9.4 向量应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

§9.4　向量应用 第9章　平面向量 学习目标 1.能用向量方法解决简单的几何问题. 2.能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题. 3.体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力. 向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化，所以向量是数形结合的桥梁，同时，向量也是解决许多物理问题的有力工具，这节课我们就来用向量解决数学和物理中的有关问题. 导语 内容索引 一、向量在物理中的应用 二、利用向量证明平面几何问题 课时对点练 三、利用向量求平面几何中的长度问题 随堂演练 向量在物理中的应用 一 问题1　图1中两个人提一重物怎样提最省力？图2中运动员静止地垂挂在单杠上，手臂的拉力与手臂握杆的姿势有什么关系？ 提示　两人手臂间的夹角小些省力，运动员两手臂间的距离越大，夹角越大越费力. 问题2　向量的数量积与功有什么联系？ 提示　物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. 向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 知识梳理 8 注意点： (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等. (2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解中. (3)动量mv是向量的数乘运算. 知识梳理 9 例1　在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小. 10 11 (1)利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算；第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算. (2)向量方法解决物理问题的“四步曲” ①转化表示——物理问题中的相关量用向量表示； ②建立模型——建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数——求向量的模、夹角、数量积等； ④还原问题——结果回归到物理问题. 反思感悟 12 跟踪训练1　一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为 √ 由题意知F3＝－(F1＋F2)， 13 二 利用向量证明平面几何问题 问题3　证明线线平行、点共线问题，可用向量的哪些知识？ 提示　a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). 问题4　证明垂直问题，可用向量的哪些知识？ 提示　a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)为非零向量). 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 注意点： (1)选取适当的基底，如模或夹角已知的向量为基底. (2)易建系或已建系的适合用坐标法. 知识梳理 16 17 ∴△ABC为正三角形. 18 (2)如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求证：BE∶EC＝2∶3. 19 所以(λb－a)·(a＋b)＝0， 即－a2＋λb2＋(λ－1)a·b＝0， 20 方法二　以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示， 21 利用向量解决垂直问题的方法和途径 方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式. 反思感悟 22 跟踪训练2　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 23 则|a|＝|b|，a·b＝0. 24 方法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2，1)， 25 三 利用向量求平面几何中的长度问题 例3　(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长. (2)已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n，若D为斜边AB的中点，求证：CD＝ . 以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则C(0,0)，A(0，m)，B(n,0). ∵D为AB的中点， 延伸探究　在本例的条件下，若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度.(用m，n表示) 用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. 反思感悟 33 √ ∴AP为Rt△ABC的斜边BC上的中线. 35 1.知识清单： (1)平面几何中的向量方法. (2)向量在物理中的应用. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：要注意选择恰当的基底. 课堂小结 随堂演练 四 1.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长为 1 2 3 4 √ A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 ∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形. 1 2 3 4 √ 3.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为 A.30° B.60° C.90° D.120° 当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形， 所以∠AOC＝60°，从而θ＝∠AOB＝120°. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 ＝______. 课时对点练 五 1.已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于 A.(－1，－2) B.(1，－2) C.(－1,2) D.(1,2) 由F1＋F2＋F3＝(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)＝(－1，－2)， 得F4＝(1,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 所以四边形ABCD为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度大小是40 m/s，则鹰的飞行速度的大小为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 ∴AB⊥AC，即△ABC为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 同理OA⊥BC，OC⊥AB， ∴O为三条高所在直线的交点，即垂心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的面积是 A.3 B.5 C.6 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)， ∴△ABC是直角三角形. 7.一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为 20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为___ min. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 如图，∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2， |v1|＝20(km/h)，|v2|＝12(km/h)， ∴该船到达B处所需的时间为3 min. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)，∴C(2,1). ∵E，F分别为BC，CD的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a＝e＋c，b＝e＋d， 所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2， 由条件知，a2＝c2－d2＋b2， 所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0， 10.如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度的大小为|v2|＝4 km/h，设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°). (1)当cos θ多大时，船能垂直到达对岸？