量与平行直线是有区别的，向量平行，向量所在的直线可以平行，还可以是同一条直线． 例2　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 答案　ACD 解析　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0；单位向量的长度都是1个单位长度，故A，C，D正确． (2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c. ①与a长度相等、方向相反的向量有哪些？ ②与a共线的向量有哪些？ ③请一一列出与a，b，c相等的向量． 解　①与a长度相等、方向相反的向量有，，，. ②与a共线的向量有，，，，，，，，. ③与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，. 反思感悟　(1)解决向量的概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． (2)相等向量与共线向量的探求方法 ①相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． ②共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 跟踪训练2　(1)下列说法中正确的是(　　) A．向量的模都是正实数 B．单位向量都是相等向量 C．向量的大小与方向无关 D．因为零向量的模为0，所以零向量没有方向 答案　C 解析　零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；零向量的方向任意，故D不正确． (2)设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④||＝||.其中，所有正确结论的序号为________． 答案　①②③④ 解析　∵与方向相同，长度相等， ∴＝，①正确； ∵A，O，C三点在一条直线上， ∴∥，②正确； ∵AB∥DC，∴与共线，③正确； ∵OC＝OD，∴||＝||，④正确． 三、两向量的夹角 问题5　把两个非零向量的起点移到同一点，所得图形是什么？ 提示　角，如图，作＝a，＝b，得∠AOB. 知识梳理 1．定义：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示)． 2．范围：0°≤θ≤180°. 3．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向． 4．当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 注意点： 两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． 例3　已知，在平行四边形ABCD中，||＝||，且向量与的夹角为60°，则与的夹角为多少？与的夹角为多少？ 解　因为在平行四边形ABCD中，||＝||， 所以该平行四边形为菱形， 又由题意知∠BAD＝60°， 所以△ABD为等边三角形， 故向量与的夹角为∠BAC＝30°， 向量与的夹角大小与∠ABD相等，∠ABD＝60°， 即与的夹角也为60°. 反思感悟　求两向量夹角的关键是利用平移的方法，使两向量起点重合，两个向量的夹角，按照“一作二证三求”的步骤求出． 跟踪训练3　在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，则向量与的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形，且∠B＝，∠BCA＝，如图所示． 延长AC至D使AC＝CD，则＝， 所以∠BCD即为向量与的夹角，且∠BCD＝π－＝. 1．知识清单： (1)向量的概念及表示． (2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)、相反向量、向量的夹角． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：不理解零向量和单位向量的方向导致出错． 1．在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是(　　) A．单位圆 B．一段弧 C．线段 D．直线 答案　A 2．若＝，则四边形ABCD的形状为(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 答案　A 解析　因为＝，ABCD为四边形， 所以BA＝CD且BA∥CD， 所以四边形ABCD为平行四边形． 3．(多选)下列说法错误的为(　　) A．共线的两个单位向量相等 B．相等向量的起点相同 C．若∥，则一定有直线AB∥CD D．若向量，共线，则点A，B，C必在同一直线上 答案　ABC 解析　A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错，直线AB与CD可能重合；D正确，AB与BC平行且有公共点B，则A，B，C三点共线． 4.在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，判断是否存在有下列关系的向量： (1)是共线向量的有________； (2)方向相反的向量有________； (3)模相等的向量有________． 答案　(1)a和d，b和e　(2)a和d，b和e　(3)a，c，d 解析　(1)a∥d，e∥b，故a和d，e和b是共线向量． (2)a和d，b和e是方向相反的向量． (3)由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d. 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．零向量的方向任意且与任一向量平行 B．共线的向量，若始点不同，则终点一定不同 C．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 D．若|a|>|b|，则a>b 答案　AC 解析　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，故A正确；由共线向量的定义可知，共线的向量，始点不同，终点可能相同，故B错误；由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，向量所在的直线可以平行，也可以重合，故C正确；向量不可以比较大小，故D错误． 2．设O是△ABC的外心，则，，是(　　) A．相等向量 B．模相等的向量 C．平行向量 D．起点相同的向量 答案　B 解析　因为O是△ABC的外心， 所以||＝||＝||. 3．“向量，共线”是“直线AB∥CD”的(　　) A．必要且不充分条件 B．充分且不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　若AB∥CD，则向量，共线，但，共线，A，B，C，D四点有可能在一条直线上．故“向量，共线”是“直线AB∥CD”的必要不充分条件． 4.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　) A.＝ B．||＝|| C.> D.< 答案　B 解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等． 5．下列命题中，正确的是(　　) A．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 B．若向量a，b是两个单位向量，则a＝b C．两个相等向量，起点、方向、长度必须都相同 D．共线的单位向量必是相等向量 答案　A 解析　对于A，若a，b中有一个是零向量，则a与b必共线，故A正确；对于B，两单位向量的方向不一定相同，故B不正确；对于C，只要方向相同，长度相等就是相等向量，故C不正确；对于D，有可能是相反向量． 6．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是(　　) A．与相等的向量只有1个(不含) B．与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与的夹角为60° 答案　ABC 解析　由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确． 在Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°， 所以||＝||， 故||＝||，因此选项C正确．因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，因为与的夹角为∠ADC的补角．所以与的夹角为120°，故选项D不正确． 7．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，则向量与的夹角为________． 答案　135° 解析　由向量的夹角的定义知，与的夹角为∠B的补角，故为135°. 8.如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形． (1)与向量相等的向量为________； (2)若||＝3，则||＝________. 答案　(1)，　(2)6 解析　(1)在▱ABCD和▱ABDE中， ∵＝，＝，∴＝. (2)由(1)知，＝， ∴E，D，C三点共线， ||＝||＋||＝2||＝6. 9.如图，D，E，F分别是正△ABC各边的中点． (1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量； (2)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量； (3)求与，与的夹角的度数． 解　(1)与长度相等的向量是，，，，，，，. (2)与共线的向量是，，； 与共线的向量是，，. (3)因为△ABC为正三角形，与的夹角为∠ABC，故与的夹角为60°，与的夹角为∠AFD的补角，故与的夹角为120°. 10．某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后改变方向，向北偏西一定角度的某方向行走了100 m到达点C，最后又改变方向，向东走了200 m到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出向量，，(图中1个单位长度表示100 m)； (2)求向量的模． 解　(1)如图， (2)由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， 所以||＝||＝100(m)． 11．(多选)在下列结论中，正确的结论为(　　) A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件 B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分又不必要条件 C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件 D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件 答案　ACD 解析　若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A，C，D正确，B错误． 12.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是(　　) A．||＝|| B.与共线 C.与共线 D.＝ 答案　C 解析　由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不一定正确． 13.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||等于(　　) A．1 B. C. D．2 答案　A 解析　如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°， 则||＝||＝×2＝1. 14.设O是正方形ABCD的对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中，与共线的向量为__________；与的模相等的向量为______________，与垂直的向量为________． 答案　，，　，，，，，，　，，， 15．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中错误的是(　　) A．C⊆A B．A∩B＝{a} C．C⊆B D．A∩B⊇{a} 答案　B 解析　因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，所以A∩B＝{a，－a}，故B错误． 16．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； (2)求||的最大值与最小值． 解　(1)画出所有的向量，如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ||取得最小值为＝； ②当点C位于点C5或C6时， ||取得最大值为＝. 所以||的最大值为，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$