9.3.2.2 向量数量积的坐标表示 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

第2课时　 向量数量积的坐标表示 第9章　9.3.2　向量坐标表示与运算 学习目标 1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 导语 内容索引 一、向量数量积的坐标表示 二、向量的模 课时对点练 三、向量的夹角与垂直问题 随堂演练 向量数量积的坐标表示 一 问题1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，a＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？ 提示　由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2. 由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8＝3×2＋2×1；a·b＝x1x2＋y1y2. 向量数量积的坐标表示 若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).则a·b＝x1x2＋y1y2. 即两个向量的数量积等于 . 注意点： 向量数量积的坐标表示适用于任意向量. 它们对应坐标的乘积的和 知识梳理 7 例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于 A.10 B.－10 C.3 D.－3 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)， 所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. √ 8 9 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 10 数量积坐标运算的技巧 (1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2＝a·a. ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. ③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积. 反思感悟 11 跟踪训练1　(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于 A.－1 B.0 C.1 D.2 因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)， 所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)， 则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1. √ 12 如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立直角坐标系，则 13 二 向量的模 问题2　设向量a＝(x，y)，你能由两向量数量积的坐标表示求|a|吗？ 问题3　对于平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何用向量推导A，B两点间的距离. 提示　由A(x1，y1)，B(x2，y2)， 注意点： (1)求模时，勿忘记开方. 知识梳理 17 例2　已知向量a＝(3,5)，b＝(－2,1). (1)求a－2b及其模的大小； ∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)， ∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， 18 (2)若c＝a－(a·b)b，求|c|. ∵a·b＝－6＋5＝－1， ∴c＝a＋b＝(1,6)， 19 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 反思感悟 20 ∵a＝(2,1)，∴a2＝5， √ 即a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50， ∴b2＝25，∴|b|＝5. 21 三 向量的夹角与垂直问题 向量的夹角 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，由向量数量 特别地，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 注意点： a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0的前提条件是a，b均不为零向量. 知识梳理 23 24 所以θ＝45°. 25 (2)求点A到直线OB的距离. 点A到直线OB的距离为 26 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法： 反思感悟 27 (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是 0°≤θ≤180°.利用cos θ＝ 判断θ的值时，要注意cos θ<0时有两种情 况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 反思感悟 28 √ 29 30 (2)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为 √ 31 由向量λa＋b与a－2b垂直，得 (λa＋b)·(a－2b)＝0. 因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)， 所以λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)， 所以(λa＋b)·(a－2b)＝(－3λ－1)×(－1)＋2λ×2＝0， 32 1.知识清单： (1)向量数量积的坐标表示. (2)用坐标表示向量的模及夹角. (3)向量垂直的坐标表示. 2.方法归纳：坐标法. 3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错. 课堂小结 随堂演练 四 a·b＝－x＋6＝3，故x＝3. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于 ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0， 1 2 3 4 √ 4.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝ ，则b等于 A.(－3，6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6，3) 由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)， 1 2 3 4 √ 又λ<0， ∴λ＝－3，故b＝(－3,6). 课时对点练 五 1.已知a＝(1,2)，b＝(4,3)，则(a－b)·b等于 A.－30 B.－15 C.－10 D.5 因为a＝(1,2)，b＝(4,3)， 所以a－b＝(－3，－1)， 所以(a－b)·b＝(－3)×4＋(－1)×3＝－15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 因为A(0，－1)，B(0,3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为 又∵θ∈[0，π]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是 A.|a|＝b2 B.a·b＝0 C.a＝2b D.(a－b)⊥b |a|＝b2＝2，故A正确； B，C显然错误； ∵a－b＝(1，－1)， ∴(a－b)·b＝1－1＝0，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 5.已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 则∠A＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴△ABC为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵四边形OABC是平行四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb，若a⊥c，则k＝______. 由已知得c＝(3,1)＋k(1,0)＝(3＋k，1)， 因为a⊥c，所以a·c＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设向量a＝(m，1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝_____，|a＋b|＝______. 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0， 即m＋2＝0，解得m＝－2. 所以a＋b＝(－1,3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －2 9.