11.3.3 平面与平面平行 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

第十一章　§11.3　空间中的平行关系 11.3.3　平面与平面平行 学习目标 掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用上述定理解决空间中的平行问题. 导语 上节课我们学习了线面平行的判定定理和性质定理，那么我们又该如何判定两平面平行呢？两平面平行又具有怎样的性质呢？ 内容索引 一、平面与平面平行的判定定理 二、平面与平面平行的性质定理的应用 课时对点练 三、平行问题的综合应用 随堂演练 平面与平面平行的判定定理 一 问题1　如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在的直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 提示　硬纸片不一定平行，三角尺和桌面一定平行. 6   判定定理 推论 文字语言 如果一个平面内有_________ ____分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一个平面内有________ _____分别平行于另一个平面内的 ，则这两个平面平行 符号语言 l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l∥β，m∥β⇒α∥β a∥c，b∥d，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β⇒α∥β 平面与平面平行的判定定理 两条相交 直线 两条相交 直线 两条直线 知识梳理 7 图形语言     知识梳理 8 注意点： (1)定理中，要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字，否则条件不充分，结论不成立. (2)判定定理：由线面平行⇒面面平行. 知识梳理 9 例1　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点. 求证：(1)B，C，H，G四点共面； 10 ∵GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面. 11 (2)平面EFA1∥平面BCHG. 12 ∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形， ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 13 ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 14 两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行. 反思感悟 15 跟踪训练1　如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，AB∥CD，求证：平面EFG∥平面PAB. 16 ∵E，G分别是PC，BC的中点， ∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB， ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD， 又∵AB∥CD， ∴EF∥AB， 17 ∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB， 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. 18 二 平面与平面平行的性质定理的应用 问题2　若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？ 提示　直线a与平面β平行．直线a与平面β内的任一直线b平行或异面．当a与b不异面，即在同一个平面内时，a与b平行． 20   性质定理 推论 文字语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线_____ 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段_______ 符号语言 α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m⇒_______ α∥β∥γ，m∩α＝A，m∩β＝B，m∩γ＝C，n∩α＝E，n∩β＝F，n∩γ＝G⇒ 平面与平面平行的性质定理 平行 成比例 l∥m 知识梳理 21 图形语言     知识梳理 22 注意点： (1)定理成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交. (2)定理的实质：面面平行⇒线线平行. (3)面面平行还有如下性质：两个平面平行，一个平面内的直线平行于另一个平面，可作为证明直线和平面平行的依据. 知识梳理 23 例2　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 24 因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF， 平面PCM∩平面ABC＝CM， 所以NF∥CM. 25 利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤 反思感悟 26 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1， 由面面平行的性质定理知BE∥FD1， 同理BF∥D1E， ∴四边形BFD1E为平行四边形. 跟踪训练2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F. (1)求证：四边形BFD1E为平行四边形； 27 (2)试确定点F的位置. 28 取BB1的中点M， 连接MC1，ME，如图， ∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点， ∴ME綉A1B1， 又A1B1綉C1D1， ∴ME綉C1D1， ∴四边形D1EMC1为平行四边形， 29 ∴D1E∥MC1，又D1E∥BF， ∴MC1∥BF，又C1F∥BM， ∴四边形MBFC1为平行四边形， ∴BM綉C1F， ∴F为棱CC1的中点. 30 三 平行问题的综合应用 例3　如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是矩形. (1)设M为OA上靠近点A的三等分点，N为BC上靠近点B的三等分点.求证：MN∥平面OCD； 32 如图， 取AD上靠近点A的三等分点G，连接MG，NG， 在△AOD中，AM∶MO＝1∶2，AG∶GD＝1∶2， 则MG∥OD，又MG⊄平面OCD，OD⊂平面OCD， ∴MG∥平面OCD，同理，NG∥平面OCD， 又MG∩NG＝G，MG，NG⊂平面MNG， ∴平面MNG∥平面OCD， 又MN⊂平面MNG， ∴MN∥平面OCD. 33 (2)设E是OD上靠近点D的一个三等分点，试问：在OD上是否存在一点F，使BF∥平面ACE成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由. 34 存在OE的中点F，使BF∥平面ACE成立.证明如下： 取OE的中点F，连接BF，BD，设BD∩AC＝P，连接PE. ∵四边形ABCD是矩形，∴P是BD的中点， 又∵E是OD上靠近点D的一个三等分点，且F是OE的中点， ∴E是FD的中点， ∴在△BDF中，PE∥BF， 又PE⊂平面ACE，BF⊄平面ACE， ∴BF∥平面ACE， 故在OD上存在OE的中点F，使BF∥平面ACE成立. 35 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示： 反思感悟 36 跟踪训练3　如图①所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝ D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P－ABCD，如图②所示.求证：在四棱锥 P－ABCD中，AP∥平面EFG. 