9.2.1.1 向量的加法运算 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

第1课时　 向量的加法运算 第9章　9.2.1　向量的加减法 学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量 的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性. 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？ 唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，这样我们就引入了向量的运算. 导语 内容索引 一、向量加法的定义及三角形法则 二、向量加法的运算律及平行四边形法则 课时对点练 三、向量加法的实际应用 随堂演练 一 向量加法的定义及三角形法则 问题1　某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 1.向量加法的定义 求两个向量 的运算叫作向量的加法. 任一向量与其相反向量的和是 . 和 零向量 知识梳理 7 2.向量求和的三角形法则 向量求和的法则 三角形法则 a＋b 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的 法则 三角形 知识梳理 8 注意点： 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”. 知识梳理 9 例1　如图所示. (1)a＋b＝____； (2)c＋d＝____； (3)a＋b＋d＝____； (4)c＋d＋e＝_____. c f f g 10 反思感悟 11 根据平面向量的加法运算，得 √ 12 二 向量加法的运算律及平行四边形法则 问题2　我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 图1 借助图2，不难证明满足结合律. 图2 问题3　你能从问题2的结论出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？ 提示　平行四边形法则. 1.向量加法的运算律 (加法交换律)a＋b＝b＋a； (加法结合律)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 知识梳理 16 2.向量加法的平行四边形法则 向量求和的法则 平行四边形法则   与b的和.这种求两个向量和的方法叫作向量加法的 法则 平行四边形 知识梳理 17 注意点： (1)运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同. (2)从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的. (3)对于零向量与任一向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 知识梳理 18 例2　(1)如图①所示，求作向量a＋b； 19 (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. 20 方法一　(三角形法则)如图④所示， 21 方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 22 23 24 (1)向量加法运算律的意义和应用原则 ①意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. ②应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 反思感悟 25 (2)向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系   区别 联系 三角形法则 ①首尾相接 ②适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 ①共起点 ②仅适用于不共线的两个向量求和 反思感悟 26 跟踪训练2　(1)如图，已知向量a，b，求作向量a＋b. 27 (2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： 28 三 向量加法的实际应用 例3　河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为 ，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度及航向. 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度， 以OA，OB为邻边作矩形OACB，如图， 所以∠AOC＝60°， 所以小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行. 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念解答原问题. 反思感悟 32 跟踪训练3　如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1和F2的合力为______ N. 1.知识清单： (1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则. (2)向量加法的运算律. (3)向量加法的实际应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点. 课堂小结 随堂演练 四 D错误，当a，b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|，故选B，D. 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 课时对点练 五 A，B，C满足运算律及运算法则，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以α＝30°. 故a＋b的方向是北偏东30°. 又|a＋b|＝2(km)， 则a＋b表示向北偏东30°方向航行2 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 所以△ABC为等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A.a＋b＝c B.a＋d＝b C.b＋d＝a D.|a＋b|＝|c| 由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立； 由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立，故A，B，D正确，C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 7.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC(图略)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 9.如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，一架飞机从A地向北偏东35°的方向飞行800 km到达B地，然后又从B地向南偏东55°的方向飞行600 km到达C地，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据：sin 37°＝0.6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以sin∠BAC＝0.6，所以∠BAC＝37°， 即两次位移的和的方向为北偏东35°＋37°＝72°. 所以飞机飞行的路程是1 400 km， 两次位移的和的大小为1 000 km，方向为北偏东72°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)下列说法错误的有 A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方 向相同 B.若向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向与向量a的方向相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 D.若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b| √ √ √ A错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的； B正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D错，|a＋b|≤|a|＋|b|. A.P在△ABC的内部 B.P在△ABC的边AB上 C.P在AB边所在的直线上 D.P在△ABC的外部 根据向量加法的平行四边形法则， 如图，则点P在△ABC外. