10.2 二倍角的三角函数 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

§10.2　二倍角的三角函数 第10章　三角恒等变换 学习目标 1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用倍角公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用. 在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，往往显出简洁、奇峻之美，三角函数的和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都带有一般性，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形.如α＝β时，sin(α＋β)＝sin 2α，2α为α的二倍，那么这些二倍角又有哪些简洁、奇峻之美呢？ 导语 内容索引 一、倍角公式 二、给值求值 课时对点练 三、利用倍角公式化简及证明 随堂演练 四、倍角公式在实际生活中的应用 倍角公式 一 问题　在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α，你能得到什么结论？ 提示　在S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)公式中令β＝α， 可得sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋sin αcos α＝2sin αcos α. cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α. 1.倍角公式 (1)sin 2α＝ .(S2α) (2)cos 2α＝ ＝ ＝ .(C2α) (3)tan 2α＝ .(T2α) 2sin αcos α cos2α－sin2α 1－2sin2α 2cos2α－1 知识梳理 7 2.倍角公式的重要变形——升幂公式 cos 2α＝ －1，cos 2α＝1－ ， cos α＝ －1，cos α＝1－ . 2cos2α 2sin2α 3.倍角公式常见变形 sin2α＝ ，cos2α＝ ，(sin α±cos α)2＝ . 1±sin 2α 知识梳理 8 知识梳理 9 知识梳理 10 例1　求下列各式的值： (1)sin 15°cos 15°； (2)1－2sin2750°； 11 12 (4)cos 20°·cos 40°·cos 80°. 13 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 反思感悟 14 跟踪训练1　求下列各式的值： 15 16 17 二 给值求值 √ (1)条件求值问题常有两种解题途径 ①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢； ②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论. (2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. 反思感悟 21 22 23 24 三 利用倍角公式化简及证明 ＝(tan2A)2＝tan4A. 三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化. (2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分. (3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用. (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等. (5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等. 反思感悟 28 sin α－cos α 29 四 倍角公式在实际生活中的应用 例4　如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m. (1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ 31 连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ， 则AB＝OBsin θ＝20sin θ， 因为A，D关于点O对称， 所以AD＝2OA＝40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则 S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 32 所以当sin 2θ＝1， 33 (2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D的位置，使步行小路的距离最远？ 34 由(1)知AB＝20sin θ，AD＝40cos θ， 35 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题. 反思感悟 36 跟踪训练4　哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧AC，BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆O与线段AB及两个圆弧均相切，则tan∠AOB的值是 √ 37 如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D， 设AB＝a，圆O的半径为r， 且OA2＝OD2＋AD2， 38 39 1.知识清单： (1)倍角公式的推导. (2)倍角公式的正用、逆用，利用倍角公式进行化简和证明. (3)倍角公式在实际生活中的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：化简求值时开根号忽略角的范围导致出错. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ ∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α. 1 2 3 4 1 2 3 4 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 所以m2＝4sin218°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.证明：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2A·cos 2B； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝cos 2Acos 2B＝右边，所以原等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以原等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴最小正周期T＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于 A.30°或60° B.45° C.60° D.30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 因为cos 2α＝1－2sin2α， 故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0， 即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0. 因为α为锐角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以α＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵α为第二象限角， ∴sin α>0，cos α<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 π 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0. (1)将十字形的面积表示成θ的函数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图可知，x＝cos θ，y＝sin θ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设S为十字形的面积， ＝2sin θcos θ－cos2θ (2)求十字形的最大面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 tan 2α＝tan(α＋α)＝＝. 