37 在四棱锥P－ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点， ∴EF∥CD. ∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB， AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB，同理，EG∥平面PAB. 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. ∵AP⊂平面PAB，AP⊄平面EFG， ∴AP∥平面EFG. 38 1.知识清单： (1)平面与平面平行的判定定理及推论. (2)平面与平面平行的性质定理及推论. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：平面与平面平行的条件不全面. 课堂小结 随堂演练 四 ∵α∥β， ∴α与β无公共点， 又m⊂α，n⊂β， ∴m与n无公共点， ∴m与n平行或异面. 1.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是 A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 √ 1 2 3 4 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确. 2.下列命题中正确的是 A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行 C.平行于同一直线的两个平面一定互相平行 D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面 平行 √ 1 2 3 4 3.(多选)在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是 A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面EF1H1 C.平面F1H1H与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G √ 1 2 3 4 √ 如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1， ∴EG∥平面E1FG1. 同理可证H1E∥平面E1FG1， 又H1E∩EG＝E，H1E，EG⊂平面EGH1， ∴平面E1FG1∥EGH1，故A正确， 同理可得B正确，故选AB. 1 2 3 4 4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶ S△ABC＝________. 1 2 3 4 ∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为 A′B′，AB， ∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC， 易得△ABC∽△A′B′C′， 1 2 3 4 课时对点练 五 1.(多选)下列说法正确的是 A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行 B.一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这 两个平面平行 C.平行于同一个平面的两平面平行 D.夹在两个平行平面间的平行线段相等 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ A中，直线还可以在另一个平面内，A错误； B中，一个平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，B正确； C，D显然正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中 A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 3.平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的 A.一个侧面平行 B.底面平行 C.仅一条棱平行 D.某两条相对的棱都平行 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 当平面α平行于某一平面时，截面为三角形，故A，B错误. 如图，当平面α∥SA时，截面是四边形DEFG. 又∵SA⊂平面SAB，平面SAB∩α＝DG， ∴SA∥DG. 同理SA∥EF， ∴DG∥EF. 同理，若α∥BC，则GF∥DE. ∵截面是梯形， ∴四边形DEFG中仅有一组对边平行，故α仅与一条棱平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 4.设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则“α∥β”的一个充分不必要条件是 A.m∥l1且n∥l2 B.m∥β且n∥l2 C.m∥β且n∥β D.m∥β且l1∥α √ 若m∥l1且n∥l2，根据两平面平行的判定定理可得α∥β； 若α∥β，则不一定有m∥l1且n∥l2， 所以m∥l1且n∥l2是α∥β的充分不必要条件，故A项符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 5.已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，有以下命题： ①若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β； ②若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，则α∥β； ③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1　 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 ①中，设m∩n＝P，记m与n确定的平面为T. 由题意知T∥α，T∥β，则α∥β，故①正确； ②③中，α与β既可以平行，也可以相交，故均错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 √ 11 如图，连接A1D，A1B，BD，由正方体的结构特征， 可得平面BDA1∥平面B1D1C. 过点P作该正方体的截面，分别交AB于点E， 交AA1于点F， ∵截面PEF∥平面B1D1C， ∴截面PEF∥平面BDA1，可得PE∥DB，EF∥A1B，PF∥A1D， 再由平行线截线段成比例，可得AP＝AE＝AF，△PEF为正三角形. 设△PEF的边长为a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 7.如图，已知S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且 则MN______平面SBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 ∥ 如图，过点N作NG∥AD交AB于点G， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 所以MG∥SB， 因为MG⊄平面SBC，SB⊂平面SBC， 所以MG∥平面SBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 又AD∥BC，所以NG∥BC. 因为NG⊄平面SBC，BC⊂平面SBC， 所以NG∥平面SBC. 因为MG∩NG＝G，MG，NG⊂平面MNG， 所以平面SBC∥平面MNG， 因为MN⊂平面MNG， 所以MN∥平面SBC. 由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1， 平面EFC1与平面ABB1A1的交线为FB， 8.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1， AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 9.