9.2 正弦定理与余弦定理的应用 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

[学习目标]　1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力． 导语 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量． 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案． 一、距离问题 知识梳理 距离问题常见类型与方法梳理 类型 图形 方法 两点(两点均可到达)间不可到达(或不可视)的距离 余弦定理 两点(有一点可到达)间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理，再用余弦定理 例1　如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点间的距离． 解　在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°， ∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD， ∴BD＝CD＝40 m，BC＝＝40(m)． 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°， ∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得AC＝＝20(m)． 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝BC2＋AC2－2BC×AC×cos∠ACB ＝(40)2＋(20)2－2×40×20cos 60°＝2 400， ∴AB＝20 m，故A，B两点之间的距离为20 m. 反思感悟　求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是 (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形． (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解． 跟踪训练1　(1)A，B两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为________ km. 答案　 解析　由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C＝72＋52－2×7×5×＝39. 所以AB＝ km. (2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________ m. 答案　60 解析　如图，作CD⊥AB于点D，则tan 30°＝， tan 75°＝， 又AD＋DB＝120 m， ∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°， ∴AD＝60 m，故CD＝60 m．即河的宽度是60 m. 二、高度问题 知识梳理 高度问题常见类型与方法梳理 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD的长度及C与∠ADB的度数． 先由正弦定理求出AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD的长度及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数． 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 例2　如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是(　　) A．10 m B．10 m C．10 m D．10 m 答案　D 解析　在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°， ∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°， 由正弦定理，得＝， 故BC＝＝10(m)． 在Rt△ABC中，tan 60°＝， 故AB＝BC×tan 60°＝10(m)． 反思感悟　测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路． 跟踪训练2　如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　) A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m 答案　D 解析　设建筑物的高度为h m，由题图知， PA＝2h m，PB＝h m，PC＝h m， ∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理， 得cos∠PBA＝＝，① cos∠PBC＝＝.② ∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m. 三、角度问题 知识梳理 角度问题常用名称、术语归纳梳理 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 例3　甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解　如图所示．设经过t小时两船在C点相遇， 则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)， B＝180°－60°＝120°， 由＝，得 sin∠CAB＝＝＝＝， ∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°－30°＝30°， ∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 反思感悟　解决实际问题应注意的问题 (1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步． (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题． 跟踪训练3　地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，到达点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离． 解　如图，在△PAB中，∠PAB＝30°，PA＝40 m，AB＝40 m. 由余弦定理，得 PB＝ ＝＝40 m. 因为AB＝40 m，所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝120°.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P与他的距离为40 m. 1．知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：方向角与方位角的区别是易错点． 1．若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的(　　) A．北偏东15°方向上 B．北偏西15°方向上 C．