13.2.1 平面的基本性质 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

13.2.1　平面的基本性质 第13章　§13.2　基本图形位置关系 学习目标 1.了解平面的表示方法，点、直线、平面的位置关系. 2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实. 3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系. 前面我们初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素，我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系，从而得到了多面体的一些结构特征.为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究.本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上，研究空间点、直线、平面之间的位置关系. 导语 一、平面的概念、画法及表示 二、点、线、面之间的位置关系 课时对点练 随堂演练 内容索引 三、基本事实及应用 平面的概念、画法及表示 一 问题1　生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原、宽阔的马路等，你能说出平面的一些几何特征吗？ 提示　无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等. 1.平面的概念 平面是从现实世界中抽象出来的几何概念，平面没有厚薄，是 的. 2.平面的画法 无限延展 平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的______ 作为平面的直观图   一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来   正方形 的直观图 虚线 知识梳理 7 3.平面的表示方法 平面通常用希腊字母 ，…表示，也可以用平行四边形的两个 顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等. α，β，γ 相对 注意点： (1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量. (2)当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向. 知识梳理 8 二 点、线、面之间的位置关系 空间中点、直线和平面的位置关系，可以借用集合中的符号来表示，例如，在长方体ABCD－A1B1C1D1中： 知识梳理 10 位置关系 符号表示 点P在直线AB上 __________ 点C不在直线AB上 C∉AB 点M在平面AC内 M∈平面AC 点A1不在平面AC内 ____________ 直线AB与直线BC交于点B _____________ 直线AB在平面AC内 AB⊂平面AC 直线AA1不在平面AC内 ______________ P∈AB A1∉平面AC AB∩BC＝B AA1⊄平面AC 知识梳理 11 例1　用符号表示下列语句，并画出图形. (1)直线a经过平面α内一点A，α外一点B； 用符号表示为：A∈a，B∈a，A∈α，B∉α，a⊄α.(如图①) 12 (2)直线a在平面α内，也在平面β内； 用符号表示为：α∩β＝a.(如图②) 13 (3)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B； 用符号表示为：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.(如图③) 14 (4)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上. 用符号表示为：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB.(如图④) 15 用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先要仔细观察图形有几个平面、几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. 反思感悟 16 跟踪训练1　(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A、直线b、平面β之间的关系可以记作 A.A∈b，b∈β B.A∈b，b⊂β C.A⊂b，b⊂β D.A⊂b，b∈β 直线和平面都是由点组成的集合， 所以A∈b，b⊂β. √ 17 (2)如图所示，用符号语言可表述为 A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B.α∩β＝m，n∉α，m∩n＝A C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D.α∩β＝m，n∉α，A∈m，A∈n 由题图知α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A，A∈m，A∈n. √ 18 三 基本事实及应用 问题2　在凹凸不平的地面上放一个三条腿的凳子和一个四条腿的凳子，哪个稳定？若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？两张纸面相交有几条交线？ 提示　三条腿的凳子稳定；直尺的边缘上的其余点在桌面上；两张纸面相交有一条交线. 20 基本事 实(推论) 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实1 过__________ ，有且只有一个平面   A，B，C不共线⇒A，B，C确定一个平面α (1)确定平面； (2)证明点线共面问题； (3)判断两个平面重合的依据 不在一条直 线上的三个点 知识梳理 21 一个 AB⊂α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在 平面内，那么这条直线在这个平面内   ⇒______ (1)判定直线在平面内； (2)证明点在平面内 基本事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们__________________ 的公共直线 _________________ (1)判断两个平面是否相交； (2)判定点是否在直 线上； (3)证明点共线问题 有且只有一条过该点 α∩β＝l且P∈l 知识梳理 22 推论1 经过一条直线和这条直线 的一点，有且只有一个平面   A∉l⇒A和l确定一个平面α (1)确定一个平面的依据； (2)证明平面重合； (3)证明点、线共面 推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面   a∩b＝A⇒a，b确定一个平面α 推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面   a∥b⇒a，b确定一个平面α 外 相交 平行 知识梳理 23 例2　(1)已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面. 如图所示，∵a∥b， ∴过a，b有且只有一个平面α. 设a∩l＝A，b∩l＝B， ∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l， ∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面. 24 (2)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点. 25 如图，∵在梯形ABCD中， AD∥BC， ∴AB与CD必交于一点， 设AB交CD于点M. 则M∈AB，M∈CD， 又∵AB⊂α，CD⊂β， ∴M∈α，M∈β， 又∵α∩β＝l，∴M∈l， ∴AB，CD，l共点. 26 (1)证明点、线共面问题的常用方法 ①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”. ②先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”. 反思感悟 27 (2)点共线与线共点的证明方法 ①证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性.通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上. ②证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点. 反思感悟 28 跟踪训练2　(1)已知，如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 29 方法一　(纳入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内. 方法二　(辅助平面法)∵l1∩l2＝A， ∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. 30 ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内. ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 31 (2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，F，H，G.求证：E，F，G，H四点必定共线. 32 ∵AB∥CD， ∴AB，CD确定一个平面β， ∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，∴E∈β， ∴E在α与β的交线l上. 