9.3.3 向量平行的坐标表示 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

9.3.3　向量平行的坐标表示 第9章　§9.3　向量基本定理及坐标表示 学习目标 1.理解用坐标表示的向量平行的条件. 2.能根据向量的坐标判断向量是否共线. 3.掌握三点共线的判断方法. 向量及其运算的坐标表示，使我们能用代数方法研究几何问题，前面已学习了两个互相垂直的向量的坐标之间的关系，这节课我们研究两个平行向量的坐标之间有怎样的关系. 导语 内容索引 一、向量平行的坐标表示 二、由向量平行(共线)求参数的值 课时对点练 三、三点共线问题 随堂演练 四、向量共线的综合应用 向量平行的坐标表示 一 问题1　向量a，b共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0)，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？ 1.向量平行的坐标表示 一般地，设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，则a∥b⇔ . x1y2－x2y1＝0 (1)当λ∈(0，＋∞)时，P位于线段P1P2的内部，特别地，当λ＝1时，P为线段P1P2的中点. (2)当λ∈(－∞，－1)时，P在线段P1P2的延长线上. (3)当λ∈(－1,0)时，P在线段P1P2的反向延长线上. 知识梳理 7 注意点： (1)当a＝0时，由于0与任意向量平行，故x1y2－x2y1＝0恒成立. (2)x1y2－x2y1＝0⇔x1y2＝x2y1，所以可用口诀“外项积＝内项积”来记忆. 知识梳理 8 例1　(多选)下列判断正确的是 对于选项A，当y1y2＝0时，不成立； 由向量平行的坐标表示知C，D正确，B错误. B.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b C.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b D.向量a＝(1,2)与向量b＝(4,8)共线 √ √ 9 向量共线的判定方法 反思感悟 10 且2×6－3×4＝0， 11 二 由向量平行(共线)求参数的值 例2　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向. ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵ka＋b与a－3b平行， 13 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解. 反思感悟 14 跟踪训练2　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，(a＋2b)∥(2a－2b)，求λ的值； a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)， 2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)， 由(a＋2b)∥(2a－2b)， 15 (2)已知a＝(x,1)，b＝(4，x)，a与b共线且方向相同，求x. ∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b， ∴x2－4＝0，解得x＝2或x＝－2. 当x＝2时，a＝(2,1)，b＝(4,2)，a与b共线且方向相同； 当x＝－2时，a＝(－2,1)，b＝(4，－2)，a与b共线且方向相反. ∴x＝2. 16 三 三点共线问题 ∴A，B，C三点共线. (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点. (2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线. 反思感悟 20 跟踪训练3　(1)若点A(－2,0)，B(3,4)，C(2，a)共线，则a＝_____. (2)已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若点C的横坐标为6，则点C的纵坐标为 A.－13 B.－9 C.9 D.13 √ 由题意，设点C的坐标为(6，y)， 因为A，B，C三点共线， 解得y＝－9. 四 向量共线的综合应用 例4　如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标. ∴点P的坐标为(3,3). ∴－6(x－2)＝2(y－6). ② 解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3,3). 在平面直角坐标系中，求解直线或线段的交点问题，利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快. 反思感悟 27 设点M的坐标为(x，y)， 因为点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)， 即7x－16y＝－20. 1.知识清单： (1)向量共线的判定. (2)由向量平行求参数的值. (3)三点共线问题. 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错. 课堂小结 随堂演练 五 1.(多选)下列各组向量中，共线的是 A.a＝(－1,2)，b＝(－2,4) B.a＝(－3,2)，b＝(6，－4) 利用平面向量共线的坐标表示可知，AB满足题意. 1 2 3 4 D.a＝(0，－1)，b＝(3,1) √ √ 2.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为 A.2 B.－2 C.3 D.－3 因为a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0， 解得x＝－3. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 设与a平行的单位向量为e＝(x，y)， 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 则－3×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0， 课时对点练 六 A.垂直 B.平行且同向 C.平行且反向 D.不垂直也不平行 ∴a＝－3b，∴a与b平行且反向. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 由a∥b，得5cos α－3sin α＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 4.(多选)在下列向量组中，不能把向量a＝(－3,7)表示出来的是 A.e1＝(0,1)，e2＝(0，－2) B.e1＝(1,5)，e2＝(－2，－10) C.e1＝(－5,3)，e2＝(－2,1) D.e1＝(7,8)，e2＝(－7，－8) 因为A，B，D中都是两个共线向量，而C中两向量不共线，故C可以把向量a＝(－3,7)表示出来. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)， ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)， 由(ma＋nb)∥(a－2b)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 6.已知点A(1，－3)和B(8，－1)，且点C(2a－1，a＋2)在直线AB上，则实数a的值为 A.2 B.13 C.－2 D.－13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 又因为点C在直线AB上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得a＝－13. 7.与向量a＝(12,5)平行的单位向量是_______________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设所求单位向量为b＝(x，y)， 8.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R，若a⊥b，则x＝________；若a∥b，则|a－b|＝___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3或－1 若a⊥b，则1×(2x＋3)－x2＝0， ∴x＝3或x＝－1； 若a∥b，则x(2x＋3)＋x＝0， ∴x＝0或x＝－2. 当x＝0时，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，求m的值，并判断ma＋4b与a－2b是同向还是反向. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ma＋4b＝(2m,3m)＋(－4,8)＝(2m－4,3m＋8)， a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)， 因为ma＋4b与a－2b共线， 所以4(3m＋8)－(－1)×(2m－4)＝0， 解得m＝－2. 当m＝－2时，ma＋4b＝(－8,2)， 所以ma＋4b＝－2(a－2b)， 所以ma＋4b与a－2b方向相反. 10.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A.(2,6) B.(－2，－6) C.(2，－6) D.(－2,6) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 由①②得x＝－2，y＝6，故C(－2,6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.(多选)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是 A.存在实数x，使a∥b B.存在实数x，使(a＋b)∥a C.存在实数x，m，使(ma＋b)∥a D.存在实数x，m，使(ma＋b)∥b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ A不正确，若a∥b，则x2＋9＝0，方程无实根； B不正确，若(a＋b)∥a，则3(x－3)－x(x＋3)＝0，方程无实根； C不正确，若(ma＋b)∥a，则3(mx－3)－x(3m＋x)＝0，方程无实根； D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 因为点A，B，C不能构成三角形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以－4(－a＋2)＝－2(b＋2)，整理得2a＋b＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又cos2α＋2sin α＝－sin2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2， ∴－2≤cos2α＋2sin α≤2， ∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 提示　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a≠0，由b＝λa得消去λ得x1y2－x2y1＝0. 2.若＝λ，则P，P1，P2三点共线. A.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝ 所以∥，即与共线. 又＝，所以与的方向相同. 跟踪训练1　已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， ＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)， ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－. 此时ka＋b＝＝＝－(a－3b)， ∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向. 可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝. 问题2　若A，B，C三点在一条直线上，则＝λ，即∥.反之，若∥，能否说明A，B，C三点共线呢？ 提示　能.∥说明与方向相同或相反，，又有公共点A，故可以说明A，B，C三点共线. ∵7×4－×8＝0， ∴∥，又，有公共点A， 例3　已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线. ＝＝， ＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， 故5a－16＝0，所以a＝. ＝(5,4)，＝(4，a)， 因为A，B，C三点共线，所以∥， 则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)， 所以∥，即－8(y＋6)－3×8＝0， 由，共线，得(4t－4)×6＝4t×(－2)， 解得t＝.∴＝(4t,4t)＝(3,3). 方法一　设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)， 则＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)， ＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6). 且向量，共线， 方法二　设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4). ∵，共线，∴4x－4y＝0. ① 又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)， 跟踪训练4　在△ABC中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC交于点M，求点M的坐标. 由题意知A，M，D三点共线，所以与共线. 所以＝(0,5)，＝(4,3). 又＝＝， 所以点C，同理点D. 而＝，＝， 所以x－4＝0， 而＝(x，y－5)，＝， 所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20. 由题意知C，M，B三点共线，所以与共线. 解得 所以点M的坐标为. C.a＝，b＝(10,5) 3.与a＝(3,4)平行的单位向量为 A. B.或 C.或 D. 则∴或 所以与a平行的单位向量为或. 4.已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝______. － 因为相异三点A，B，C共线，所以∥， 解得k＝－或k＝1， 当k＝1时，＝，点A与点B重合，不符合题意，故k＝－. 由题知，＝－＝(1－k,2k－2)，＝－＝(1－2k，－3). ∵向量a＝(2，－1)，b＝， 1.已知向量a＝，b＝，则a与b 则＝，即tan α＝. 2.已知向量a＝(3,5)，b＝(cos α，sin α)，且a∥b，则tan α等于 A. B. C.－ D.－ ＝＋＝(2,3)＋(1，t－3)＝(3，t)， 3.已知向量＝(2,3)，＝(1，t－3)，∥，则t等于 A. B. C. D. 又由∥，则2t＝9，解得t＝. 可得12m＋8n＝n－2m，则＝－. 5.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于 A.－2 B.2 C.－ D. 由已知得＝(8，－1)－(1，－3)＝(7,2)， ＝(2a－1，a＋2)－(1，－3)＝(2a－2，a＋5)， 所以∥，所以7(a＋5)＝2(2a－2)， 或 则∴或 故b＝或. 2或2 当x＝－2时，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝2. 由题意得＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0). 由B，P，D三点共线可设＝λ＝(5λ，4λ). 又∵＝－＝(5λ－4,4λ)， 由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0， 解得λ＝，∴＝＝， ∴点P的坐标为. 11.已知＝(－2,1)，＝(0,2)，若∥且⊥，则点C的坐标是 设点C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，＝(x，y－2)，＝(2,1). 由∥可得x＋2＝0， ① 由⊥可得2x＋y－2＝0， ② 13.＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C不能构成三角形，则实数m的值为 A.－ B. C.－2 D.－1 由题意知＝－＝(3,1)， ＝－＝(2－m,1－m)， 所以A，B，C三点共线，即∥， 所以3(1－m)－(2－m)＝0，解得m＝. 14.设＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为___________. 由题意得＝－＝(－a＋2，－2)，＝－＝(b＋2，－4). 又∥， 所以＋＝(2a＋b)＝≥＝， 当且仅当b＝a时，等号成立， 即＋的最小值为. 15.设向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，求的取值范围. 由a＝2b，知 ∴ 即解得≤m≤2， ∵＝＝2－， ∴－6≤2－≤1，∴的取值范围为[－6,1]. $$