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC. ∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP， 而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC， ∴NQ∥平面PBC. 又四边形ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD， ∴MQ∥BC，而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 ∴MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ， ∴平面MNQ∥平面PBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 10.如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： (1)BE∥平面DMF； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 如图，连接AE， 则AE必过DF与GN的交点O， 连接MO，则MO为△ABE的中位线， 所以BE∥MO. 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 (2)平面BDE∥平面MNG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 因为N，G分别为边AD，EF的中点， 所以DE∥GN， 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG， 又M为AB的中点， 所以MN为△ABD的中位线， 所以BD∥MN， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D， 所以平面BDE∥平面MNG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 11.下列能作为判定“平面α∥平面β”成立的条件为 A.存在一条直线a，a∥α，a∥β B.存在一条直线a，a⊂α，a∥β C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 综合运用 11 A，B显然错误； C中，若a，b与平面α，β的交线平行，也满足条件，但α，β可以平行或相交，即C错误，由排除法可知D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 12.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上，且BP＝ BD1，则以下说法正确的有 A.MN∥平面APC B.C1Q∥平面APC C.A，P，M三点共线 D.平面MNQ∥平面APC √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 √ 由题意知，MN∥AC，AB＝2MD1且AB∥MD1，连接AM， ∴AM交BD1于点P，同理，连接CN， 则CN交BD1于点P，易得AM，CN交于点P， 即MN⊂平面APC，∴A错误； 由A知M，N在平面APC上， 连接AN，易知AN∥C1Q， ∵C1Q⊄平面APC，AN⊂平面APC，∴C1Q∥平面APC，∴B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 由A知A，P，M三点共线， ∴C正确； 由A知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ， ∴平面MNQ与平面APC相交， ∴D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 13.已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为 √ ∵PA＝6，AC＝9，PD＝8， 连接AB，CD. (1)当点P在CA的延长线上， 即点P在平面α与平面β的同侧时，如图①. ∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 ∵PA＝6，PC＝AC－PA＝9－6＝3，PD＝8， (2)当点P在线段CA上，即点P在平面α与平面β之间时，如图②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 ∴BD＝PB＋PD＝24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 因为平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C1＝FH， 平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G， 所以FH∥D1G. 又四边形CDD1C1是平行四边形， 所以△DFH∽△C1GD1， 如图所示，延长AE交CD于点H，连接FH，则△DEH∽△BEA， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 所以FD1＝C1G，DF＝CG， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 15.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，若点M在四边形EFGH及其内部运动，则当M满足____________时，有MN∥平面B1BDD1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 拓广探究 11 M∈线段FH 因为HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D， 所以平面NHF∥平面B1BDD1， 故M为线段FH上任意一点时，有MN∥平面B1BDD1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 16.在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝ 点E在PD上，且PE＝2ED.在棱PC，PD上是否存在一点F，M，使平面FBM与平面AEC平行？证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 存在，当F，M分别是PC，PE的中点时，平面FBM与平面AEC平行.证明如下： 如图，取PC，PE的中点F，M，连接FM. 因为F是PC的中点， 所以FM∥CE. 因为FM⊄平面AEC，CE⊂平面AEC， 所以FM∥平面AEC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 得E是MD的中点.连接BD交AC于点O，连接OE， 所以OE∥BM. 因为BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC， 所以BM∥平面AEC. 由FM∩BM＝M，FM∥平面AEC， BM∥平面AEC，FM，BM⊂平面FBM， 得平面FBM∥平面AEC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11  ＝ AP， S△A′B′C′∶S△ABC＝2＝2＝. 6.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且面积为时，线段AP的长为 A. B.1 C. D. 则a2·＝，解得a＝2，则AP＝.  ＝， 连接MG，可得＝， 由已知条件＝，得＝， 所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6. 4＋6 A. B. C.或24 D.或12 ∴AB∥CD，∴＝. ∴＝，解得BD＝. 类似(1)的方法，可得＝. 综上，BD的长为或24. ∴＝，解得PB＝16， 14.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且＝＝，G在CC1上，平面AEF∥平面BD1G，则＝________. 所以＝＝. 所以＝. 所以＝， 因为＝＝， 所以＝， 因为＝， a， 由EM＝PE＝ED， $$