9.2.3.1 向量的数量积(1) （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

第1课时　 向量的数量积(一) 第9章　9.2.3　向量的数量积 学习目标 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量. 3.会计算平面向量的数量积. 我们已学习了向量的线性运算：加法和减法以及数乘，它们运算的结果还是一个向量，今天我们研究向量与向量能否“相乘”呢？ 导语 内容索引 一、向量的数量积 二、投影向量 课时对点练 随堂演练 向量的数量积 一 问题1　一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？功是力F和位移s的乘积吗？ 提示　如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W＝|F|·|s|·cos θ.功是一个数量，它由力和位移两个向量所确定，它不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量的夹角有关，是一种新的运算. 1.向量数量积 定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量__________ 叫作向量a和b的数量积，记作 ，即a·b＝ . 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 2.两个非零向量a和b的夹角θ，可以由cos θ＝ 求得. |a||b|cos θ a·b |a||b|cos θ 0 知识梳理 7 3.平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. 知识梳理 8 注意点： (1)0·a＝0. (2)a·b结果为数量，符号由夹角的余弦值决定. (3)数量积a·b也称为“内积”或“点积”，中间的点不能省略，也不能写为“×”. 知识梳理 9 例1　已知正△ABC的边长为1，求： 10 11 12 定义法求平面向量的数量积 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ. 运用此方法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 反思感悟 13 跟踪训练1　(1)若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于 √ 14 (2)已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为 A.60° B.120° C.135° D.150° √ 设a与b的夹角为θ， 又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 15 二 投影向量 投影 投影向量 知识梳理 18 3.向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. 注意点： (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量. (2)a与b平行时，a在b上的投影向量是其本身；a⊥b时，a在b上的投影向量为0. 知识梳理 19 例2　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影向量. 20 延伸探究　本例(2)改为求b在a上的投影向量. ∴b在a上的投影向量为 21 投影向量的求法 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定. 反思感悟 22 跟踪训练2　(1)已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b上的投影向量. ∴a在b上的投影向量为 23 √ 设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由a⊥(a＋b)， 24 1.知识清单： (1)向量的数量积. (2)投影向量. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：在计算向量夹角大小时两向量要共起点. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 √ 2.下列命题中正确的为 A.若|a|＝|b|，则a＝b B.若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c 1 2 3 4 D.若a∥b，则一定存在实数λ，使得b＝λa √ 对于A，向量的模相等不能推出向量相等，故A错误； 1 2 3 4 此时a与c不相等，故B错误； 对于D，当a＝0，b为非零向量时，a∥b，但不存在实数λ，使得b＝λa，故D错误. 3.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是 A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C.若a⊥b，则a·b＝0 1 2 3 4 √ √ a·b＝0，则a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2， 1 2 3 4 所以cos A<0，即∠A为钝角， 故△ABC为钝角三角形. 1 2 3 4 钝角三角形 课时对点练 四 1.若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ ∵AB＝5，BC＝2，∠B＝60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.(多选)若|a|＝1，|b|＝2，则|a·b|的值可能是 由向量的数量积性质|a·b|≤|a|·|b|＝2，可知ABC正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 设a与b的夹角为θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是 A.若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 B.|a·b|＝|a||b| C.λ(a＋b)＝λa＋λb D.|a·b|≤|a||b| 选项B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设a与b的夹角为θ，由题意知|a|＝|b|＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知|a|＝3，|b|＝5，设a，b的夹角为θ，当θ分别等于60°，135°时，求a在b上的投影向量，并图示其意义. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵AC2＋BC2＝AB2. ∴△ABC为直角三角形，且C＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确的是 A.cos θ>0⇔e1·e2>0 B.若e1∥e2，则e1·e2＝1 C.若e1∥e2，则e1·e2＝－1 D.|e1·e2|≤1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ ∵e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ， ∴若cos θ>0，则e1·e2>0； 若e1·e2>0，则必有cos θ>0，故A正确； e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2＝1；当e1，e2反向时，e1·e2＝－1，故B，C错误； |e1·e2|≤|e1||e2|＝1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知∠ABC＝90°， ∴原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A) ＝－20cos C－15cos A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.