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2). (1)设c＝4a＋b，求(b·c)a； ∵c＝4(1，2)＋(2，－2)＝(6，6)， ∴b·c＝(2，－2)·(6，6)＝2×6－2×6＝0， ∴(b·c)a＝0·a＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若a＋λb与a垂直，求λ的值. ∵a＋λb＝(1，2)＋λ(2，－2)＝(1＋2λ，2－2λ)， (a＋λb)⊥a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， (1)求证：AB⊥AD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形ABCD为矩形， 设点C的坐标为(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，a－λb＝(3，－λ)，2a＋b＝(6,1). ∵a－λb与2a＋b共线， ∴设a－λb＝μ(2a＋b)，即(3，－λ)＝μ(6,1)， 12.(多选)已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ ∵ka－b＝(k，k＋2)，a＋b＝(1，－1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2， 又ka－b与a＋b的夹角为120°， 13.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3,0)，则|2a－b|的最大值和最小值分别是 ∵cos θ∈[－1,1]. ∴13－12cos θ∈[1,25]， ∴|2a－b|∈[1,5]，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 14.已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为______________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－∞，－1)∪(－1，1) ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵a，b的夹角α为钝角， ∴λ<1且λ≠－1. ∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1). 设P(x，0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 (3,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴A，B，C三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·的值是________. ∴＝，＝， ∴·＝－＋4＝. ∵AB＝，BC＝2， ∴A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2). ∵点E在边CD上，且＝2，∴E， ∴＝(－1,2)，＝. ∴·＝2－＝. (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝______. B(2,0)，E(1,2)，C(2,2)，F， 提示　能，a2＝a·a＝x2＋y2，所以|a|＝. 即AB＝. ＝(x1－x2，y1－y2)， 2＝·＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2， 得||＝， 1.向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝. 2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝. (2)两点间的距离公式也可表示为AB＝. ∴|a－2b|＝＝. ∴|c|＝＝. a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 跟踪训练2　已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于 A. B. C.5 D.25 又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50， 积的定义，可得cos θ＝＝ . 例3　已知向量＝(－1,3)，＝(1，t)，若(－2)⊥. (1)求向量与的夹角θ； 所以(－2)·＝(－3)×(－1)＋(3－2t)×3＝0，解得t＝2， 所以·＝(－1)×1＋3×2＝5，||＝，||＝， 所以cos θ＝＝＝， 因为＝(－1,3)，＝(1，t)， 所以－2＝(－3,3－2t)， 因为(－2)⊥， d＝||sin∠AOB＝×＝. 由cos θ＝＝直接求出cos θ. 跟踪训练3　(1)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于 A.2 B. C.0 D.－ 所以cos ＝，即＝， 所以＋m＝，解得m＝. 因为a＝(1，)，b＝(3，m). 所以|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m， 又a，b的夹角为， A. B.－ C. D.－ 即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－. 1.若向量a＝(x，2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于 A.3 B.－3 C. D.－ 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. cos θ＝＝＝－， 2.已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a，b的夹角θ等于 A. B. C. D. ∴n2＝3，∴|a|＝＝2. A.1 B. C.2 D.4 则|b|＝＝|λ|＝3， 3 所以＝(0,4)， 2.已知A(0，－1)，B(0,3)，则||等于 A.2 B. C.4 D.2 则||＝4. 设a，b的夹角为θ，∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5， A. B. C. D. ∴cos θ＝＝＝. ∴a与b的夹角为. ∵＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)， ＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)， ∴·＝21－21＝0， ∴⊥. 又||≠||， 6.设点A(4,2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为 A. B. C. D. ∴＝，即(4－0,2－0)＝(a－2,8－a)， ∴a＝6，∵＝(4,2)，＝(2,6)， 设向量与的夹角为θ， ∴cos θ＝＝＝， 又θ∈(0，π)，∴与的夹角为. 所以3(3＋k)＋1＝0，解得k＝－. － 所以|a＋b|＝. ∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝. ∴＝(1,1)，＝(－3,3)， ∴·＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴⊥，即AB⊥AD. ∴＝. 则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)， ∴解得∴C点坐标为(0,5). 则＝(－2,4)，＝(－4,2)， ∴·＝8＋8＝16，||＝2，||＝2. 设与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， ∴矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值为. 11.已知向量a＝(3,0)，b＝(0,1).若a－λb与2a＋b共线，则实数λ的值为 A.1 B.－1 C. D.－ 则解得 A.－1＋ B.－2 C.－1－ D.1 ∴|ka－b|＝，|a＋b|＝＝， ∴cos 120°＝， 即－＝， 化简并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±. |2a－b|＝＝＝＝. A.4，0 B.4,2 C.25,1 D.5,1 ∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1. ∴即 所以·＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 15.已知＝(2,2)，＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使·有最小值，则P点的坐标为_______. 当x＝3时，·有最小值，此时P(3,0). ·＝8.设与的夹角为θ， 16.已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ). (1)求·及在上的投影向量； 则cos θ＝＝＝， ∴在上的投影向量为(||cos θ)·＝4××＝＝(1，). ＝－＝(－2,2)， (2)证明A，B，C三点共线，且当＝时，求λ的值； ＝－＝(1－λ)－(1－λ)＝(λ－1)， 又∵与有公共点B，λ2≠λ， 当＝时，λ－1＝1，∴λ＝2. ||2＝(1－λ)22＋2λ(1－λ)·＋λ22 ＝16λ2－16λ＋16＝162＋12， (3)求||的最小值. ∴当λ＝时，||取得最小值2. $$