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A.a∥b B.a＋b＝a C.a＋b＝b D.|a＋b|<|a|＋|b| 因为零向量和任一向量都平行，零向量和任一向量的和等于这个向量本身，所以A，C正确；B，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 如图所示，连接AG并延长交BC于点E，则点E为BC的中点， 延长AE到点D，使ED＝GE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 15.设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为______. 当a，b共线同向时， |a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20； 当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4； 当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|， 即4<|a＋b|<20. 所以最大值为20，最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 20,4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移 的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以算作 是与的和. 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量 叫作a与b的和，记作 ，即a＋b＝＋＝ . 向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即＋＋…＋＝. ＋＋＝＋＝. 跟踪训练1　化简＋＋等于 A. B. C. D. 提示　如图1，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，容易发现＝b，＝a，故＝＋＝a＋b.又＝＋＝b＋a，所以a＋b＝b＋a. 对于任意两个不共线的非零向量a，b，分别作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a 首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示. 首先在平面内任取一点O，作向量＝a， 再作向量＝b，则得向量＝a＋b， 然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求. 则＝＋＝a＋b＋c即为所求. 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝a＋b. ＋＋＝＋＋＝＋＝0. (3)化简： ①＋； ＋＝＋＝. ②＋＋； ＝＋＋＋ ＝＋＋＝＋＝0. ③＋＋＋＋. ＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ①作＝a，＝b，则＝a＋b，如图④. ②作＝a，＝b，则＝a＋b，如图⑤. ③作＝a，＝b，则＝a＋b，如图⑥. ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. ②＋＋＋. ＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝. ①＋＋； 10 km/h 又因为tan∠AOC＝＝， 过平面内任意一点O，作＝a，＝b， 则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度， 所以||＝＝20(km/h)， ∴∠OCA＝90°，∴||＝12. ∴F1与F2的合力大小为12 N. 12 如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝. 在△OCA中，||＝24，||＝12，∠OAC＝60°， B错误，＋＝0； 1.(多选)下列等式不正确的是 A.a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b B.＋＝0 C.＝＋＋ D.|a＋b|<|a|＋|b| ＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝. 2.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于 A.0 B. C. D. 所以|＋|＝||＝AC＝. 在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝， 3.正方形ABCD的边长为1，则|＋|为 A.1 B. C.3 D.2 ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋ ＝＋＝. 4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于 A. B. C. D. 1.(多选)下列各式一定成立的是 A.a＋b＝b＋a B.0＋a＝a C.＋＝ D.|a＋b|＝|a|＋|b| ＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋ 2.＋＋＋＋等于 A. B. C. D. ＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝. 3.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示 A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向北偏东60°方向航行2 km D.向东北方向航行(1＋) km 如图，易知tan α＝， 4.如图所示，在▱ABCD中，＋＋等于 A. B. C. D. ＋＋＝＋(＋)＝＋0＝. 由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝， 5.若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是 即||2＝||2＋||2， 6.(多选)在▱ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是 ＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (1)＋＋＝_____； ＋＋＝(＋)＋＝＋＝0. (2)＋＋＝_____. 易知|＋|＝||＝1， 8.在边长为1的等边△ABC中，|＋|＝_____，|＋|＝_____. 则|＋|＝||＝2||×sin 60°＝2×1×＝. ＋＋＝＋＝. (1)＋＋； ＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (2)＋＋； ＋＋＝＋＋＝＋＝. (3)＋＋. 设，分别表示飞机从A地向北偏东35°的方向飞行800 km，从B地向南偏东55°的方向飞行600 km， 则飞机飞行的路程指的是||＋||； 两次位移的和指的是＋＝. 依题意，有||＋||＝800＋600＝1 400，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 在Rt△ABC中，||＝＝＝1 000， C.若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 C错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0； ＋＝， 12.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是 因为在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，所以a为零向量， 13.(多选)已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论中正确的是 则＋＝，＋＝0， 14.已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝_____. 所以＋＋＝0. 16.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：＋＋＝0. 由题意知，＝＋， ＝＋，＝＋. 由题意可知，＝，＝， 所以＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝(＋＋＋)＋(＋) ＝(＋＋＋)＋0 ＝＋＋＝＋＋＝0. $$