北偏东10°方向上 D．北偏西10°方向上 答案　B 解析　如图所示，∠ACB＝90°.又因为AC＝BC， 所以∠CBA＝45°. 因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°. 所以点A在点B的北偏西15°方向上． 2.如图，学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为(　　) A．12 m B．8 m C．3 m D．4 m 答案　D 解析　由题意知，A＝B＝30°， 所以C＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，＝， 则AB＝＝＝4(m)． 3.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　) A．10 m B．5 m C．5(－1)m D．5(＋1)m 答案　D 解析　方法一　设AB＝x m，则BC＝x m. ∴BD＝(10＋x)m. ∴tan∠ADB＝＝＝. 解得x＝5(＋1)． ∴A点离地面的高AB等于5(＋1)m. 方法二　∵∠ACB＝45°， ∴∠ACD＝135°， ∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC ＝·sin 30°＝(m)， ∴AB＝ACsin 45°＝5(＋1)m. 4.江岸边有一炮台C高30 m，江中有两条船B，A，船与炮台底部D在同一直线上，由炮台顶部测得其俯角分别为45°和30°，则两条船相距________ m. 答案　30(－1) 解析　由题意可知AC＝＝60(m)， BC＝＝30(m)，∠ACB＝15°， 在△ABC中，由余弦定理得， AB2＝BC2＋AC2－2×BC×AC×cos∠ACB＝(30)2＋602－2×30×60×cos 15°＝1 800(2－)， 所以AB＝30(－1)m. 1．海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　) A．10 海里 B. 海里 C．5 海里 D．5 海里 答案　D 解析　根据题意，如图．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10(海里)，∴C＝45°.由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)． 2．(多选)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿该方向走了3 km，结果离出发点恰好 km，则x的值为(　　) A. B．2 C．2 D．3 答案　AB 解析　如图所示，在△ABC中，AB＝x km，BC＝3 km，AC＝ km，∠ABC＝30°， 由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC. 即()2＝x2＋32－2x×3×cos 30°. ∴x2－3x＋6＝0. 解得x＝2或x＝. 3．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是(　　) A．5 海里/时 B．5海里/时 C．10 海里/时 D．10海里/时 答案　D 解析　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时． 4.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，如图，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36 m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD约为(　　) A．54 m B．47 m C．50 m D．44 m 答案　A 解析　由题可得在Rt△ABM中， ∠AMB＝45°，AB＝36 m， 所以AM＝36 m. 在△AMC中，∠AMC＝180°－60°－45°＝75°， ∠MAC＝15°＋45°＝60°， 所以∠ACM＝180°－75°－60°＝45°， 所以由正弦定理可得＝， 所以CM＝＝36 (m)， 则在Rt△CDM中，CD＝CM·sin 60°＝54 (m)， 即圣·索菲亚教堂的高度约为54 m. 5．甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是 (　　) A．6 km B．3 km C．3 km D．3 km 答案　C 解析　由题意知，AB＝24×＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°. 由正弦定理，得BS＝＝＝3(km)． 6．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，则B城市处于危险区内的时间为(　　) A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h 答案　B 解析　设A地东北方向上点P到B的距离为30 km，AP＝x km.在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcos A， 即302＝x2＋402－2x×40cos 45°， 化简得x2－40x＋700＝0. 设该方程的两根为x1，x2， 则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400， 所以|x1－x2|＝20 km， 故t＝＝1(h)． 7．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖D的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖D的仰角为30°，量得AB＝AC＝10 m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________. 答案　30° 解析　如图所示，在Rt△ACD中， ∵AC＝10 m，∠DAC＝45°，∴DC＝10 m．在Rt△DCB中，∵∠DBC＝30°， ∴BC＝10 m. 在△ABC中，cos∠ACB ＝＝， ∴∠ACB＝30°. 8.在一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72 千米/小时的速度在同一高度向正东方向飞行，如图．第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为________千米．(结果保留根号) 答案　 解析　如图，根据已知可得∠ABF＝60°，∠CBF＝75°，∠CBD＝30°. 设飞行高度为x千米，即CD＝x千米， 则BC＝x千米． 在Rt△CFB中，∠CBF＝75°，BC＝x千米， 所以CF＝xsin 75°，BF＝xcos 75°. 在Rt△ABF中，AF＝3xcos 75°. 因为飞行速度为72千米/小时，飞行时间是1分钟，所以ED＝AC＝＝ 千米，所以AF＋CF＝3xcos 75°＋xsin 75°＝AC＝，解得x＝ 千米，故直升机飞行的高度为 千米． 9．某运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 米(如图所示)，求旗杆的高度． 