－7 B.7 C.25 D.－25 √ 13.定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于 A.8 B.－8 C.8或－8 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，连接CB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为CA＝CB，所以D是AB的中点， 15.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为______. 由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中， 因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|， 所以∠ABO＝30°，OA⊥OB， 即向量a与c的夹角为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 90° 16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知△MBD≌△MOC，故∠MCO与∠MDO互补， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC与MO或MA重合时，MC最大， 此时MC＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. (3)当a∥b时，a·b＝ (1)·； ∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)·； ∵与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－. (3)·. ∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. A.－3 B.－6 C.6 D.2 a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×＝－6. 则cos θ＝＝＝－， 问题2　若a，b是两个非零向量，＝a，＝b，如图，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，记，能否用a，b表示呢？ 提示　能.与共线，其方向与模可由a，b的模及夹角确定. 1.定义：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b ，向量称为向量a在向量b上的 . 2.向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos θ). a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×＝－10. a在b上的投影向量为(|a|cos θ)＝5×cos 120°×b＝－b. ∵|a|＝5，∴＝a， (|b|cos θ)·＝4cos 120°×a＝－a. ∵cos θ＝＝＝， (|a|cos θ)＝12××b＝b. 又|b|＝， 所以向量a在b方向上的投影向量为(|a|cos θ)·＝－b. (2)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a＋b)，则向量a在b方向上的投影向量为 A.－b B.b C.b D.－b 则a·(a＋b)＝a2＋a·b＝12＋1××cos θ＝0， 可得cos θ＝－，则|a|cos θ＝－， ·＝||||cos∠ABC＝2××cos 45°＝2. 1.在等腰Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于 A.－2 B.2 C.－2 D.2 C.若|a|＝2，|b|＝4，且a与b的夹角为，则a在b方向上的投影向量为b 对于C，a在b方向上的投影向量为|a|cos ·＝b，故C正确； 对于B，当|a|＝2，|c|＝2，〈a，b〉＝， 〈c，b〉＝时，a·b＝2|b|cos ＝|b|＝c·b＝2|b|cos ＝|b|， D.|a|＝ 所以|a|＝，所以D正确. 因为a·b<0，所以a·b＝||||cos A<0. 4.在△ABC中，已知＝a，＝b，当a·b<0时，△ABC的形状为___________.(填“锐角三角形”“直角三角形”“钝角三角形”) a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×＝－6. A.6 B.6 C.－6 D.－6 ∴·＝5×2×cos(180°－60°)＝10×＝－5. 2.在△ABC中，AB＝5，BC＝2，∠B＝60°，则·的值为 A.5 B.5 C.－5 D.－5 由＝，得四边形ABCD为平行四边形， 3.在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是 由·＝0，得AB⊥BC，所以四边形ABCD是矩形. A.0 B. C.2 D.3 ∵(|a|cos θ)＝b， 5.已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为 A.3 B. C.2 D. ∴(|a|cos θ)＝，∴|a|cos θ＝， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝. 7.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值是______. 方法一　·＝||||cos(180°－∠B)＝－||||cos B ＝－||||＝－||2＝－1. 方法二　||＝1，即为单位向量， ·＝－·＝－||||cos B， 而||·cos B＝||，所以·＝－||2＝－1. 则cos θ＝＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 8.已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为______. 当θ＝60°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)·＝3cos 60°·＝b； 当θ＝135°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)＝3cos 135°·＝－b， 如图，表示a，表示b， 过点A作所在直线的垂线，垂足为A1， 则即为a在b上的投影向量. ∴cos A＝＝，cos B＝＝. 10.在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求： (1)·； ·＝－·＝－5×4×＝－16. 在方向上的投影向量为 ||cos〈，〉·＝3××＝. (2)在方向上的投影向量； 在方向上的投影向量为 (3)在方向上的投影向量. ||cos〈，〉·＝5××＝－. ＝－20×－15×＝－16－9＝－25. 12.已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于 cos θ＝＝＝－， ∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴|a×b|＝2×5×＝8. 则向量在向量上的投影向量为. 14.如图，AB是圆C的弦，设＝a，＝b，则向量在向量上的投影向量为_____.(用a或b表示) 所以＝＝. (1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量； 由已知可得＝， 连接BM，AM(图略)，易知四边形OAMB是菱形， 则＝＋， 所以＝－＝－(＋)＝－－. (2)求·的取值范围. 所以∠DOC与∠DMC互补，故∠DMC＝60°，且||＝||， 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 则·＝1×1×cos 60°＝. 所以·的取值范围为. $$