综合检测试卷 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

综合检测试卷 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 于是l＝2r，代入S＝πrl，得S＝2πr2， 设圆锥的底面半径为r，母线长为l. √ 3.已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为S，则圆锥的底面面积是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角或等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ ∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)， ∴由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A， ∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A. ∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∴△ABC为直角或等腰三角形. 5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 如图所示，取BC的中点F，连接EF，OF，BC1. 因为E为CC1的中点， 所以EF∥BC1∥AD1， 故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成的角(或其补角)， 不妨设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6.在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，且AB＝BC＝CA＝PC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为 又PC⊥平面ABC， ∴PC⊥CM， 作△ABC的外接圆，过点C作外接圆的直径CM， 连接PM， 则PM为三棱锥P－ABC的外接球的直径，如图所示. ∵AB＝BC＝CA＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∴三棱锥P－ABC的外接球的表面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船的行驶方向与距离分别为 17 18 19 20 21 22 √ 由已知得在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°， AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°， 所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点.当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 将侧面展开，展开图如图所示， 所以由平面几何性质可知AD＋DC1≥AC1， 当且仅当A，D，C1三点共线时取得等号， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，有BB1⊥CB， 又AB⊥CB，AB∩BB1＝B，AB，BB1⊂平面ABD， 所以CB⊥平面ABD， 所以C1B1⊥平面ABD， 即C1B1是三棱锥C1－ABD的高， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) A.复数z的虚部为－i B.|z|＝2 C.复数z的共轭复数为－1－i D.复数z2为纯虚数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 可得复数z的虚部为－1，所以A错误； 由z2＝(1－i)2＝－2i，可得复数z2为纯虚数，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10.已知α，β，γ是两两不重合的三个平面，下列命题正确的是 A.若α∥β，β∥γ，则α∥γ B.若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ C.若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ D.若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 20 21 22 √ 因为A＋3C＝π，所以B＝2C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 因为sin C≠0， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，化简得a2－4a＋3＝0， 解得a＝3，或a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12.如图，正方形ABCD与正方形DEFC的边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则以下结论正确的是 C.当P在直线AE上运动时，三棱锥D－BPF的体积不变 D.三棱锥A－DCE外接球的表面积为3π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 20 21 22 √ 对于A，连接DP，CP， 因为CD⊥DE，CD⊥AD，AD∩DE＝D， 所以CD⊥平面ADE，又DP⊂平面ADE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 对于B，如图， 将△ADE翻折到与平面ABFE共面， 则当D，P，F三点共线时， PD＋PF取得最小值，∠DEF＝135°， 对于C，当P在直线AE上运动时，△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，故三棱锥D－BPF的体积不变，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 对于D，将该几何体补成正方体， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)对应的点在x轴上方，则m的取值范围是_________. (－∞，3) 复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)在复平面上对应的点的坐标为(m－1, 3－m)，如果该点落在x轴上方， 则有3－m>0，解得m<3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14.