9.1.2 余弦定理 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

9．1.2　余弦定理 [学习目标]　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.3.能利用余弦定理解决有关三角形的恒等化简，证明及形状判断等问题． 导语 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 一、余弦定理的推导 问题1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 提示　如图，设＝a，＝b，＝c， 那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算． 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b) ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C， 同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B. 问题2　在问题1的探究成果中，若A＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示　a2＝b2＋c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例． 知识梳理 1．余弦定理的公式表达形式：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 2．余弦定理的文字语言叙述：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍． 注意点： (1)运用余弦定理时注意边角关系的对应． (2)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，都可以知三求一． (3)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理涉及的是边长的平方，求得的结果常有两个，因此，解题时需特别注意三角形的三边长所满足的条件． 二、已知两边及一角解三角形 例1　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，角C和边a. 解　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3， 所以a＝. (2)方法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0， 解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由正弦定理，得sin A＝＝＝1， ∴A＝90°，∴C＝60°. 方法二　由b<c，B＝30°，b>csin 30°＝3×＝知本题有两解．由正弦定理，得sin C＝＝＝，∴C＝60°或120°. 当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝＝＝6；当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3. 反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形 (1)已知三角形的两边及其夹角，先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理或余弦定理求解． (2)已知三角形的两边及一边的对角，可利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 跟踪训练1　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A. 解　由余弦定理， 得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4， 所以c＝－. 由正弦定理，得sin A＝＝， 因为b>a，所以B>A， 所以A为锐角，所以A＝30°. 三、已知三边解三角形 问题3　在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何解三角形？ 提示　cos A＝， cos B＝， cos C＝. 知识梳理 余弦定理的变形式 cos A＝， cos B＝， cos C＝. 例2　(1)在△ABC中，若a2＋b2＋ab＝c2，则角C＝______. 答案　120° 解析　由a2＋b2＋ab＝c2，得a2＋b2－c2＝－ab.由余弦定理，得cos C＝＝＝－，故C＝120°. (2)在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求各内角的度数． 解　由a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)，由余弦定理，得cos A＝＝＝，∴A＝45°. cos B＝＝＝， ∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. 延伸探究　本例(2)中，将条件变为“三角形的三条边长分别为2，，＋1”，求其最大角与最小角之和． 解　因为＋1>>2，所以最大角与最小角所对的边分别为＋1,2，设长为的边所对的角为θ，由余弦定理，得cos θ＝＝，所以θ＝60°，故最大角与最小角之和为180°－60°＝120°. 反思感悟　已知三角形的三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦值，从而求出第一个角，再利用余弦定理或由求得的第一个角利用正弦定理求出第二个角，最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． (2)利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角． 跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小． 解　∵a>c>b，∴A为最大角． 由余弦定理，得 cos A＝＝＝－. 又∵0°<A<180°，∴A＝120°， ∴最大角A为120°. 四、利用余弦定理判断三角形形状 问题4　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 提示　A为直角⇔b2＋c2＝a2； A为锐角⇔b2＋c2>a2； A为钝角⇔b2＋c2<a2. 例3　在△ABC中，已知cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状． 解　方法一　在△ABC中，由cos2＝， 得＝，∴cos A＝. 根据余弦定理，得＝. ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形． 方法二　在△ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理， 得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 由cos2＝知，cos A＝. ∴cos A＝，即sin B＝sin Ccos A. ∵B＝π－(A＋C)， ∴sin(A＋C)＝sin Ccos A， ∴sin Acos C＝0. ∵A，C都是△ABC的内角， ∴sin A≠0. ∴cos C＝0，∴C＝. ∴△ABC是直角三角形． 反思感悟　(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔b2＋c2＝a2或a2＋b2＝c2或a2＋c2＝b2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2； ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 跟踪训练3　在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 答案　D 解析　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc， 所以由余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc， 所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0， 所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形． 1．知识清单： (1)余弦定理． (2)余弦定理解决的两类问题． (3)余弦定理的简单应用． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件． 1．在△ABC中，a∶b∶c＝2∶4∶5，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 答案　C 解析　因为a∶b∶c＝2∶4∶5， 所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)． 因为c最大，cos C＝<0， 所以C为钝角，从而△ABC为钝角三角形． 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为(　　) A. B.　C.或 D.或 答案　A 解析　∵a2－b2＋c2＝ac， ∴cos B＝＝＝， 又B为△ABC的内角，∴B＝. 3．