9.1 向量概念 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

§9.1　向量概念 第9章　平面向量 学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别. 3.理解零向量、单位向量、平行(共线)向量、相等向量、相反向量及向量的模、夹角等概 念，会辨识图形中这些相关的概念. 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量则不是这样，例如图中小船的位移. 小船由A地向东南方向航行15 n mile(海里)到达B地，如果仅指出“由A地航行15 n mile”而不指明“向东南方向”航行，那么小船就不一定到达B地了.本节课我们学习另外一种量——向量. 导语 内容索引 一、向量的概念及表示 二、向量的有关概念 课时对点练 三、两向量的夹角 随堂演练 向量的概念及表示 一 问题1　在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？ 提示　不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小. 问题2　从一支笔，一棵树等中可以抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们可以对力、位移等量进行抽象，形成一种新的量——向量.什么叫作向量？ 提示　既有大小又有方向的量叫作向量. 问题3　由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可以用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量.那么，该如何表示向量呢？ 提示　如图，用以A为起点，B为终点的有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向，记为 ，也可用a表示. 1.向量的概念 (1)向量：我们把既有 又有 的量叫作向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2.向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫作有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. 大小 方向 知识梳理 8 (2)向量的表示 ①几何表示：向量常用一条 来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为 .向量 的大小称为向量的 (或称为 )，记作 . 有向线段 长度 模 知识梳理 9 注意点： (1)书写向量时带箭头. (2)向量强调长度和方向两个元素. (3)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素. 知识梳理 10 例1　(1)下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有___________.(填序号) 由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量. 而质量、路程、密度、功，只有大小而没有方向，所以不是向量. ①⑥⑦⑧ 11 (2)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. 12 由题意，可知AB∥CD， ∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 13 (1)判断向量的依据：看是否同时具备两个要素：大小和方向. (2)作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点. 反思感悟 14 跟踪训练1　下列说法正确的是 A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，方向相同的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 无论向量的方向如何，它们都不能比较大小；向量的模是一个数量可以比较大小，故D正确. √ 15 二 向量的有关概念 问题4　向量由其模和方向所确定.对于两个向量a，b，就其模相等与不相等，方向相同与不相同而言，有哪几种可能的情形？ 提示　模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同. 相关概念 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于 长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向 的非零向量；向量a与向量b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量______ 相等向量 长度 且方向 的向量；向量a与向量b相等，记作a＝b 1个单位 相同或相反 平行 相等 相同 知识梳理 18 相反向量 与向量a长度 ，方向 的向量叫作a的相反向量，记作－a，a与－a互为相反向量. 规定：零向量的相反向量仍是零向量. 性质：对任意一个向量a，总有－(－a)＝a 相等 相反 知识梳理 19 注意点： (1)零向量的方向是任意的. (2)单位向量有无数个，它们长度相等，均为1个单位长度，但方向不一定相同. (3)平行向量与平行直线是有区别的，向量平行，向量所在的直线可以平行，还可以是同一条直线. 知识梳理 20 例2　(1)(多选)下列说法正确的是 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0；单位向量的长度都是1个单位长度，故A，C，D正确. B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的长度都为0 D.两个单位向量的长度相等 √ √ √ 21 ①与a长度相等、方向相反的向量有哪些？ 22 ②与a共线的向量有哪些？ 23 ③请一一列出与a，b，c相等的向量. 24 (1)解决向量的概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. (2)相等向量与共线向量的探求方法 ①相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. ②共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 反思感悟 25 跟踪训练2　(1)下列说法中正确的是 A.向量的模都是正实数 B.单位向量都是相等向量 C.向量的大小与方向无关 D.因为零向量的模为0，所以零向量没有方向 √ 26 零向量的模为0，故A不正确； 单位向量的方向可以是任意的，故B不正确； 向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确； 零向量的方向任意，故D不正确. 27 ①②③④ 28 ∵A，O，C三点在一条直线上， 29 三 两向量的夹角 问题5　把两个非零向量的起点移到同一点，所得图形是什么？ 2.范围： . 3.当θ＝ 时，a与b同向；当θ＝ 时，a与b反向. 4.当θ＝ 时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 0° 0°≤θ≤180° 180° 90° 注意点： 两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. 知识梳理 32 33 所以该平行四边形为菱形， 又由题意知∠BAD＝60°， 所以△ABD为等边三角形， 34 求两向量夹角的关键是利用平移的方法，使两向量起点重合，两个向量的夹角，按照“一作二证三求”的步骤求出. 反思感悟 35 √ 36 ∵AB2＋BC2＝AC2， 37 1.知识清单： (1)向量的概念及表示. (2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)、相反向量、向量的夹角. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：不理解零向量和单位向量的方向导致出错. 课堂小结 随堂演练 四 1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是 A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 1 2 3 4 √ A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 所以BA＝CD且BA∥CD， 所以四边形ABCD为平行四边形. 1 2 3 4 √ 3.(多选)下列说法错误的为 A.共线的两个单位向量相等 B.相等向量的起点相同 1 2 3 4 √ √ √ A错，共线的两个单位向量的方向可能相反； B错，相等向量的起点和终点都可能不相同； C错，直线AB与CD可能重合； D正确，AB与BC平行且有公共点B，则A，B，C三点共线. 1 2 3 4 4.在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，判断是否存在有下列关系的向量： (1)是共线向量的有______________； a∥d，e∥b，故a和d，e和b是共线向量. 1 2 3 4 a和d，b和e (2)方向相反的向量有____________； a和d，b和e是方向相反的向量. 1 2 3 4 a和d，b和e (3)模相等的向量有___________. 