2cos2 2sin2 注意点： (1)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想，但是这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名称时，“三”字等不可省去. (2)在使用T2α时，要保证分母1－tan2α≠0，且tan α有意义，即α≠＋，且α≠kπ＋(k∈Z).当α＝＋(k∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝kπ＋(k∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用倍角公式求tan 2α. 原式＝×2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝. 原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝. 原式＝＝＝＝2. (3)； 原式＝ ＝ ＝ ＝＝＝. (1)cos2－sin2； 原式＝cos ＝. (2)cos cos cos ； 原式＝＝＝ ＝＝＝. (3). 原式＝·＝·tan 30°＝. 例2　(1)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于 A. B. C.1 D. cos2α＋2sin 2α＝＝. 把tan α＝代入，得 cos2α＋2sin 2α＝＝＝. (2)若sin α－cos α＝，则sin 2α＝______. (sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝2， 即sin 2α＝1－2＝. tan 2α＝＝＝－. 因为α为第三象限角，cos α＝－， 跟踪训练2　(1)已知α为第三象限角，cos α＝－，则tan 2α＝________. － 所以sin α＝－＝－，tan α＝， (2)已知sin＝，0<x<，则的值为______. ∵0<x<，sin＝， ∴－x∈，cos＝， ∴sin＝cos＝cos＝. ∴原式＝＝＝2sin＝. 例3　(1)求证：·＝tan 2α. 左边＝·＝tan 2α＝右边. (2)化简：. 原式＝ ＝2＝2 ＝＝sin α－cos α. 跟踪训练3　若<α<，则＝____________. ∵α∈，∴sin α>cos α， ∴＝ ＝ OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈. 故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. 因为θ∈， 即θ＝时，Smax＝400(m2). 此时AO＝DO＝10(m). (AB＋BC＋CD)max＝40(m)， 此时AO＝DO＝10(m)， 即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远. 所以AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ＝40sin， 又θ∈，所以θ＋∈， 当θ＋＝，即θ＝时， A.－ B.－ C.－ D.－ 由题意知OD＝r，OA＝a－r，AD＝， 即(a－r)2＝r2＋2， 解得r＝， 因此tan∠AOD＝＝＝， 故tan∠AOB＝tan 2∠AOD＝ ＝＝－. 原式＝2cos2x－1＝2×2－1＝. 1.已知cos x＝，则cos 2x等于 A.－ B. C.－ D. 原式＝＝＝－. 2.等于 A.－ B.－ C.1 D.－1 ∴cos α＝－，∴α＝， ∴tan 2α＝tan ＝tan ＝. 由α∈知sin α≠0， 3.设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是_____. 2 原式＝＝＝＝2. 4.＝______. 1.(多选)下列各式中，值为的是 A.2sin 15°sin 75° B.cos2－sin2 C. D. 2sin 15°sin 75°＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝， cos2－sin2＝cos ＝， ＝tan 60°＝， ＝＝＝. 2.已知cos φ＝－且180°<φ<270°，则sin 2φ的值为 A.－ B.－ C. D. 由cos φ＝－且180°<φ<270°得， sin φ＝－＝－. 所以sin 2φ＝2sin φcos φ＝2××＝. 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝. 3.cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于 A. B. C. D.1＋ 4.已知tan x＝2，则tan等于 A. B.－ C. D.－ tan＝tan＝＝ ＝－＝＝＝. 5.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则等于 A.4 B.＋1 C.2 D.－1 由题意可知2sin 18°＝m＝， 则＝＝＝＝2. cos2＝＝＝＝＝. 6.已知sin 2α＝，则cos2等于 A. B. C. D. 由题意得cos α＝＝， 7.已知α为锐角，且sin α＝，则tan 2α＝_______. －2 tan α＝. 所以tan 2α＝＝－2. sin 2α＝cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－. 8.若cos＝，则sin 2α＝_______. － 左边＝－ ＝ ＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B) 左边＝＝＝. 右边＝tan＝＝＝左边， (2)＝tan. 10.已知函数f(x)＝2sin2x＋sin 2x－. (1)求f(x)的最小正周期及对称中心； f(x)＝2×＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x ＝＝sin. 令2x－＝kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z. ∴对称中心为，k∈Z. ∴f(x)∈[－，). 故当x∈时，f(x)的值域为[－，). (2)若x∈，求f(x)的值域. ∵x∈， ∴2x－∈， ∴sin∈， 所以sin α＝， 12.设sin＝，则sin等于 A.－ B.－ C. D. 因为sin＝， 所以sin＝sin＝－cos ＝－＝－. 13.已知函数f(x)＝，则 A.函数f(x)的最大值为，无最小值 B.函数f(x)的最小值为－，最大值为0 C.函数f(x)的最大值为，无最小值 D.函数f(x)的最小值为－，无最大值 因为f(x)＝＝＝＝－tan x,0<x≤， 所以函数f(x)的最小值为－，无最大值. 原式＝－＝－， 14.已知α是第二象限角，则－＝________. －2 ∴原式＝－－＝－2. 15.已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b，则f(x)的最小正周期为_____，f(x)在上的最大值为_____. f(x)＝sin∈. 所以f(x)在上的最大值为1. f(x)＝a·b＝cos x·sin x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin. 最小正周期T＝＝π. 当x∈时，2x－∈， 由正弦函数y＝sin x在上的图象(图略)知， 由y>x>0，得<θ<. 则S＝xy＋x·×2＝2xy－x2 ＝sin 2θ－cos2θ. S＝sin 2θ－cos2θ＝sin 2θ－cos 2θ－ ＝×－ ＝sin(2θ－φ)－， 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝时，S最大. 此时θ＝＋，十字形取得最大面积. $$