10.1.1 复数的概念 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

10．1.1　复数的概念 [学习目标]　1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． 导语 1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10－x)＝40的根，他求出的根为5＋和5－，积为25－(－15)＝40.由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的．这样的结果令他大为不解，甚至感到有些恐慌．负数真的不能开平方吗？本节课我们就来探究一下！ 一、复数的有关概念 问题　我们知道，方程x2＋1＝0在实数范围内无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 提示　为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数范围内无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使i2＝－1. 知识梳理 1．复数 (1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．其中i称为虚数单位，满足i2＝－1. (2)表示：一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b. 2．复数集 (1)定义：所有复数组成的集合称为复数集． (2)表示：通常用大写字母C表示．因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}． 注意点： (1)i2＝－1. (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算． (3)a，b∈R. 例1　已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．1 答案　C 解析　复数z1＝1＋3i的实部为1，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝1，解得a＝－1. 反思感悟　在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 跟踪训练1　若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　) A．2 B. C．－ D．－2 答案　A 解析　复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2. 二、复数的分类 知识梳理 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)为 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 例2　当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数． 解　(1)当 即m≠5且m≠－3时，z是虚数． (2)当 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． (3)当即m＝5时，z是实数． 延伸探究 若本例中条件不变，当m为何值时，z>0. 解　因为z>0，所以z为实数，需满足 解得m＝5. 反思感悟　复数分类问题的求解方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则： ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 跟踪训练2　若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．－1 答案　B 解析　由题意得 解得 所以a＝2. 三、复数相等的充要条件 知识梳理 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.特别地，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 例3　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值； (2)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，求实数a的值． 解　(1)由题意得 解得 (2)因为a，m∈R， 所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0， 可得 解得 或 所以a＝±. 反思感悟　复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 跟踪训练3　复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________. 答案　5 解析　因为m∈R，z1＝z2， 所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i. 则 解得m＝5. 1．知识清单： (1)数系的扩充． (2)复数的概念． (3)复数的分类． (4)复数相等的充要条件． 2．方法归纳：方程思想． 3．常见误区：未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式． 1．在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　i，(1－)i是纯虚数，2＋，0.618是实数，8＋5i是虚数．故纯虚数的个数为2. 2．(1＋)i的实部与虚部分别是(　　) A．1， B．1＋，0 C．0,1＋ D．0，(1＋)i 答案　C 3．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，则实数m的值为(　　) A．－1 B．±1 C．1 D．－2 答案　C 解析　因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数， 所以解得m＝1. 4．已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x，y的值分别为________． 答案　1,1 解析　∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴解得(舍)或 1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是(　　) A．1－i B．1＋i C．－3＋3i D．3＋3i 答案　A 解析　－3＋i的虚部为1,3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i. 2．给出下列三个命题： ①若z∈C，则z2≥0； ②2i－1的虚部是2i； ③2i的实部是0. 其中正确命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　①错误，例如z＝i，则z2＝－1； ②错误，因为2i－1的虚部是2； ③正确，因为2i＝0＋2i. 3．若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是纯虚数，则(　　) A．a＝0或a＝2 B．a＝0 C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2 答案　B 解析　因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数， 所以解得a＝0. 4．若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 023i＝2－bi，则a2＋bi等于(　　) A．2 023＋2i B．2 023＋4i C．2＋2 023i D．4－2 023i 答案　D 解析　因为a＋2 023i＝2－bi， 所以a＝2，－b＝2 023，即a＝2，b＝－2 023， 所以a2＋bi＝4－2 023i. 5．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(　　) A．C＝R∪I B．R∪I＝{0} C．R＝C∩I D．R∩I＝∅ 答案　D 解析　复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集，所以R∩I＝∅. 6．(多选)下列命题中错误的有(　　) A．若x，y∈R，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1 B．若复数z∈R，则其虚部不存在 C．若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3 D．若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应 答案　BCD 解析　由复数相等的定义知A正确；实数的虚部为0，故B错误；只有当z1，z2，z3∈R时，才有z1＝z2＝z3，否则不成立，故C错误；D显然错误． 7．若实数x，y满足x＋y＋(x－y)i＝2，则xy＝________. 答案　1 解析　由题意得解得 所以xy＝1. 8．若x2－3x－2＋(x2＋2x)i>2，则实数x的集合是________． 答案　{－2} 解析　由题意得解得x＝－2. 9．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解　(1)由题意得 解得m＝6. (2)由题意得 解得m≠6且m≠－3. (3)由题意得 解得m＝－或m＝1. 10．已知z1＝m2－(m2－3m)i，z2＝(m2－4m＋3)i＋10(m∈R)．若z1<z2，求实数m的取值范围． 解　∵z1<z2，∴z1，z2均为实数，且z1的实部小于z2的实部， ∴解得 ∴m＝3，故实数m的取值范围是{3}． 11．若复数z＝a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　) A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2 答案　C 解析　复数z＝a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1. 12．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　) A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 答案　B 解析　由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0， 即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0， 所以解得 所以z＝3－i. 13．若复数z＝＋i是纯虚数(θ∈R，i为虚数单位)，则tan的值为(　　) A．－7 B．－ C．7 D．－7或－ 答案　A 解析　∵复数z是纯虚数， ∴ ∴sin θ＝且cos θ≠，又cos2θ＋sin2θ＝1， ∴cos θ＝－，∴tan θ＝＝－. ∴tan＝＝＝－7. 14．如果－(m2－3m)i>－1，m，n∈N，则m＝________，n＝________. 答案　0　1 解析　因为－(m2－3m)i>－1， 所以－(m2－3m)i是实数， 从而有 由①得m＝0或m＝3， 当m＝0时，代入②得0<n<2， 又n∈N，所以n＝1； 当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾， 综上可得m＝0，n＝1. 15．若i是虚数单位，则i＋i2＋…＋i2 021＋i2 022＋i2 023＝________. 答案　－1 解析　因为i是虚数单位， 所以i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1， 所以i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0， 所以i＋i2＋i3＋…＋i2 021＋i2 022＋i2 023 ＝(i＋i2＋i3＋i4)＋…＋(i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020)＋i2 021＋i2 022＋i2 023 ＝i2 021＋i2 022＋i2 023 ＝i＋i2＋i3＝－1. 16．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)． (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围． 解　(1)∵z1为纯虚数， 则解得m＝－2. (2)由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2. ∵－1≤sin θ≤1， ∴当sin θ＝1时，λmin＝2， 当sin θ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2,6]． 学科网（北京）股份有限公司 $$