11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

11．1.6　祖暅原理与几何体的体积 [学习目标]　1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导过程.3.熟练运用体积公式求多面体和简单旋转体的体积． 导语 祖暅是我国南北朝时期的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．祖暅不仅首次明确提出了这一原理，还成功地将其应用到球体积的推算上，我们把这条原理称为祖暅原理．这一原理在西方文献中称为“卡瓦列里原理”，由意大利数学家卡瓦列里(1598－1647年)独立提出，对微积分的建立有重要影响． 一、祖暅原理 知识梳理 1．祖暅原理“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等”． 2．作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等． 例1　用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等，需要几个条件？分别是什么？ 解　需要三个条件，分别是： ①两个几何体夹在两个平行平面之间． ②平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面． ③两个截面的面积总相等． 反思感悟　祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想，是推导柱、锥、台体积公式的理论依据． 跟踪训练1　下列说法中正确的是________．(填序号) ①等底等高的两个柱体的体积相同； ②等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的9倍； ③在三棱柱A1B1C1－ABC中，有 答案　①③ 二、柱体、锥体、台体的体积 知识梳理 柱体、锥体、台体的体积公式如下表，其中，棱柱、棱锥的底面积为S，圆柱、圆锥的底面圆半径为r，高为h，台体上、下底面面积分别为S1，S2，高为h，上、下底面圆的半径分别为r′和r. 名称 体积(V) 柱体 棱柱 Sh 圆柱 πr2h 锥体 棱锥 Sh 圆锥 πr2h 台体 棱台 (S2＋＋S1)h 圆台 πh(r2＋rr′＋r′2) 注意点： 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 例2　正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积． 解　正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E为斜高． 设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1O，则四边形EOO1E1为直角梯形． ∵S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)， ∴EE1＝13(cm)． 在直角梯形EOO1E1中， O1E1＝A1B1＝5(cm)，OE＝AB＝10(cm)， ∴O1O＝＝12(cm)． 故该正四棱台的体积V＝×12×(102＋202＋)＝2 800(cm3)． 反思感悟　常见的求几何体体积的方法 跟踪训练2　(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为(　　) A. cm3 B. cm3 C．288π cm3 D．192π cm3 答案　AB 解析　当圆柱的高为8 cm时，V＝π×2×8＝(cm3)， 当圆柱的高为12 cm时，V＝π×2×12＝(cm3)． (2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为BD1的中点，设三棱锥O－ABD的体积为V1，四棱锥O－ADD1A1的体积为V2，则的值为(　　) A．1 B. C. D. 答案　B 解析　V1＝ 则＝. 三、球的体积 知识梳理 若球的半径为R，则球的体积V球＝πR3. 例3　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为，求它的表面积． 解　(1)设球的半径为r， 则由已知得4πr2＝64π，解得r＝4. 所以球的体积V＝πr3＝. (2)设球的半径为R，由已知得πR3＝，解得R＝5， 所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π. 反思感悟　(1)求球的体积，关键是求球的半径R. (2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等． 跟踪训练3　一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 答案　C 解析　根据球的截面的性质，得球的半径R＝＝5(cm)，所以V球＝πR3＝(cm3)． 四、组合体的体积 例4　如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积． 解　V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)， V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)， V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)， ∴此几何体的体积V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)cm3. 反思感悟　求组合体的表面积和体积的三个基本步骤 (1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么． (2)根据组合体的组成形式设计计算思路． (3)根据公式计算求值． 跟踪训练4　如图所示是一个下半部分为正方体、上半部分为正棱柱的盒子(中间连通)．若其表面积为(448＋32)cm2，则其体积为(　　) A．(512＋128)cm3 B．(216＋128)cm3 C．(512＋64)cm3 D．(216＋64)cm3 答案　A 解析　设正方体的棱长为a cm， 则5a2＋2a2＋a2×2＝448＋32， 解得a＝8. ∴该几何体的体积为a3＋a2·a＝(512＋128)cm3. 1．知识清单： (1)祖暅原理． (2)柱体、锥体、台体的体积． (3)球的体积． (4)组合体的体积 2．方法归纳：方程思想． 3．常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚． 1．直径为6的球的表面积和体积分别是(　　) A．144π，144π B．144π，36π C．36π，144π D．36π，36π 答案　D 解析　因为球的直径为6， 所以半径R＝3， 所以S表＝4πR2＝36π，V＝πR3＝×27＝36π. 2.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(此时水面恰与圆柱上底面重合)，则球的半径为(　　) A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm 答案　B 解析　设球的半径为r cm，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积， ∴3×πr3＝πr2(6r－6)， 解得r＝3. 3．过长方体一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长是2，则这个长方体的体积是(　　) A．6 B．12 C．24 D．48 答案　D 解析　设过长方体一个顶点的三条棱长分别为x,2x,3x，由体对角线长为2，得x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2，所以三条棱长分别为2,4,6.所以V长方体＝2×4×6＝48. 4．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的高为________，体积为________． 答案　8　224π 解析　设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图． ∵母线长为10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2， 解得r＝2. ∴下底面半径R＝8，高h＝8， ∴V圆台＝π(r2＋rR＋R2)h＝224π. 1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，半径为1，其体积是×π×13＝. 2.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V1，E为棱CC1上的点，且CE＝CC1，三棱锥E－BCD的体积为V2，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意得，V1＝S四边形ABCD×CC1，V2＝S△BCD×CE＝×S四边形ABCD×CC1＝V1，则＝. 3．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两个几何体，且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两个几何体的说法正确的是(　　) A．侧面积之比为1∶4 B．侧面积之比为1∶8 C．体积之比为1∶27 D．体积之比为1∶26 答案　BD 解析　由上、下两部分的高之比为1∶2，可得小棱锥与大棱锥的高之比为1∶3，则小棱锥与大棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，∴上、下两个几何体的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26. 4．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是(　　) A. B.　C．64π D．128π 答案　A 解析　设圆锥的母线长为l，底面半径为r. 由题意知，l＝r，① S侧＝πrl＝16π，② 由①②可得r＝4，l＝4， V圆锥＝πr2h＝r2＝π. 5．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个完全相同的正四棱锥的组合体，每个棱锥的高是正方体高的一半，底面面积是正方体一个面的面积的一半， 所以所求体积为V＝2×××＝. 6．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的几何体的体积为(　　) A. B. C．2π D．4π 答案　B 解析　绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的几何体为两个底面重合、体积相等的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××2π×＝. 7．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________． 答案　3∶1∶2 解析　设球的半径为R，则V圆柱＝πR2·2R＝2πR3， V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3， 故V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2. 8．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________. 答案　a 解析　设圆锥形容器的液面的半径为R， 则液体的体积为πR2h， 圆柱形容器内的液体体积为π2h. 根据题意，有πR2h＝π2h， 解得R＝a. 再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝，所以h＝a. 9.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱高为2 cm. (1)这种“浮球”的体积约是多少？(π≈3.14，结果精确到0.1 cm3) (2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶约多少克？(π≈3.14) 解　(1)由已知可得，半球的直径为6 cm， 则其半径R＝3 cm， ∴两个半球的体积和为V球＝πR3＝π×33＝36π(cm3)， 又圆柱体积V圆柱＝πR2h＝π×32×2＝18π(cm3)， ∴这种“浮球”的体积V＝V球＋V圆柱＝54π≈169.6(cm3)． (2)根据题意，两个半球的表面积之和为 S球表＝4πR2＝4π×9＝36π(cm2)， 又圆柱的侧面积S圆柱侧＝2πRh＝2π×3×2＝12π(cm2)， ∴“浮球”的表面积S＝＝(m2)， ∴2 500个这种“浮球”的表面积的和为2 500S＝2 500×＝12π(m2)， ∵每平方米需要涂胶100克， ∴共需胶约100×12π＝1 200π≈3 768(克)． 10．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积． 解　如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，连接OO′，A′D′，AD，DD′，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，记为h0，所以S侧＝3××(20＋30)h0＝75h0. 上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)． 由S侧＝S上＋S下，得75h0＝325， 所以h0＝(cm)． 又O′D′＝××20＝(cm)， OD＝××30＝5(cm)， 记棱台的高为h， 则h＝O′O＝ ＝＝4(cm)， 由棱台的体积公式，可得棱台的体积V＝(S上＋S下＋) ＝×＝1 900(cm3)． 所以棱台的高为4 cm，体积为1 900 cm3. 11.如图所示，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是等腰梯形O′A′B′C′，A′O′＝3，O′C′＝2B′C′＝2，则平面图形OABC绕OA所在直线旋转一周所得几何体的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意，得平面图形OABC中，OC＝4，OA＝3，BC＝1，且该平面图形是以OC为直角腰的直角梯形， 故平面图形OABC绕OA所在直线旋转一周所得几何体是由一个圆柱和一个圆锥构成的组合体，其体积V＝π×42×1＋π×42×2＝. 12．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)(　　) A．2寸 B．3寸　C．4寸 D．6寸 答案　B 解析　由已知得，天池盆盆口半径为14寸，盆底半径为6寸， 则盆口面积为196π，盆底面积为36π， 又盆深18寸，盆中水深9寸， 则积水水面的半径为＝10(寸)， ∴积水水面面积为100π， ∴积水的体积V＝×(36π＋＋100π)×9＝588π， ∴平地降雨量为＝3(寸)． 13．如图1所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图2所示水平放置时，液面高度为20 cm；当这个几何体如图3所示水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为(　　) A．29 cm B．30 cm　C．32 cm D．48 cm 答案　A 解析　设上、下圆柱的半径分别是r cm，R cm(r<R)，高分别是h cm，H cm.由水的体积不变得πR2H＋πr2(20－H)＝πr2h＋πR2(28－h)，整理得(R2－r2)(H＋h)＝28R2－20r2，又r＝1，R＝3，故H＋h＝29，即这个简单几何体的总高度为29 cm. 14．在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为的正四棱锥S－EFGH(如图2)，则正四棱锥S－EFGH的体积为________． 答案　 解析　如图，连接EG，HF交于点O，连接SO. 由题意知，EG＝2，EO＝1，则点E到线段AB的距离为1，且EB＝＝，SO＝＝＝2，故正四棱锥S－EFGH的体积为×()2×2＝. 15．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上的四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 答案　B 解析　如图，设点O为球心，点M为△ABC的中心，E为AC的中点，连接OB，连接DM，且DM过球心O，连接BE，且BE过点M， 当DM⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大． ∵S△ABC＝AB2＝9，∴AB＝6. 又∵点M为△ABC的中心，∴BM＝BE＝2， ∴在Rt△OMB中，有OM＝＝2， ∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6， ∴三棱锥D－ABC体积的最大值为×9×6＝18. 16.如图所示，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V. 解　如图所示， 分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝， 所以AG＝GD＝BH＝HC＝， 所以S△AGD＝S△BHC＝××1＝， 所以V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BHC＋V三棱柱AGD－BHC ＝×2＋×1＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$