10.1.2 复数的几何意义 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

10.1.2　复数的几何意义 [学习目标]　1.掌握用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 导语 在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效．他不仅将a＋bi表示为复平面上的一点(a，b)，而且阐述了复数的几何加法和乘法．他说几何表示可以使人们对复数真正有一个新的看法．同学们，你们想知道复数的几何意义是什么吗？本节课，我们就来探讨一下吧！ 一、复数与复平面内点的关系 问题1　有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 提示　复数a＋bi(a，b∈R)实质上是实数的有序数对(a，b)，复数可以和坐标平面上的点一一对应． 知识梳理 1．建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面．在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，称y轴为虚轴． 2．复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi←―→复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义． 例1　在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在y＝x的图象上，分别求实数m的取值范围． 解　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10. (1)由题意得m2－2m－8＝0. 解得m＝－2或m＝4. (2)由题意得解得2<m<4. (3)由题意得m2－2m－8＝m2＋3m－10，解得m＝. 反思感悟　利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 跟踪训练1　求实数m分别取何值时，在复平面内，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点Z满足下列条件： (1)在x轴上方； (2)在实轴负半轴上． 解　(1)∵点Z在x轴上方， ∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2. (2)若复数z对应的点在实轴负半轴上， 则解得m＝1. 二、复数与复平面内向量的关系 问题2　可以用平面向量表示复数吗？ 提示　可以．在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数． 知识梳理 平面直角坐标系中的点Z(a，b)能唯一确定一个以原点O为始点、Z为终点的向量，所以复数也可用向量来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即复数z＝a＋bi←―→向量＝(a，b)． 注意点：复数与平面向量建立一一对应关系的前提是向量的起点为原点，否则不能建立一一对应关系． 例2　在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数． 解　记O为复平面的原点， 由题意得＝(2,3)，＝(3,2)，＝(－2，－3)． 设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5)． 由题意知，＝， 所以即 故点D对应的复数为－3－2i. 反思感悟　复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 跟踪训练2　已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　) A．－5＋5i B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i 答案　B 解析　向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)． 由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i. 三、复数的模 知识梳理 1．定义：一般地，向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)． 2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模用|z|表示． 3．公式：|z|＝. 例3　(1)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. 解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝， 代入方程得a＋bi＋＝2＋8i， ∴解得 ∴z＝－15＋8i. (2)已知复数z1＝－i及z2＝－＋i. ①求|z1|及|z2|的值； ②设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？ 解　①|z1|＝＝2，|z2|＝＝1. ②由①知1≤|z|≤2， 因为不等式|z|≥1的解集是圆心在原点，半径为1的圆及其外部所有点组成的集合，不等式|z|≤2的解集是圆心在原点，半径为2的圆及其内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示． 反思感悟　 (1)复数模的计算 ①计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． (2)复数模的几何意义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|表示点z和原点间的距离，类似地，|z1－z2|表示点z1和点z2之间的距离． 跟踪训练3　设z为复数，且|z|＝|z＋1|＝1，求|z－1|的值． 解　设z＝a＋bi(a，b∈R)． ∵z＋1＝(a＋1)＋bi，且|z|＝|z＋1|＝1， ∴即 即解得 ∴|z－1|＝|(a＋bi)－1|＝ ＝＝. 四、共轭复数 知识梳理 1．定义：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数． 2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi. 例4　复数z＝3－4i的共轭复数对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　z＝3－4i的共轭复数为＝3＋4i，可知其对应的点在第一象限． 反思感悟　互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上． 跟踪训练4　(多选)下列说法正确的是(　　) A．复数和其共轭复数都是成对出现的 B．实数不存在共轭复数 C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称 D．复数和其共轭复数的模相等 答案　AD 解析　由共轭复数的相关知识可知，A，D正确． 1．知识清单： (1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系． (2)复数的模及几何意义． (3)共轭复数． 2．方法归纳：待定系数法、数形结合． 3．常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小． 1．复数z＝i＋i2(i是虚数单位)，则复数在复平面内所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　∵复数z＝i＋i2＝－1＋i，∴复数＝－1－i，∴其对应点(－1，－1)在第三象限． 2．已知复数z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－3,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 答案　A 解析　由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，得解得－3<m<1. 3．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为－1＋2i(i为虚数单位)，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为(　　) A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i 答案　B 解析　因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i. 4．