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 船垂直到达对岸，即v＝v1＋v2且与v2垂直，即(v1＋v2)·v2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即|v1||v2|cos θ＋|v2|2＝0. (2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设船航行到对岸所需的时间为t h， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2,0)， 所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在平面直角坐标系中，已知A(3,4)，B(5,12)，O为坐标原点，∠AOB的角平分线交线段AB于点D，则点D的坐标为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 如图，D为BC边的中点， 所以S△ABM∶S△ABC＝1∶3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重约为______ kg.(结果保留一位小数，参考数据：重力加速度g＝10 m/s2， ≈1.732) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69.3 如图所示，设该学生的体重为m kg， 则该学生所受到的重力为G.|G|＝|F′|，F′＝F1＋F2. 所以|F′|2＝|F1＋F2|2 ＝4002＋4002＋2×400×400×cos 60°＝3×4002， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 设BC的中点是O， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴动点M在线段BC的垂直平分线上， ∴动点M的轨迹必通过△ABC的外心. 16.已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且四边形PFCE为矩形.求证：PA＝EF且PA⊥EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以||＝||＝150(N). 故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 如图，两根绳子的拉力之和＋＝，且||＝||＝300(N)，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°， 在△OAC中，∠AOC＝30°，∠ACO＝∠BOC＝60°，则∠OAC＝90°， 从而||＝||cos 30°＝150(N)， ||＝||sin 30°＝150(N)， A.6 N B.2 N C.2 N D.2 N 所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2F1·F2＝4＋16＝20， 所以|F3|＝2(N). 例2　(1)已知向量，，满足条件＋＋＝0，且||＝|| ＝||＝1，求证：△ABC为正三角形. ∴cos∠AOB＝－. ∴2＝2＝2－2cos∠AOB＝3， ∴AB＝， 同理BC＝，AC＝. ∵＋＋＝0， ∴＋＝－， ∴2＝2＝1， 则＝－＝λb－a. 由AE⊥BD，得·＝0， 所以－1＋4λ＋λ－1＝0，解得λ＝， 所以BE∶EC＝∶＝2∶3. 方法一　设＝a，＝b，则|a|＝1，|b|＝2， 则a·b＝|a||b|cos 60°＝1，＝a＋b. 设＝λ＝λb， 即－×＝0，解得m＝， 所以BE∶EC＝∶＝2∶3. 令BC＝2BA＝2，则B(0,0)，C(2,0)，A，D. 设E(m,0)，则＝，＝， 由AE⊥BD，得·＝0， 所以·＝·＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 方法一　设＝a，＝b， 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 则＝(2,1)，＝(1，－2). 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. ∴||＝，即AC＝. 设＝a，＝b，则＝－＝a－b，＝＋＝a＋b， 而||＝|a－b|＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝， 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， AB ∴D， ∴||＝，||＝， ∴||＝||，即CD＝AB. ∴F，∴＝， ∴||＝，即AF＝. 如图，∵E为CD的中点，∴E. 设F(x,0)，则＝，＝(x，－m). ∵与共线， ∴×(－m)＝x，∴x＝， (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. 跟踪训练3　在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，若点P满足＝＋(＋)，则||等于 A.2 B.1 C. D.4 ∵＝＋(＋)， ∴－＝(＋)， 即＝(＋)， ∴||＝BC＝1. ∴＝，∴||＝，即AD＝. ∵BC的中点为D， A.2 B. C.3 D. ∵(＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||， 2.在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC 作＝F1，＝F2，＝－G(图略)， 则＝＋， － 故·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－. 由弦长AB＝，可知∠ACB＝60°， 4.已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且AB＝，则· 由＋＝0，得＝－＝， 2.在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为 由·＝0知，对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形. A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s 如图，设鹰在地面上的影子的速度＝v1，鹰的飞行速度＝v2， 由题可知||＝40，∠CAB＝30°， 则||＝|v2|＝＝(m/s). ∵|＋|＝|－|， 4.在△ABC中，若|＋|＝|－|，则△ABC的形状是 ∴＋＋2·＝＋－2·， ∴·＝0， 5.已知点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的 A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 ∵·＝·， ∴(－)·＝0， ∴·＝0，∴AC⊥OB. ∴＝(－3,3)，＝(1,1)，＝(－4,2). ∴||＝3，||＝，||＝2. ∵||2＋||2＝||2， ∴S△ABC＝||||＝××3＝3. ∴|v实际|＝＝＝16(km/h). ∴所需时间t＝＝0.05(h)＝3(min). 8.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝______. － ∴E，F(1,1)， ∴＋＝，＝(－2,1)， ∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－. 设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d， 即·＝0，所以AD⊥BC. 所以v1·v2＋v＝0， 所以40cos θ＋16＝0，解得cos θ＝－. 所以当cos θ＝－时，船能垂直到达对岸. 则t＝＝＝. 故当θ＝90°时，船航行的时间最短为 h. 而当船垂直到达对岸时，由(1)知sin θ＝. 所需时间t＝＝＝(h). 因为>， 11.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于 A. B.2 C.3 D.2 设||＝a(a>0)， 所以＝(2，－a)，＝(4，a). 因为⊥，所以·＝0， 所以a＝2，所以＝(2，－2)， 所以||＝＝2. A.(4，8) B. C. D.(－4，8) 由题意知＝(3,4)，＝(5,12)， 由角平分线的性质可得＝＝. ∴＝＋＝＋＝(3,4)＋(2,8)＝. ∴点D的坐标为. 13.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为 A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5 所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC. 则＝(＋). 因为3－－＝0， 所以3＝2， 所以＝， 所以|F′|＝400(N). 所以|G|＝400(N)， 即该学生的体重为m＝≈69.3(kg). 15.在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必通过△ABC的 A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 则2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·， 即(－)·＝·＝0， ∴⊥， 设正方形边长为1，||＝λ(0<λ<)， 则A(0,1)，P，E，F， 于是＝，＝. ∵||＝＝， 同理||＝， ∴||＝||，∴PA＝EF. 又·＝＋＝0， ∴⊥，∴PA⊥EF. $$