11.4.1.1 直线与平面垂直的判定及应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

第十一章　11.4.1　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直 的判定及应用 学习目标 1.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角. 2.理解直线与平面垂直的定义及性质. 3.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题. 导语 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象. 内容索引 一、异面直线所成的角 二、直线与平面垂直的定义 课时对点练 三、直线与平面垂直的判定定理及推论 随堂演练 异面直线所成的角 一 问题1　平面内两条直线所成的角的范围是多少？ 6 1.定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b 的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小. 2.范围： .特别地，当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作 . 注意点： (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关. (2)找出两条异面直线所成的角，要作平移(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 平行或重合 0°<θ≤90° 90° a⊥b 知识梳理 7 例1　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角； ∵CG∥FB， ∴∠EBF或其补角是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°. 8 (2)FO与BD所成的角. 9 如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD， ∴FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 10 求两异面直线所成角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°< θ≤90°. 反思感悟 11 跟踪训练1　在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 12 如图所示，取AC的中点G， 连接EG，FG， 从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角. 13 ∵AB与CD所成的角为30°， ∴∠EGF＝30°或150°， 由AB＝CD知EG＝FG， 则△EFG为等腰三角形， 当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°； 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 14 二 直线与平面垂直的定义 问题2　如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？ 提示　始终保持垂直. 16 问题3　在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 提示　可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 17 1.定义：直线l与平面α垂直，指的是直线l与平面α内__________________ _____都垂直. 2.充要条件：由空间中两条直线相互垂直的定义可知，直线l与平面α垂直的充要条件是 .这可以用符号表示为l⊥α⇔∀m⊂α，l⊥m. 3.画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示. 过它们公共点的所有 直线 直线l与平面α内的任意直线都垂直 知识梳理 18 例2　(多选)下列命题中，不正确的是 A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α √ √ √ 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确； 当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确； 若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，所以D错误. 19 (1)线面垂直的定义中“任意直线”不可以换为“无数条直线”. (2)直线和平面垂直的定义具有双重作用：判定和性质.判定是指，如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，那么直线就与平面垂直；性质是指，如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线，即a⊥α，b⊂α⇒a⊥b. 反思感悟 20 跟踪训练2　(多选)下列说法，正确的是 A.若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线 B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可 能平行 C.若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α √ √ 21 由线面垂直的定义知，A正确； 当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，B错误； C显然是正确的； a可能在α内，D错误. 22 三 直线与平面垂直的判定定理及推论 问题4　如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ 提示　不一定.折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面垂直. 24 文字语言 定理：如果一条直线与一个平面内的 垂直，则这条直线与这个平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， ≠∅⇒l⊥α 图形语言   两条相交直线 a∩b 知识梳理 25 文字语言 推论：如果两条平行直线，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 符号语言 l⊥α，m∥l⇒m⊥α 图形语言   知识梳理 26 例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD. 27 ∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC， 又AA1⊥平面ABCD， ∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A， ∴BD⊥平面AA1O， ∴BD⊥A1O， 令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)， 28 ∴A1O2＋OM2＝A1M2， ∴A1O⊥OM， 又OM∩BD＝O，OM，BD⊂平面MBD， ∴A1O⊥平面MBD. 29 证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直 ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法(利用推论) ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 反思感悟 30 跟踪训练3　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM； 31 ∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. 