10.1.1 两角和与差的余弦 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

10.1.1　两角和与差的余弦 第10章　§10.1　两角和与差的三角函数 学习目标 1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程. 2.理解用向量法导出公式的主要步骤. 3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征， 并能利用公式进行化简求值. 很多同学认为两角差的余弦cos(α－β)＝cos α－cos β，那么这个结论正确吗？让我们做一个试验：cos(60°－30°)与cos 60°－cos 30°的值作比 导语 内容索引 一、两角和与差的余弦公式 二、给值求值 课时对点练 三、给值求角 随堂演练 两角和与差的余弦公式 一 提示　用向量的数量积，如图所示，只考虑0≤α－β≤π的情况， 则a·b＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β). 又由向量数量积的坐标表示，有 a·b＝cos αcos β＋sin αsin β， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 问题1　教材是怎样推出公式cos(α－β)的？ 提示　以－β代替公式cos(α－β)中的β，可以得到 cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β) ＝cos αcos β－sin αsin β. 问题2　如何由公式cos(α－β)得到公式cos(α＋β)? 1.两角差的余弦公式 cos(α－β)＝ .(C(α－β)) 2.两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝ .(C(α＋β)) 注意点： (1)公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)，cos(α＋β)是一个整体. (2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正、符号相反”记忆公式. cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β 知识梳理 8 例1　计算： (1)cos(－15°)； 方法一　原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° 方法二　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° 9 (2)cos 105°； 原式＝－cos 75°＝－cos(45°＋30°) ＝－(cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°) 10 (3)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0. 11 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差或和，正用公式直接求解. (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和与差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值. 反思感悟 12 跟踪训练1　(1)cos 80°cos 35°＋sin 80°cos 55°的值是 √ 原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35° 13 (2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)·sin(α＋25°)＝_____. 原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)] 14 二 给值求值 ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角. (2)在将所求角分解成某两角的和或差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β， 反思感悟 18 三 给值求角 又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α 求解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值. (2)确定角的范围. (3)根据角的范围写出所求的角. 反思感悟 24 所以cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) 所以2β＝π. 1.知识清单： (1)两角和与差的余弦公式. (2)已知三角函数值求值和求角. 2.方法归纳：换元法、转化与化归. 3.常见误区：忽略角所在的取值(从已给信息得出角α，β的正弦、余弦)范围导致出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 原式＝cos 75°＝cos(30°＋45°) ＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45° 1 2 3 4 √ 3.cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)＝______. 1 2 3 4 由两角和与差的余弦公式得， 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 原式＝cos(180°－15°)＝－cos 15° ＝－cos(45°－30°) ＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由向量平行可得sin αsin β－cos αcos β＝0， 即cos(α＋β)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，代入可得BD正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 所以cos x＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式＝sin 30°sin 60°－cos 30°cos 60° ＝－cos(30°＋60°)＝－cos 90°＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 8.已知cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝m，且β为第三象限角，则sin β＝____________. ∵cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝cos[(α－β)－α]＝m，即cos β＝m. 又∵β为第三象限角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.3≤m≤5 B.－5≤m≤5 C.3<m<5 D.－3≤m≤3 所以－1≤4－m≤1， 所以－5≤－m≤－3，即3≤m≤5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cos A，2sin A)，b＝ (3cos B,3sin B).若a，b的夹角的弧度数为 ，则A－B＝______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B). 又A，B为锐角△ABC的两个内角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.