解　如图所示，依题意可知∠PCB＝45°， ∠PBC＝180°－60°－15°＝105°， ∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理可知 ＝， ∴PB＝·sin ∠PCB＝20(米)， ∴在Rt△BOP中，OP＝PB·sin ∠PBO＝20×＝30(米)， 即旗杆的高度为30米． 10．某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角(从正北方向顺时针转到AB方向所成的角)是50°，距离是1 km；从B到C，方位角是110°，距离是1 km；从C到D，方位角是140°，距离是(3＋)km.求从A到D的方位角及从A到D的距离． 解　如图所示，连接AC. 在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－110°)＝120°. 又AB＝BC＝1 km， ∴∠BAC＝∠BCA＝30°. 由余弦定理得 AC＝＝(km)． 在△ACD中，∠ACD＝360°－140°－70°－30°＝120°，CD＝(3＋)km， 由余弦定理得， AD＝ ＝＝(km)． ∴A到D的距离为 km. 在△ACD中，由正弦定理得， sin∠CAD＝＝， ∴∠CAD＝45°，于是A到D的方位角为50°＋30°＋45°＝125°. 11.如图，某建筑物的高度BC＝300 m，一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为(　　) A．100 m B．200 m C．300 m D．400 m 答案　B 解析　根据题意，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300 m，∴AC＝＝＝200(m)，在△ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°， ∴∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°. 由正弦定理得＝，解得AQ＝＝200(m)． 在Rt△APQ中，PQ＝AQsin 45°＝200×＝200(m)． 12．在灯塔A的正东方向，相距40海里的B处，有一艘渔船遇险，在原地等待营救．海警船在灯塔A的南偏西30°，相距20海里的C处．现海警船要沿直线CB方向，尽快前往B处救援，则sin∠ACB等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°， 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝1 600＋400－2×40×20×＝2 800，所以BC＝20海里． 由正弦定理得sin∠ACB＝＝＝. 13．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m 到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 答案　A 解析　如图，设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h m，AB＝100 m，BC＝h m，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2×h×100×cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m. 14．A，B两个小岛相距21海里，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9海里/时的速度向B岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，则行驶时间t＝________小时时，两船相距最近，最近距离为________海里． 答案　2　3 解析　设行驶t h后，甲船行驶到C处，AC＝9t(海里)，乙船行驶到D处，BD＝6t(海里)(如图)． (1)当9t<21，即0<t<时，点C在线段AB上，此时，BC＝(21－9t)海里， 在△BCD中，BD＝6t(海里)，∠CBD＝120°，BC＝(21－9t)海里． 由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 120°＝(21－9t)2＋(6t)2－2(21－9t)·6t·＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189. 当t＝2时，CDmin＝＝3(海里)． (2)当t＝时，B，C重合，此时CD＝6×＝14>3. (3)当t>时，BC＝(9t－21)海里，则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2(9t－21)·6t·＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189>189. 综上，当t＝2时，CD取得最小值3. 故行驶2小时时，甲、乙两船相距最近，最近距离为3 海里． 15.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D两市相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km，则震中A到B，C，D三市的距离分别为______________________． 答案　 km， km， km 解析　由题意得，在△ABC中， AB－AC＝1.5×8＝12(km)． 在△ACD中，AD－AC＝1.5×20＝30(km)． 设AC＝x(km)， 则AB＝(12＋x)(km)，AD＝(30＋x)(km)． 在△ABC中，cos∠ACB＝ ＝＝， 在△ACD中，cos∠ACD＝ ＝＝. ∵B，C，D在一条直线上， ∴＝－， 即＝， 解得x＝，即AC＝(km)． ∴AB＝(km)，AD＝(km)． 16.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘故障船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方救援船奉命以10 海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向行驶．问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间． 解　设救援船应沿CD方向行驶t小时，才能最快追上(在D处)故障船， 则CD＝10t，BD＝10t， 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC ＝(－1)2＋22－2(－1)×2×cos 120°＝6. ∴BC＝. 又∵＝， ∴sin∠ABC＝＝＝， 又0°<∠ABC<60°，∴∠ABC＝45°， ∴B处在C处的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得＝， ∴sin∠BCD＝＝＝. 又∵0°<∠BCD<60°，∴∠BCD＝30°， ∴救援船沿北偏东60°的方向行驶． 又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°， ∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC， 即10t＝. ∴t＝(小时)≈15(分钟)． ∴救援船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟． 学科网（北京）股份有限公司 $$