32 (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 33 由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ. 34 1.知识清单： (1)异面直线所成的角. (2)直线与平面垂直的定义. (3)直线与平面垂直的判定定理. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：易忽略直线与平面垂直的判定定理中“两条直线相交”这一关键条件. 课堂小结 随堂演练 四 由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB. 1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定 √ 1 2 3 4 由直线与平面垂直的判定定理的推论知，选项D正确. 2.下列条件中，能使直线m⊥平面α的是 A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B.m⊥b，b∥α C.m∩b＝A，b⊥α D.m∥b，b⊥α √ 1 2 3 4 3.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________. 1 2 3 4 60° 如图，连接BC1，AD1， ∵MN∥BC1∥AD1， ∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角， 连接CD1. ∵△ACD1是等边三角形， ∴∠D1AC＝60°. 1 2 3 4 4.如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，BD⊥EF，则AC与EF的位置关系是________. 1 2 3 4 垂直 ∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD， 故直线AB与CD确定一个平面ABDC. ∵AB⊥α，EF⊂α， ∴AB⊥EF， 又BD⊥EF，AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABDC， ∴EF⊥平面ABDC. ∵AC⊂平面ABDC， ∴AC⊥EF. 1 2 3 4 课时对点练 五 若l∥m，又l⊄α，m⊂α，∴l∥α， 这与已知l⊥α矛盾. 所以直线l与m不可能平行. 1.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能 A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面 A.有且只有一个 B.至多一个 C.有一个或无数个 D.不存在 √ 若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 3.如图所示，如果MC⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，那么MA与BD的位置关系是 A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 连接AC(图略).因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC. 又MC⊥平面ABCD，所以BD⊥MC. 因为AC∩MC＝C，AC，MC⊂平面AMC， 所以BD⊥平面AMC. 又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD. 显然直线MA与直线BD不共面， 因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 如图，连接BE， ∵AB∥CD， ∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角， 即∠EAB或其补角. 不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2， 又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，则在四面体 A－OEF中，下列说法中正确的是 A.AH⊥平面OEF B.AO⊥平面OEF C.AE⊥平面OEF D.AF⊥平面OEF √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 ∵在原正方形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，BC⊥CD， ∴折叠后AO⊥OE，AO⊥OF. 又OE∩OF＝O，OE，OF⊂平面OEF， ∴AO⊥平面OEF，故B正确； 如图，连接AH， 因为过一点与一平面垂直的直线有且只有一条， 且AE，AF，AH均不与AO重合， ∴AE，AF，AH均不与平面OEF垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 √ 11 6.(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是 √ 对于A，易证AB与CE所成角为45°， 所以直线AB与平面CDE不垂直； 对于B，易证AB⊥CE，AB⊥ED， 且CE∩ED＝E，CE，ED⊂平面CDE， 所以AB⊥平面CDE； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 对于C，易证AB与CE所成的角为60°， 所以直线AB与平面CDE不垂直； 对于D，易证ED⊥平面ABC， 所以ED⊥AB，易知EC⊥AB， 又ED∩EC＝E，ED，EC⊂平面CDE，可得AB⊥平面CDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 7.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 5 如图，取AD的中点P，连接PM，PN， 则BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN或其补角即为异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 ∴MN＝5. 8.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在边BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则实数a的值为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 连接AQ(图略)，因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥QD， 又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P， 所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD， 即∠AQD最大为90°时，此时Q为BC的中点，只有一个， 故BC＝2AB＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 9.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝ ，DA⊥ AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值. 如图，取AC的中点F，连接EF，BF. 在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD， ∴∠BEF(或其补角)即为异面直线BE与CD所成的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 在Rt△EAB中，AB＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 10.