由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d. 1 2 3 4 a，c，d 课时对点练 五 1.(多选)下列说法正确的是 A.零向量的方向任意且与任一向量平行 B.共线的向量，若始点不同，则终点一定不同 C.若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 D.若|a|>|b|，则a>b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，故A正确； 由共线向量的定义可知，共线的向量，始点不同，终点可能相同，故B错误； 由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，向量所在的直线可以平行，也可以重合，故C正确； 向量不可以比较大小，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量 因为O是△ABC的外心， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.下列命题中，正确的是 A.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 B.若向量a，b是两个单位向量，则a＝b C.两个相等向量，起点、方向、长度必须都相同 D.共线的单位向量必是相等向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 对于A，若a，b中有一个是零向量，则a与b必共线，故A正确； 对于B，两单位向量的方向不一定相同，故B不正确； 对于C，只要方向相同，长度相等就是相等向量，故C不正确； 对于D，有可能是相反向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 135° 8.如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形. 在▱ABCD和▱ABDE中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 ∴E，D，C三点共线， 9.如图，D，E，F分别是正△ABC各边的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， 11.(多选)在下列结论中，正确的结论为 A.a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件 B.a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分又不必要条件 C.a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件 D.a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件 若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A，C，D正确，B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ √ 12.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是 由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不一定正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 又∠ACB＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中错误的是 A.C⊆A B.A∩B＝{a} C.C⊆B D.A∩B⊇{a} 因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量， 所以A∩B＝{a，－a}，故B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ②当点C位于点C5或C6时， || ②字母表示：向量也可用小写字母a，b，c来表示(印刷时用黑体a，b，c，书写时用，，). ①作出向量，，； 向量，，，如图所示. ②求||. ∵||＝||， ∴AD＝BC，∴||＝||＝200(km). A.向量与向量的长度相等 (2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c. 与a长度相等、方向相反的向量有，，，. 与a共线的向量有，，，，，，，，. 与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，. (2)设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④||＝||.其中，所有正确结论的序号为____________. ∵AB∥DC，∴与共线，③正确； ∵OC＝OD，∴||＝||，④正确. ∵与方向相同，长度相等， ∴＝，①正确； ∴∥，②正确； 提示　角，如图，作＝a，＝b，得∠AOB. 1.定义：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示). 例3　已知，在平行四边形ABCD中，||＝||，且向量与的夹角为60°，则与的夹角为多少？与的夹角为多少？ 即与的夹角也为60°. 因为在平行四边形ABCD中，||＝||， 故向量与的夹角为∠BAC＝30°， 向量与的夹角大小与∠ABD相等，∠ABD＝60°， 跟踪训练3　在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，则向量与的夹角为 A. B. C. D. ∴△ABC为直角三角形，且∠B＝，∠BCA＝， 如图所示. 延长AC至D使AC＝CD，则＝， 所以∠BCD即为向量与的夹角，且∠BCD＝π－＝. 因为＝，ABCD为四边形， 2.若＝，则四边形ABCD的形状为 C.若∥，则一定有直线AB∥CD D.若向量，共线，则点A，B，C必在同一直线上 所以||＝||＝||. 2.设O是△ABC的外心，则，，是 若AB∥CD，则向量，共线，但，共线，A，B，C，D四点有可能在一条直线上. 3.“向量，共线”是“直线AB∥CD”的 故“向量，共线”是“直线AB∥CD”的必要不充分条件. ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等. 4.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是 A.＝ B.||＝|| C.> D.< A.与相等的向量只有1个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与的夹角为60° 由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确. 所以||＝||， 故||＝||，因此选项C正确. 因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，因为与的夹角为∠ADC的补角. 所以与的夹角为120°，故选项D不正确. 由向量的夹角的定义知，与的夹角为∠B的补角，故为135°. 7.在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，则向量与的夹角为______. ∵＝，＝， ∴＝. (1)与向量相等的向量为__________； ， 由(1)知，＝， (2)若||＝3，则||＝_____. ||＝||＋||＝2||＝6. 与长度相等的向量是，，，，，，，. (1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量； 与共线的向量是，，； (2)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量； 与共线的向量是，，. 因为△ABC为正三角形，与的夹角为∠ABC， (3)求与，与的夹角的度数. 故与的夹角为60°，与的夹角为∠AFD的补角， 故与的夹角为120°. (1)作出向量，，(图中1个单位长度表示100 m)； 10.某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后改变方向，向北偏西一定角度的某方向行走了100 m到达点C，最后又改变方向，向东走了200 m到达点D，发现点D在点B的正北方. (2)求向量的模. 所以||＝||＝100(m). A.||＝|| B.与共线 C.与共线 D.＝ 13.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||等于 A.1 B. C. D.2 如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°， 则||＝||＝×2＝1. 14.设O是正方形ABCD的对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中，与共线的向量为_____________；与的模相等的向量为___________________________________，与垂直的向量 为___________________. ，， ，，，，，， ，，， 16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； 画出所有的向量，如图所示. (2)求||的最大值与最小值. ||取得最小值为＝； ||取得最大值为＝. 所以||的最大值为，最小值为. $$