《周髀算经》中给出了如图所示的弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为9∶25，则cos(α－β)的值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 设大正方形的边长为1， 由于小正方形与大正方形的面积之比为9∶25， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β， ＝sin2β＋cos2β－cos(α－β) ＝1－cos(α－β)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) 较，cos(60°－30°)＝cos 30°＝，cos 60°－cos 30°＝－，显然，cos(60°－30°)≠cos 60°－cos 30°，由此可得cos(α－β)＝cos α－cos β不一定成立. 设向量a＝＝(cos α，sin α)， b＝＝(cos β，sin β)， ＝×＋×＝. ＝×＋×＝. ＝－×＋×＝. A. B.－ C. D.－ ＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝. ＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝. 例2　已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos(α－β)的值. ＝×＋×＝. ∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝－＝－. 又β∈，cos β＝－， ∴sin β＝－＝－. α＝(α－β)＋β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等. ∴cos β＝－＝－， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 跟踪训练2　已知sin α＝－，sin β＝，且π<α<，<β<π，求cos(α－β). ∵sin α＝－，π<α<， ∴cos α＝－＝－. 又∵sin β＝，<β<π， 例3　已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值. ∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π). ∵cos α＝，cos(α＋β)＝－， ∴sin α＝＝， sin(α＋β)＝＝. ＝×＋×＝. 又∵β∈，∴β＝. 跟踪训练3　若cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，且<α＋β<2π，<α－β<π，求2β的值. 因为cos(α＋β)＝，且<α＋β<2π， 所以sin(α＋β)＝－. 因为sin(α－β)＝且<α－β<π， 所以cos(α－β)＝－， ＝×＋×＝－1. 又易得<2β<， 原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝. 1.cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为 A. B.－ C. D.－ ＝×－×＝. 2.cos(－75°)的值为 A. B. C. D. 原式＝cos[(x＋27°)－(x－18°)]＝cos 45°＝. － cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝. ② ①＋②，整理可得，cos αcos β＝， ①－②，整理可得，sin αsin β＝－. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝， ① 4.已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则cos αcos β＝____，sin αsin β＝____. 原式＝cos＝cos ＝. 1.cos cos －sin sin 等于 A. B. C. D.1 2.cos 165°等于 A. B. C.－ D.－ ＝－. 3.向量a＝(sin α，cos α)，b＝(cos β，sin β)，且a∥b，若α，β∈，则α＋β等于 A.0 B. C. D.π 又∵α，β∈， ∴α＋β∈[0，π]，∴α＋β＝. 4.(多选)满足cos αcos β＝＋sin αsin β的一组α，β的值是 A.α＝，β＝ B.α＝，β＝－ C.α＝，β＝ D.α＝，β＝ 5.若x∈[0，π]，sin sin ＝cos cos ，则x的值为 A. B. C. D. 由题意得cos cos －sin sin ＝0， 所以cos＝0. 又因为x∈[0，π]，所以x＝. 6.已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为 A.－ B.－ C. D. ∵α为锐角，且cos α＝， ∴sin α＝＝. ∵β为第三象限角，且sin β＝－， ∴cos β＝－＝－， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. 7.计算：sin 60°－cos 60°＝______. ∴sin β＝－＝－. － (1)如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β； ∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，， ∴sin α＝，sin β＝， 又α为锐角，∴cos α＝. ∵β为钝角，由(1)得cos β＝－， ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－×＋×＝. 10.已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，求cos 2β的值. 因为sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－， 且α－β∈，α＋β∈， 所以cos(α－β)＝－＝－＝－， cos(α＋β)＝＝＝， ＝×＋×＝－. 因为cos x－sin x＝cos＝4－m， 11.若cos x－sin x＝4－m，则实数m的取值范围是 12.已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为 A. B. C. D.1 因为sin α－sin β＝1－， 所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝－. ① 又因为cos α－cos β＝， 所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝. ② 由①＋②得，2cos(α－β)＝， 所以cos(α－β)＝. ± cos ＝＝ ∴0<A<，0<B<， ∴－<A－B<， ∴A－B＝±. 14.已知0<α<π，sin＝，则cos α＝________. 由0<α<π，得<α＋<， 又sin＝<，故<α＋<π，即位于第二象限， 由同角三角函数关系得cos＝－＝－， cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝. A. B. C. D. 可得小正方形的边长为， 可得cos α－sin α＝，  ① sin β－cos β＝. ② 所以①×②得＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β 解得cos(α－β)＝. 16.已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β) 的值. 因为<α<，0<β<， 所以<2α－β<π. 因为cos(2α－β)＝－， 所以<2α－β<π， 所以sin(2α－β)＝. 因为<α<，0<β<， 所以－<α－2β<. 因为sin(α－2β)＝， 所以cos(α－2β)＝. 所以0<α－2β<， ＝－×＋×＝0. $$