如图，在四面体ABCD中，AC＝BD，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ AC，∠BDC＝90°，求证：BD⊥平面ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 如图，取CD的中点G， 连接EG，FG. ∵E，F分别为AD，BC的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 又∵AC＝BD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 ∴EG⊥FG，∴BD⊥AC. ∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD. 又∵AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD， ∴BD⊥平面ACD. 11.已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是 A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 综合运用 11 如图，取BD的中点O， 连接AO，CO， 则BD⊥AO，BD⊥CO， 又AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面AOC， ∴BD⊥平面AOC， ∴BD⊥AC， 又BD与AC异面，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 12.已知P为△ABC所在平面外一点，O为点P在ABC上的射影，若PA⊥BC，PB⊥AC，则点P为△ABC的 A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 如图，因为P为△ABC所在平面外一点， O为点P在平面ABC上的射影， 所以PO⊥平面ABC， 又因为BC⊂平面ABC， 所以BC⊥PO， 因为PA⊥BC，PA∩PO＝P， 所以BC⊥平面PAO， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 因为AO⊂平面PAO， 所以AO⊥BC， 同理可得BO⊥AC， 从而O是△ABC的垂心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 13.当动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是 √ 由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成角， 设正方体棱长为1，DP＝x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 又∠AD1P∈(0，π)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 14.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下面三个结论： ①点H是△A1BD的中心； ②AH垂直于平面CB1D1； ③直线AC1与直线B1C所成的角是90°. 其中正确结论的序号是________. ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 连接A1H，BH，DH(图略). 因为AB＝AD＝AA1，AH⊥平面A1BD， 所以Rt△ABH≌Rt△ADH≌Rt△AA1H， 所以HB＝HD＝HA1. 又因为△A1BD是等边三角形， 所以点H是△A1BD的中心，①正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 因为A1B1∥AB，A1B1＝AB，CD∥AB，CD＝AB， 所以A1B1∥CD，且A1B1＝CD， 所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以B1C∥A1D. 又因为A1D⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD， 所以B1C∥平面A1BD. 同理可得B1D1∥平面A1BD. 又因为B1C∩B1D1＝B1，B1C，B1D1⊂平面CB1D1， 所以平面CB1D1∥平面A1BD， 又因为AH⊥平面A1BD，所以AH⊥平面CB1D1，②正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 连接AC1，BC1(图略). 因为四边形BCC1B1是正方形， 所以B1C⊥BC1. 因为AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1， 所以B1C⊥AB. 又因为BC1∩AB＝B，BC1，AB⊂平面ABC1D1， 所以B1C⊥平面ABC1D1. 又因为AC1⊂平面ABC1D1， 所以AC1⊥B1C，所以直线AC1与直线B1C所成的角是90°，③正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 15.如图所示，圆锥的底面直径AB＝4，高OC＝ ，D为底面圆周上的一点，且∠AOD＝120°，则异面直线AD与BC所成的角为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 拓广探究 11 60° 所以△CBE为正三角形， 所以∠CBE＝60°. 如图，延长DO交底面圆于点E， 连接BE，CE，由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE， 且AD＝BE， 所以∠CBE即为异面直线AD与BC所成的角或其补角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝2，AD＝CD＝1，M是PB的中点. (1)求证：AM∥平面PCD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 如图， 取PC的中点N，连接MN，ND，因为M，N为PB，PC的中点， 所以MN綉AD， 故四边形AMND为平行四边形， 所以AM∥ND. 因为AM⊄平面PCD，ND⊂平面PCD， 所以AM∥平面PCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 (2)求证：AC⊥平面PAB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 因为PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD， 所以AC⊥PA， 由题意知底面ABCD为直角梯形， 则BC2＝AC2＋AB2， 所以AC⊥AB， 又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以AC⊥平面PAB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 提示　. 则EG∥AB且EG＝AB， GF∥CD且GF＝CD. 则A1O＝，OM＝，A1M＝3， A. B. C. D. 由勾股定理得BE＝. ∴tan∠EAB＝＝.  PN＝AC＝4，PM＝BD＝3， 在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1.  AE＝AD＝，∴BE＝. 在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝. 在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝， 在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝. ∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为. ∴EG∥AC，EG＝AC，FG∥BD，FG＝BD， ∴FG＝EG＝AC. 在△EFG中，∵EG2＋FG2＝AC2＝EF2，  A. B. C. D. 则x∈，连接AD1，AP(图略)， 故cos∠AD1P＝， 在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝， 又∵x∈， ∴∠AD1P∈. ∴ cos∠AD1P＝∈， 2 在△AOD中，AD＝2OAsin 60°＝2， 在△CBE中，CB＝CE＝BE＝2， 所以MN綉BC，又AD綉BC，  AD＝CD＝1，AC＝， 又AB＝，BC＝2， $$