同理，F，G，H也在α与β的交线l上， ∴E，F，G，H四点必定共线. 33 1.知识清单： (1)平面的概念、画法及表示. (2)点、线、面之间的位置关系. (3)基本事实及应用. 2.方法归纳：同一法、纳入法. 3.常见误区：三种语言的相互转换. 课堂小结 随堂演练 四 1.(多选)下列图形中一定是平面图形的是 A.三角形 B.菱形 C.梯形 D.四边相等的四边形 由平面的基本事实1知，三角形、菱形、梯形为平面图形. 1 2 3 4 √ √ √ 2.若点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为 A.A⊂a，a⊂α，B∈α B.A∈a，a⊂α，B∈α C.A⊂a，a∈α，B⊂α D.A∈a，a∈α，B∈α 1 2 3 4 √ 3.下列条件中能确定一个平面的是 A.空间三个点 B.一个点和一条直线 C.无数个点 D.两条相交直线 A项，三个点可能共线； B项，点可能在直线上； C项，无数个点也可能在同一条直线上. 1 2 3 4 √ 4.如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是____________. 因为P∈AB，AB⊂平面ABC， 所以P∈平面ABC. 又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE， 所以P∈直线DE. 1 2 3 4 P∈直线DE 课时对点练 五 1.(多选)下列说法不正确的是 A.三点可以确定一个平面 B.空间中两条直线能确定一个平面 C.共点的三条直线确定一个平面 D.圆和平行四边形都可以表示一个平面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ √ 不共线的三点有且仅有一个平面，故A错误； 只有两条平行或相交的直线才能确定一个平面，故B错误； 当三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，例如三棱锥的三条侧棱，故C错误； 圆和平行四边形是平面图形，可以用来表示平面，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选)下图中图形的画法正确的是 直线l在平面α内，l应画在表示平面的平行四边形内部. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 3.两个平面若有三个公共点，则这两个平面 A.相交 B.重合 C.相交或重合 D.以上都不对 若这三个公共点在一条直线上，则这两个平面相交或重合；若这三个公共点不共线，则这两个平面重合.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.已知直线a，b，c两两相交，则这三个直线可能确定的平面个数为 A.1 B.2 C.3 D.1或3 当三条直线两两相交且不过同一点时，只能确定1个平面； 当三条直线相交于同一点时，可能确定1个平面也可能确定3个平面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则 A.l⊂α B.l⊄α C.l∩α＝M D.l∩α＝N ∵M∈a，a⊂α，∴M∈α， 又∵N∈b，b⊂α，∴N∈α， 又M，N∈l，∴l⊂α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.(多选)下列说法错误的是 A.不共面的四点中，其中任意三点不共线 B.若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面 C.若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D.依次首尾相接的四条线段共面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以A正确； B中，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面，所以B不正确； C显然不正确； D不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M____l. ∵a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，∴M∈α，M∈β. 又∵α∩β＝l，∴M∈l. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∈ 8.平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定______个平面. (1)当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面； (2)当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的4个顶点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1或4 9.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P，Q，R三点共线. 方法二　∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR， 又Q∈α，∴Q∈PR， ∴P，Q，R三点共线. 10.如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不妨设AB≠A1B1， 则四边形AA1B1B为梯形， ∴AA1与BB1相交，设其交点为S， 则S∈AA1，S∈BB1. ∵BB1⊂平面BCC1B1， ∴S∈平面BCC1B1.同理可证，S∈平面ACC1A1， ∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上，即S∈CC1， ∴AA1，BB1，CC1三线共点. 11.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中 A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线 如图①②所示，A，C，D均不正确，只有B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 12.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF与HG交于点M，则 A.M一定在直线AC上 B.M一定在直线BD上 C.M可能在AC上，也可能在BD上 D.M不在AC上，也不在BD上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意得EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD， 又EF∩HG＝M， 故M∈平面ABC，且M∈平面ACD， 又平面ABC∩平面ACD＝AC， 所以M一定在直线AC上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是 A.C1，M，O三点共线 B.C1，M，O，C四点共面 C.C1，O，A，M四点共面 D.D1，D，O，M四点共面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 连接A1C1，AC(图略)，则AC∩BD＝O， 又A1C∩平面C1BD＝M. ∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线， ∴A，B，C均正确，D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，则这5个点最多可以确定__个平面. 可以想象四棱锥的5个顶点，它们一共确定7个平面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 15.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过点P，Q，R的正方体的截面图形是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 正六边形 如图所示，连接B1D1，作RG∥B1D1交C1D1于点G， 则RG＝PQ，连接QP并延长与CB的延长线 交于点M，连接MR交BB1于点E， 易知E为BB1的中点，连接PE，ER，PE，ER为截面与正方体的交线， 则QP＝PE＝ER＝RG， 同理，连接并延长PQ交CD的延长线于点N，连接NG交DD1于点F，连接QF，FG，QF，FG为截面与正方体的交线， 可知QP＝QF＝FG＝RG， 所以截面PQFGRE为正六边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，在平面AA1D1D内，延长D1F， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵D1F与DA不平行， 因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD. 又∵D1F⊂平面BED1F，DA⊂平面ABCD， ∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD， ∴P∈(平面BED1F∩平面ABCD)， 即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点. 又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， ∴连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线. ⇒ $$