莱昂哈德·欧拉是科学史上一位杰出的数学家，他的研究论著几乎涉及所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉的名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总满足数量关系V＋F－E＝2，此式称为欧拉定理.已知某凸八面体，4个面是三角形，3个面是四边形，1个面是六边形，则该八面体的棱数为________，顶点数为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 9 因为该八面体的4个面是三角形，3个面是四边形，1个面是六边形， 设其顶点数为x， 因为顶点数V、棱数E、面数F之间总满足数量关系V＋F－E＝2， 所以x＋8－15＝2，解得x＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 由已知及正弦定理可得2cos A(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝sin A， 可得2cos Asin(B＋C)＝sin A， 故2cos Asin A＝sin A，又0<A<π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由余弦定理可得13＝b2＋c2－2bccos A， 即有13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36， 解得b＋c＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16.已知底面边长为a的正三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点在球O1上，又球O2与此正三棱柱的5个面都相切，则球O1与球O2的半径之比为_______，表面积之比为________. 5∶1 设球O1，球O2的半径分别为R，r， 因为正三棱柱的六个顶点都在球O1上， 球O2与此正三棱柱的5个面都相切， 所以球心O1，O2在上、下底面中心的连线的中点上. 如图，AB＝a，OA＝R，OE＝r， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 因为OA2＝OE2＋AE2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 球O1与球O2的表面积之比为5∶1. 四、解答题(本大题共6小题，共70分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (1)求角C的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由余弦定理知，c2＝a2＋b2－2abcos C， (1)若z－2为纯虚数，求虚数z； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)， 则z－2＝x－2＋yi，由z－2为纯虚数得x＝2， 所以z＝2＋yi， 所以z＝2＋3i或z＝2－3i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)求|z－4|的取值范围. 设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)， 因为y≠0，所以(x－2)2＋y2＝9， 由(x－2)2<9得x∈(－1,5)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 即|z－4|的取值范围是(1,5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M.求证： (1)EN∥平面PDC； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC， 又∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC， ∴AD∥平面PBC. ∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，AD⊂平面ADMN， ∴AD∥MN.∴MN∥BC. 又∵N为PB的中点，∴M为PC的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∴DE∥MN且DE＝MN， ∴四边形DENM为平行四边形，∴EN∥DM. 又∵EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC， ∴EN∥平面PDC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)BC⊥平面PEB； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点，∴BE⊥AD. 又∵PE⊥AD，PE∩BE＝E，PE，BE⊂平面PBE， ∴AD⊥平面PEB. ∵AD∥BC， ∴BC⊥平面PEB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (3)平面PBC⊥平面ADMN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由(2)知AD⊥PB. 又∵PA＝AD＝AB，且N为PB的中点， ∴AN⊥PB. ∵AD∩AN＝A，AD，AN⊂平面ADMN， ∴PB⊥平面ADMN. 又∵PB⊂平面PBC， ∴平面PBC⊥平面ADMN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20.(12分)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，c＝ ，B＝45°. (1)求sin C的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 所以∠ADC为钝角， 而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°， 所以C为锐角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.(12分)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝ ＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE. (1)证明：CD⊥平面A1OC； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 连接CE(图略).在直角梯形ABCD中， 所以四边形ABCE是正方形， 所以BE⊥AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 在四棱锥A1－BCDE中，BE⊥A1O，BE⊥OC， 因为A1O∩OC＝O，A1O⊂平面A1OC，OC⊂平面A1OC， 所以BE⊥平面A1OC. 