第9章 解三角形 章末复习课 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

一、应用正弦、余弦定理解三角形 1．在解三角形时，常常将正弦定理与余弦定理结合使用，要注意恰当地选择定理，简化运算过程，提高解题速度，同时，要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件． 2．应用正弦、余弦定理解三角形，提升直观想象与逻辑推理的核心素养． 例1　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)． (1)求角C； (2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度． 条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A； 条件②：cos B＝. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)由题意及余弦定理，得2b2＝2bccos A(1－tan A)． ∴b＝c(cos A－sin A)， 由正弦定理可得sin B＝sin C(cos A－sin A)， ∴sin(A＋C)＝sin Ccos A－sin Csin A， ∴sin Acos C＝－sin Csin A， 又sin A≠0， ∴tan C＝－1，又0<C<π， 解得C＝. (2)若选择条件①，S＝4且B>A， ∵S＝4＝absin C＝absin ， ∴ab＝8. 由余弦定理，得c2＝(2)2＝40＝a2＋b2－2abcos ， ∴a2＋b2＋ab＝40. 由解得或 ∵B>A，∴b>a，∴ ∴CD＝. 在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CDcos C＝16＋2－2×4×cos ＝26， ∴AD＝. 若选择条件②，cos B＝， ∴sin B＝. ∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝， 由正弦定理可得a＝＝2. 在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B， 解得AD＝. 反思感悟　(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换，从而达到求解的目的． 跟踪训练1　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和＝＋，求A和tan B的值． 解　由余弦定理得cos A＝＝＝， 又0°<A<180°，所以A＝60°， 在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B， 由已知条件，应用正弦定理得 ＋＝＝＝ ＝ ＝＋. 从而tan B＝. 二、判断三角形的形状 1．判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形，如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等，是正弦、余弦定理应用的常见考查类型． 2．利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路，同时培养直观想象与逻辑推理的核心素养． 例2　已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝c2，且acos B＝bcos A，试判断△ABC的形状． 解　由＝c2， 得a3＋b3－c3＝c2(a＋b)－c3， 所以a2＋b2－ab＝c2， 所以cos C＝＝＝， 又因为0°<C<180°， 所以C＝60°. 由acos B＝bcos A，得2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A(R为△ABC外接圆的半径)， 所以sin(A－B)＝0， 又因为－120°<A－B<120°， 所以A－B＝0°，所以A＝B＝C＝60°， 所以△ABC为等边三角形． 反思感悟　利用正弦、余弦定理判断三角形形状的方法 (1)通过边之间的关系判断形状． (2)通过角之间的关系判断形状． 合理利用正弦、余弦定理将已知条件中的边、角互化，把条件统一为边的关系或角的关系． 跟踪训练2　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 答案　B 解析　依据题设条件特点，由正弦定理，得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sin A＝sin2A， ∵sin A≠0，解得sin A＝1， ∴A＝，即△ABC为直角三角形． 三、正弦、余弦定理在实际问题中的应用 1．余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验． 2．将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养． 例3　如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30°，俯角为30°的B处，轮船直线航行，到11时10分又测得该船在海岛北偏西60°，俯角为60°的C处． (1)求船的航行速度是每小时多少千米？ (2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？ 解　(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，PA＝1千米，∴AB＝千米． 在Rt△PAC中，∠APC＝30°，∴AC＝千米． 在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°， ∴BC＝＝＝(千米)． 则船的航行速度为÷＝2(千米/时)． (2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°. sin∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝＝＝， sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°) ＝sin∠ACB·cos 30°－cos∠ACB·sin 30° ＝×－× ＝. 由正弦定理得＝， 则AD＝＝＝. 故此时船距岛A有 千米． 反思感悟　解题时需注意的几个问题 (1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出(或作出)这些角． (2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解题． 跟踪训练3　一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAD＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？ 解　设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，连接BC，如图所示， 设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm， AC＝AD－CD＝(17－2x)dm. 在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A， 即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°， 解得x1＝5，x2＝. 所以AC＝17－2x＝7(dm)或AC＝－(dm)(舍去)． 所以该机器人最快可在线段AD上离点A 7 dm的点C处截住足球． 四、与三角形有关的综合问题 1．利用正弦、余弦定理解三角形是高考热点，一般以解答题形式考查，常有两问：第(1)问一般求角或边，难度不大；第(2)问常常与三角形面积有关，难度稍高一些．题目常与三角函数、三角恒等变换、不等式等知识结合，但综合性不大，难度一般． 2．解决与三角形有关的综合问题，主要培养逻辑推理与数学运算的核心素养． 例4　已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2A＋cos2C－cos2B＝1－sin Asin C. (1)求角B的大小； (2)若b＝，求2a＋c的最大值． 解　(1)∵cos2A＋cos2C－cos2B＝1－sin Asin C， ∴(1－sin2A)＋(1－sin2C)－(1－sin2B)＝1－sin Asin C. ∴sin2B＝sin2A＋sin2C－sin Asin C， ∴由正弦定理可得b2＝a2＋c2－ac. ∴由余弦定理可得cos B＝＝. ∵B∈(0，π)， ∴B＝. (2)设R为△ABC的外接圆半径． ∵b＝，B＝， 由正弦定理可得＝2R＝2. ∴2a＋c＝4Rsin A＋2Rsin C ＝4sin A＋2sin ＝4sin A＋2sin cos A－2cos sin A ＝5sin A＋cos A ＝2sin(A＋φ). ∴2a＋c的最大值为2. 反思感悟　解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解． (2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解． 跟踪训练4　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R＝，且tan B＋tan C＝. (1)求B和b的值； (2)求△ABC面积的最大值． 解　(1)因为tan B＋tan C＝， 所以＋＝，sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Acos B， 即sin(B＋C)＝sin Acos B， 因为A＋B＋C＝π， 所以sin A＝sin Acos B， 因为A∈(0，π)， 所以sin A≠0，所以cos B＝，所以B＝. 又△ABC的外接圆半径R＝， 所以由正弦定理＝2R， 得b＝2××＝2. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得4＝a2＋c2－ac， 由均值不等式得4＝a2＋c2－ac≥(2－)ac(当且仅当a＝c时等号成立)， 所以ac≤＝2(2＋)(当且仅当a＝c时等号成立)， 所以S△ABC＝acsin B＝ac≤×2(2＋)＝1＋(当且仅当a＝c时等号成立)， 故△ABC面积的最大值为1＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$