若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为________． 答案　5 解析　由题意得 ∴z＝－4＋3i， ∴|z|＝＝5. 1．已知复数z1＝2＋i，z2＝－i，则等于(　　) A. B. C. D．5 答案　C 解析　依题意得，|z1|＝＝，|z2|＝＝1，所以＝. 2．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点在虚轴上，则(　　) A．a＝2或a＝－1 B．a≠2且a≠－1 C．a＝0 D．a＝2或a＝0 答案　D 解析　由题意，得a2－2a＝0， 解得a＝0或a＝2. 3．在复平面内，复数＝sin 2＋icos 2(i是虚数单位)，则复数z对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　∵sin 2>0，cos 2<0， ∴复数对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限， ∴复数z对应的点在第一象限． 4．如果复数z与复数3＋4i(i是虚数单位)对应的有序实数对关于虚轴对称，那么复数z对应的向量的模是(　　) A．1 B. C. D．5 答案　D 解析　复数z对应的向量的坐标为(－3,4)，其模为＝5. 5．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，其中i是虚数单位，如果|z1|<|z2|，那么实数a的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(1，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案　A 解析　∵|z1|＝，|z2|＝，且|z1|<|z2|， ∴<，解得－1<a<1. 6．(多选)已知z1，z2为复数，则下列说法不正确的是(　　) A．若z1＝z2，则|z1|＝|z2| B．若z1≠z2，则|z1|≠|z2| C．若z1>z2，则|z1|>|z2| D．若|z1|>|z2|，则z1>z2 答案　BCD 解析　若z1>z2，则z1，z2为实数，当z1＝1，z2＝－2时，满足z1>z2，但|z1|<|z2|，故C项不正确；因为两个虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正确；当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1－i≠1＋i，但|1－i|＝|1＋i|，所以B项不正确；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A项正确． 7．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则＝________. 答案　－1－i 解析　因为z在复平面内对应的点(a，)位于第二象限， 所以a<0.由|z|＝2知＝2，解得a＝±1，故a＝－1， 所以z＝－1＋i，即＝－1－i. 8．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是__________________________． 答案　以原点为圆心，以3为半径的圆 解析　由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0， 即|z|＝3或|z|＝－1. ∵|z|≥0，∴|z|＝3， ∴复数z对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆． 9．已知m为实数，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)设复数z在复平面内对应的点的坐标为(x，y)，若满足x－y＋7>0，求m的取值范围． 解　(1)由题意得解得所以m＝－2. (2)复数z在复平面内对应的点的坐标为(x，y)，满足x－y＋7>0， 即(m2＋5m＋6)－(m2－2m－15)＋7>0， 解得m>－4，所以m的取值范围为(－4，＋∞)． 10．当复数z1＝sin －icos ，z2＝2＋3i时， (1)试比较|z1|与|z2|的大小； (2)设z∈C且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z1|≤|z|≤|z2|的点Z组成的集合是什么图形？ 解　(1)∵|z1|＝＝＝， |z2|＝＝， 且＝<，∴|z1|<|z2|. (2)由|z1|≤|z|≤|z2|，得≤|z|≤， 不等式≤|z|≤等价于 ∵满足|z|≤的点Z组成的集合是圆心在原点，半径为的圆及其内部(包括边界)，而|z|≥的点Z组成的集合是圆心在原点，半径为的圆及其外部(包括边界)， ∴满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界)． 11．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若复数z1，z2满足z1>z2，则一定有z1－z2>0 B．若复数z1，z2满足z1－z2>0，则一定有z1>z2 C．若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a＝0 D．若复数z满足|z|＝2，则复数z在复平面内对应的点的集合是以坐标原点O为圆心，以2为半径的圆 答案　AD 解析　若复数z1，z2满足z1>z2，则z1，z2是实数，所以z1－z2>0，故A正确；取z1＝2＋i，z2＝1＋i，满足z1－z2>0，但z1，z2不能比较大小，故B错误；若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0，故C错误；若复数z满足|z|＝2，则复数z在复平面内对应的点的集合是以坐标原点O为圆心，以2为半径的圆，故D正确． 12．在复平面内，复数z＝＋i对应的点为Z，将点Z绕原点逆时针旋转90°后得到点Z′，则Z′对应的复数是(　　) A．－＋i B.－i C．－＋i D.－i 答案　C 解析　||＝|z|＝1，故Z点坐标为(cos 60°，sin 60°)，逆时针旋转90°后得到点Z′， 所以Z′(cos 150°，sin 150°)，即Z′点的坐标为， 则Z′对应的复数是－＋i. 13．已知i为虚数单位，复数z＝a＋bi(其中a，b∈R)，若存在实数t，使得＝－ 3ati成立，则2a＋b的值为________． 答案　6 解析　由题意知，a－bi＝－3ati，即a－bi＝＋i， 则消去t可得2a＋b＝6. 14．使≥|3＋4i|成立的实数x的取值范围是______________． 答案　∪ 解析　由题意知，x>0. 因为≥|3＋4i|， 所以≥， 则≥9，即≥3或≤－3， 解得0<x≤或x≥8. 15．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z.若复数z对应的点P在y＝x的图象上，则θ＝________________. 答案　或 解析　因为点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ， 所以点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)， 所以＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)， 所以对应的复数是z＝－1＋(－2sin2θ)i. 所以点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x， 得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，所以sin θ＝±. 又因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝，所以θ＝或. 16．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i. (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值． 解　(1)由题意得|z|＝＝≥2，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2. (2)由(1)知当x＝0时，复数z的模最小， 则Z(－2,2)． 因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2. 又mn＞0， 所以＋＝＝＋＋≥＋2＝＋.当且仅当＝， 即n2＝2m2时等号成立． 又2m＋n＝2且mn＞0，所以当m＝2－，n＝2－2时，＋取最小值＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$