又因为DE∥BC，DE＝BC， 所以四边形BCDE是平行四边形， 所以CD∥BE， 所以CD⊥平面A1OC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为 求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE. 又由(1)知，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE， 平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，BC＝CD＝ ＝1，PA＝PD，E，F分别为线段AD，PC的中点. (1)求证：PA∥平面BEF； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 如图，连接AC交BE于点O，并连接FO，CE， ∴AE∥BC，且AE＝BC， ∴四边形ABCE为平行四边形， ∴O为AC的中点. 又F为PC的中点，∴OF∥PA， ∵OF⊂平面BEF，PA⊄平面BEF， ∴PA∥平面BEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)若PC与BA所成的角为45°，求二面角F－BE－A的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由题意和(1)可得四边形BCDE为正方形， 由四边形ABCE为平行四边形可得EC∥AB， ∴∠PCE为PC与BA所成的角， 即∠PCE＝45°. 连接PE， ∵PA＝PD，E为AD的中点， ∴PE⊥AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD， ∴PE⊥平面ABCD， 又∵EC⊂平面ABCD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 取PD的中点M，连接ME，MA，MF. 由M，F分别为PD，PC的中点，得MF∥CD. 又CD∥BE，∴MF∥BE， ∴B，E，M，F四点共面. ∵BE⊥AD，AE，EM⊂平面PAD， ∴BE⊥AE，BE⊥EM， 则∠MEA为二面角F－BE－A的平面角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由题意得z＝＝＝＝－1＋2i， 所以＝－1－2i. 1.若复数z满足z(1－2i)＝3＋4i(i为虚数单位)，则等于 A.－1＋2i B.＋2i C.－1－2i D.－2－i 由正弦定理得，a＝＝. 2.在△ABC中，若A＝60°，C＝45°，c＝，则a等于 A.1 B. C. D.2 A.2S B. C.S D.S 所以圆锥的底面面积为πr2＝. 则由题意，得S侧＝πl2，S侧＝πrl， 所以πl2＝πrl， ∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，  A. B. C. D. 故∠OFE＝90°，故cos∠OEF＝＝. 则在△OEF中，EF＝，OE＝，OF＝1，  A. B.4π C. D. ∴CM＝＝.  S外接球＝4πR2＝π·＝. ∴PM2＝PC2＋CM2＝22＋2＝， A.北偏东60°；10 B.北偏东40°；10 C.北偏东30°；10 D.北偏东20°；10 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC ＝102＋102－2×10×10×＝300， 所以AC＝10. A.1 B. C. D. 此时BD＝·CC1＝1， 所以S△ABD＝×AB×BD＝. 所以 ＝×S△ABD×C1B1＝××2＝. 9.若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论错误的是 由题意得z＝＝＝1－i， 因为|z|＝＝，所以B错误； 由共轭复数的概念，可得复数＝1＋i，所以C错误； 11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，  A＋3C＝π，则下列结论正确的是 A.cos C＝ B.sin B＝ C.a＝3 D.S△ABC＝ 根据正弦定理可得＝， 即2sin C＝6sin Ccos C， 故cos C＝，sin C＝，sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝. 若a＝3，此时A＝C＝，B＝，不满足题意， 故a＝1.S△ABC＝absin C＝×1×2×＝. A.CP的最小值为 B.PD＋PF的最小值为 所以CD⊥DP，DP的最小值为AE＝， 所以CP＝＝≥＝，故A错误； 此时PD＋PF＝DF＝＝，故B错误； 则外接球的半径为， 外接球的表面积为4π2＝3π，故D正确. 所以该八面体的棱数E＝＝15. 15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos A(bcos C ＋ccos B)＝a＝，△ABC的面积为3，则A＝_____，b＋c＝_____. ∵A∈(0，π)，∴A＝. ∴sin A≠0，∴cos A＝. 由面积公式可得3＝bcsin A＝bc，即bc＝12. ∶1 在△OEA中，AE＝×a＝a，OE＝r＝×a＝a. 所以R2＝a2，r2＝a2， 则球O1与球O2的半径之比为∶1， 由正弦定理得＝＝1， 17.(10分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝. 即tan C＝. 因为C∈(0，π)，所以C＝. 解得b＝或b＝(舍去)， (2)若a＝，c＝2b，求△ABC的面积. 即4b2＝3＋b2－2bcos ，即b2＋b－1＝0， 所以△ABC的面积S＝absin C＝××sin ＝. 18.(12分)已知z为虚数，z＋为实数. 则z＋＝2＋yi＋＝2＋i∈R， 则y－＝0，解得y＝±3， 因为z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i∈R， 所以y－＝0， 所以|z－4|＝|x＋yi－4|＝ ＝∈(1,5). ＝ ∴MN＝BC. ∵E为AD的中点，∴DE＝AD＝BC＝MN， 得b2＝9＋2－2×3×cos 45°＝5， 所以sin C＝. 所以b＝. 在△ABC中，由正弦定理得＝， 在△ABC中，因为a＝3，c＝，B＝45°， (2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值. 故cos C＝＝， 则tan C＝＝. 在△ADC中，因为cos∠ADC＝－， 因为cos∠ADC＝－， tan∠ADC＝＝－. ＝－＝－＝. 所以sin∠ADC＝＝， AD 因为AB＝BC＝AD＝a，点E是AD的中点，∠BAD＝90°， 36， 即A1O是四棱锥A1－BCDE的高，A1O＝a. 所以四棱锥A1－BCDE的体积V＝×S×A1O＝a3. 由a3＝36，解得a＝6. AD ∵BC∥AD，BC＝AD，E为AD的中点， ∴EC＝BC＝. ∴PE⊥EC，∴PE＝EC＝. 即二面角F－BE－A的余弦值为－. 又∵cos∠PDE＝，MD＝， ∴cos∠MEA＝－cos∠MED＝－cos∠PDE＝－， ∵AE＝1，∴PA＝，∴EM＝， $$