第13章 立体几何初步 章末复习课 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

章末复习课 第13章　 立体几何初步 知识网络 一、空间图形的表面积与体积 二、空间中的平行关系 三、空间中的垂直关系 四、空间角的求法 内容索引 空间图形的表面积与体积 一 1.主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥体、台体的体积，球的表面积和体积，不规则空间图形常用转换法、分割法、补形法等进行求解. 2.利用公式求解表面积、体积，提高数学运算素养. 例1　如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的空间图形的表面积和体积. 6 由题意知，所求空间图形的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面， S半球＝8π(cm2)，S圆台侧＝35π(cm2)， S圆台底＝25π(cm2)， 故所求空间图形的表面积为68π cm2. 7 所以所求空间图形的体积为 8 关于空间图形的体积、表面积 首先要明确空间图形的基本量，如球的半径，空间图形的高、棱长等，其次是准确代入相关的公式计算.在计算中应注意各数量之间的关系，特别是特殊的柱体、锥体、台体，要注意其中矩形、直角三角形及梯形等重要的平面图形的作用. 反思感悟 9 跟踪训练1　如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1－ABC1的体积为 √ 10 二 空间中的平行关系 1.空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间图形中证明线面平行、面面平行以及线线平行. 2.通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，提升逻辑推理和直观想象素养. 例2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 13 当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点，∴OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD， ∴OF∥平面PMD. ∴PF∥MA且PF＝MA， 14 ∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM. 又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD， ∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC， ∴平面AFC∥平面PMD. 15 线线平行、线面平行、面面平行的关系 线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行任意转化，相互间的转化关系如图. 反思感悟 16 跟踪训练2　已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证： (1)MN∥平面PAD； 17 如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ. ∵NQ是△PDC的中位线，∴NQ∥PD. ∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴NQ∥平面PAD. ∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形， ∴MQ∥AD. ∵MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴MQ∥平面PAD. ∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD. ∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD. 18 (2)MN∥PE. ∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN， 平面PEC∩平面PAD＝PE， ∴MN∥PE. 19 三 空间中的垂直关系 1.主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化. 2.通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化，提升直观想象和逻辑推理素养. 例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA⊥底面ABCD； 22 因为平面PAD⊥底面ABCD， 平面PAD∩底面ABCD＝AD， PA⊂平面PAD，PA⊥AD， 所以PA⊥底面ABCD. 23 (2)BE∥平面PAD； 24 因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD. 25 (3)平面BEF⊥平面PCD. 26 因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD. 又因为AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF， 所以CD⊥平面BEF. 又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD. 27 线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化 反思感悟 28 跟踪训练3　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4. (1)求证：AC⊥平面BCE； 29 在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4， 所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. 30 (2)求证：AD⊥AE. 31 因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AF⊥AD. 又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF， AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABEF. 又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE. 32 四 空间角的求法 1.空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角. 2.通过找角，证角，求角，提升逻辑推理与数学运算素养. 例4　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求： (1)AO与A′C′所成角的大小； 35 ∵A′C′∥AC， ∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC. ∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB， 又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO，∴OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA. ∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成的角为30°. 36 (2)AO与平面ABCD所成角的正切值； 37 如图，作OE⊥BC于E，连接AE. ∵平面BC′⊥平面ABCD， 平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BC′， ∴OE⊥平面ABCD， ∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角. 38 (3)二面角B－AO－C的大小. 由(1)可知OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC. 即二面角B－AO－C的大小为90°. 39 (1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角). (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法；③垂面法. 反思感悟 40 跟踪训练4　如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； 41 由已知AD∥BC，故∠DAP即为异面直线AP与BC所成的角. ∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD. 42 (2)求证：PD⊥平面PBC； 43 由(1)知AD⊥PD. 又∵BC∥AD，∴PD⊥BC， 又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC， ∴PD⊥平面PBC. 44 (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 45 如图所示，过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF， 则DF与平面PBC所成的角即为AB与平面PBC所成的角. ∵PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， ∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角. 由于AD∥BC，DF∥AB，可得BF＝AD＝1. 由已知得CF＝BC－BF＝2. 又AD⊥DC，故BC⊥DC. 46 47 由V圆台＝×4×(4π＋＋25π)＝52π(cm3)， V半球＝π×23×＝π(cm3)， V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3). A. B. C. D. ＝－－＝. 如图，连接BD与AC交于点O，连接FO，则PF＝PB. 又MA∥PB且MA＝PB， 所以AC＝BC＝2，所以AC2＋BC2＝AB2， 在Rt△AOC中，OC＝，AC＝， sin∠OAC＝＝， 即AO与平面ABCD所成角的正切值为. 在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝， ∴tan∠OAE＝＝. 在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝， 故cos∠DAP＝＝. ∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为. ∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 在Rt△DCF中，可得DF＝＝2. 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝. $$