11.1.1 空间几何体与斜2测画法 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

11．1.1　空间几何体与斜二测画法 [学习目标]　1.了解常见的空间几何体，能将物体抽象出的几何体画出来.2.会用斜二测画法画出简单平面图形和立体图形的直观图． 导语 从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，如埃及金字塔、各城市的大厦等，它们都是独具匠心的建筑物，是建筑师们集体智慧的结晶．今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢？ 一、空间几何体 问题1　举例说出常见的几何体有哪些？ 提示　长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等． 知识梳理 空间几何体的定义 如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体． 二、平面图形的直观图 知识梳理 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为45°(或135°)． (2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段，且长度不变． 平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半． (3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线． 例1　已知水平放置的正五边形ABCDE，如图，试作出其直观图． 解　画法： (1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H. (2)在图②中作出相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°. (3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD. (4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)． 反思感悟　作水平放置的平面图形的直观图的技巧 (1)关键是选取适当的坐标系，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点． (2)如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定． (3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同． 跟踪训练1　作出如图水平放置的直角梯形的直观图． 解　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示． (2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②所示． (3)擦去作图过程中的辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是水平放置的直角梯形OBCD的直观图，如图③所示． 三、空间几何体直观图的画法 问题2　画空间几何体直观图与平面图形的直观图有什么区别？ 提示　画空间几何体的直观图，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向． 知识梳理 用斜二测画法作立体图形直观图的步骤 (1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴)． (2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴，过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴． 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度不变． 连接有关线段． (3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除)． 例2　用斜二测画法画出正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图． 解　画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°. (2)画底面．按x′轴、y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长． (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示． 反思感悟　空间几何体的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出． (2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向． (3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致． 跟踪训练2　用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 解　画法： (1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面． ①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图①，画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图②； ②在图②中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且等于EF； ③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′. (2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′. (3)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，将被遮挡的部分改为虚线，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图③. 四、直观图的还原与计算 例3　如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是______，其面积为________． 答案　菱形　24 cm2 解析　如图，在原图形OABC中， 应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)， CD＝C′D′＝2 cm， 所以OC＝＝＝6(cm)， 所以OA＝OC＝BC＝AB， 故四边形OABC是菱形． S四边形OABC＝OA×OD＝6×4＝24(cm2)． 反思感悟　由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由此可得，直观图面积是原图形面积的倍． 跟踪训练3　一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为，则原梯形的面积为(　　) A．2 B. C．2 D．4 答案　D 解析　方法一　如图，由斜二测画法原理知， 原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度一样，不一样的是两个梯形的高． 原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍，O′C′的长度是直观图中梯形的高的倍． 由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故其面积是梯形O′A′B′C′面积的2倍，因为梯形O′A′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4. 方法二　设直观图中梯形O′A′B′C′的面积为S′，原平面梯形OABC的面积为S. 由S′＝S，得S＝2S′＝2×＝4. 1．知识清单： (1)水平放置的平面图形的直观图的画法． (2)空间几何体直观图的画法． (3)直观图的还原与计算． 2．方法归纳：直观想象． 3．常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同． 1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是(　　) A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 答案　B 解析　平行的线段在直观图中仍平行，但直角在直观图中不是直角．因此答案为B. 2．如图所示为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是(　　) 答案　C 解析　根据该平面图形的直观图，可知该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直． 3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的高线的实际长度为________． 答案　 解析　由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求高线长为. 4.如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是________． 答案　16 解析　由题图可知O′B′＝4，则对应△AOB中，OB＝4. 又和y′轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB边OB上的高为8. 所以△AOB的面积为×4×8＝16. 1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为(　　) A．90°，90° B．45°，90° C．135°，90° D．45°或135°，90° 答案　D 解析　根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°. 2.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为(　　) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 答案　A 解析　由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形． 3．(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是(　　) A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 答案　ACD 解析　根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直，B选项错误，其余选项均正确． 4.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则平面图形ABCD的面积为(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 答案　C 解析　由题意知，原平面图形ABCD为直角梯形，且高为AB＝2A′B′＝2，BC＝B′C′＝1，AD＝A′D′＝2，故其面积为×(1＋2)×2＝3. 5.如图所示，Rt△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，∠A′O′B′＝90°，点B′在x′轴上，且A′O′＝1，则△AOB的边OA的长为(　　) A．2 B．3 C．3 D．4 答案　B 解析　根据题意，如图1，在直观图中，作A′D′∥B′O′，交y′轴于点D′，易得∠A′O′D′＝45°，A′O′＝1，∠O′A′D′＝90°，则O′D′＝，A′D′＝1，如图2，在原图中，OD＝2O′D′＝2，AD＝A′D′＝1，∠ADO＝90°，则OA＝＝3. 6.(多选)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形△ABC中(　　) A．AB与AC相等 B．AD的长度大于AC的长度 C．AB的长度大于AD的长度 D．BC的长度大于AD的长度 答案　AC 解析　由题意可知，AD＝2A′D′，BC＝B′C′，AD⊥BC，BD＝CD，则△ABC为等腰三角形，故AB＝AC.△ABD与△ADC均为直角三角形，AD<AC，AB>AD，BC与AD的长度大小不确定． 7.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________． 答案　10 解析　由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10. 8.如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为________． 答案　a2 解析　方法一　过点C′作C′M′∥y′轴，且交x′轴于点M′. 过C′作C′D′⊥x′轴，且交x′轴于点D′， 则C′D′＝a，∵∠C′M′D′＝45°，∴C′M′＝a， ∴原三角形的高CM＝a，底边长为a，其面积为S＝×a×a＝a2. 方法二　S直观＝S原， ∴S原＝·a2＝a2. 9.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图． 解　第一步：如图1所示，在梯形ABCD中，以边AB所在直线为x轴，A为原点，建立平面直角坐标系xOy；如图2所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°； 第二步：在图1中，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E；在图2中，在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝≈2.598(cm)，过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED＝×＝0.75(cm)，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm； 第三步：连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴多余的部分及其他一些辅助线，如图3所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图． 10．用斜二测画法作出底面半径为1 cm，高为3 cm的圆锥的直观图． 解　画法如下： (1)画x′轴和y′轴，两轴交于点O′， 使∠x′O′y′＝45°； (2)分别在x′轴，y′轴上以O′为中点，作A′B′＝2 cm，C′D′＝1 cm，用曲线将A′，C′，B′，D′连起来得到圆锥底面(圆)的直观图； (3)画z′轴，在z′轴方向上取O′S＝3 cm，S为圆锥的顶点，连接SA′，SB′； (4)擦去有关辅助线，把被面遮挡住的部分改成虚线，得到圆锥的直观图． 11．(多选)以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是(　　) A．水平放置的角的直观图一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 答案　AD 解析　水平放置的角的直观图一定是角，故A正确；角的大小在直观图中都会发生改变，一些线段在直观图中也会改变，故B，C错误；由斜二测画法规则可知，线段的中点在直观图中仍然是线段的中点，故D正确． 12．已知边长为4的菱形，其中一个内角为120°.将菱形水平放置，使较短的对角线成纵向，则此菱形的直观图面积为(　　) A．2 B. C．8 D．4 答案　A 解析　方法一　菱形ABCD的边长为4，一个内角为120°，如图(1)，画出它的直观图A′B′C′D′，如图(2)． 在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠ABC＝120°， 所以BO＝BAsin 30°＝2， AO＝BAcos 30°＝2， 所以BD＝4，AC＝4. 在四边形A′B′C′D′中， B′D′＝BD＝2，A′C′＝AC＝4， 所以四边形A′B′C′D′的面积为A′C′·B′D′·sin 45°＝×4×2×＝2. 方法二　如图(1)，菱形ABCD的边长为4，一个内角为120°，所以对角线AC＝4，BD＝4.菱形ABCD的面积S＝×4×4＝8，该菱形的直观图的面积S′＝＝＝2. 13.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为__________，S△ABC＝________. 答案　　12 解析　由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为，△ABC的面积为AC·BC＝12. 14.如图所示，四边形ABCD是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，四边形ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y′轴平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，则这个平面图形的实际面积是________． 答案　20 解析　由题意知，直观图中S梯形ABCD＝(AB＋CD)·AD＝10， 故这个平面图形的实际面积S＝S梯形ABCD＝20. 15.如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则直观图中梯形的高为________． 答案　 解析　如图，作CD⊥OA于点D，BE⊥OA于点E， 则OD＝EA＝＝2， ∴CD＝OD＝2， ∴在直观图中梯形的高为×2×＝. 16．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高(两底面圆心连线的长度)为4 cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm，画出此几何体的直观图． 解　(1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画圆柱的下底面．在x轴上取A，B两点，使AB＝3 cm，且OA＝OB，在y轴上取C，D两点，使CD＝1.5 cm，且OC＝OD，用曲线将A，C，B，D连起来得到圆柱的下底面． (3)在Oz上截取OO′＝4 cm，过点O′分别作平行于Ox轴的O′x′轴和平行于Oy轴的O′y′轴，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面． (4)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′＝3 cm. (5)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到此几何体的直观图，如图②所示． 学科网（北京）股份有限公司 $$