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________． 答案　(2,8) 解析　因为2a－1>0，所以a>，最大边为2a＋1.因为三角形为钝角三角形，所以a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2，解得0<a<8，又因为a＋2a－1>2a＋1，所以a>2，所以2<a<8. 4.如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________． 答案　 解析　∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD) ＝cos∠BAD＝， ∴在△ABD中， 有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD， ∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3， ∴BD＝. 1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则最小角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，∴c为最小边，可得C为最小角，由余弦定理，得cos C＝＝＝，∵C为三角形的内角，∴可得C∈(0，π)，∴C＝，即△ABC的最小角为. 2．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵b2＝ac，c＝2a， ∴b2＝2a2， ∴cos B＝＝＝. 3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则b等于(　　) A．3 B．2 C．2 D. 答案　C 解析　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.因为b<c，所以b＝2. 4．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为(　　) A. B. C. D．3 答案　B 解析　如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，AC＝4. 因为cos A＝＝， 所以sin A＝.故BD＝AB·sin A＝3×＝. 5．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC(　　) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案　C 解析　在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别是a，b，c. 由sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，可得a∶b∶c＝5∶11∶13. 设a＝5t(t>0)，则b＝11t，c＝13t，则C为最大角． 由余弦定理得cos C＝ ＝＝－<0， 则C为钝角，所以△ABC为钝角三角形． 6.某地需要建设临时医院，该医院占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400 m的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为(　　) A. B.　C. D. 答案　D 解析　设等腰三角形的顶角为α，由三角形的面积公式，得四个等腰三角形的面积和为4××400×400sin α＝320 000sin α， 由余弦定理可得正方形边长为＝400，故正方形面积为160 000(2－2cos α)＝320 000(1－cos α)，所以所求占地面积为320 000(1－cos α＋sin α)＝320 000，所以当α－＝，即α＝时，占地面积最大，此时底角为＝. 7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，则a＋b＝________，若C＝60°，则边c＝________. 答案　5　 解析　由题意得a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19， 所以c＝. 8．在锐角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，若△ABC的面积为3，则BC的长是________． 答案　 解析　由题可知S△ABC＝AB·AC·sin A＝3， 所以sin A＝. 因为△ABC为锐角三角形， 所以A＝60°， 又BC2＝AB2＋AC2－2·AB·ACcos A， 所以BC＝. 9．在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状． 解　由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理， 得a·＋a·＝b＋c， 即＋＝b＋c， 整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0. 因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2， 故△ABC是直角三角形． 10．在△ABC中，若ccos B＝bcos C，且cos A＝，求sin B的值． 解　由ccos B＝bcos C，结合正弦定理得sin Ccos B＝sin Bcos C， 故sin(B－C)＝0，又B，C∈(0，π)． 易知B＝C，故b＝c，因为cos A＝， 所以cos A＝＝＝， 得3a2＝2b2，所以a＝b. 所以cos B＝＝＝， 又B∈(0，π)，故sin B＝. 11．在△ABC中，若满足sin2A＝sin2B＋sin B·sin C＋sin2C，则A等于(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　D 解析　设内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ∵sin2A＝sin2B＋sin B·sin C＋sin2C， ∴由正弦定理得a2＝b2＋c2＋bc， ∴cos A＝＝－， 又∵0°<A<180°，∴A＝150°. 12．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足B＝，a＋c＝b，则等于(　　) A．2 B．3 C. D. 答案　AC 解析　∵B＝，a＋c＝b， ∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝3b2，① 由余弦定理可得a2＋c2－2accos ＝b2，② 联立①②，可得2a2－5ac＋2c2＝0， 即22－5＋2＝0， 解得＝2或＝. 13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为(　　) A．4π B．2π C．π D. 答案　D 解析　由余弦定理b2＋c2－a2＝2bccos A及a＝1， 得b2＋c2－1＝2bccos A. 因为S＝bcsin A，且4S＝b2＋c2－1， 所以4×bcsin A＝2bccos A， 即sin A＝cos A. 因为A∈(0，π)，所以A＝. 由正弦定理得＝＝2R， 解得R＝.所以△ABC外接圆的面积为. 14．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若m＝(bsin B－asin A，c－b)，n＝(1，sin C)且m⊥n，则角A的大小为________；若a＝7，b＋c＝8，则△ABC的面积是________． 答案　　 解析　由m⊥n， 得(bsin B－asin A)·1＋(c－b)·sin C＝0， 化简得b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝. 当a＝7，b＋c＝8时， 由cos A＝＝⇒＝＝， 得bc＝5， 所以S△ABC＝bcsin A＝×5×＝. 15．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　) A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B．△ABC是钝角三角形 C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D．若c＝6，则△ABC外接圆的半径为 答案　ACD 解析　因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设x>0，解得a＝4x，b＝5x，c＝6x，所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A正确； 由上可知c边最大，所以三角形的内角中C最大． 又cos C＝＝＝>0，所以C为锐角，所以B错误； 由上可知a边最小，所以三角形的内角中A最小，又cos A＝＝＝，所以cos 2A＝2cos2A－1＝，所以cos 2A＝cos C，由三角形中C最大且C为锐角可得2A∈，C∈，所以2A＝C，所以C正确； 由正弦定理得2R＝，又sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，所以D正确． 16．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且1＋＝. (1)求角C的大小； (2)若(a＋b)2－c2＝4，求－3a的最小值． 解　(1)由正弦定理可知＝， ∴1＋＝1＋ ＝ ＝＝， 即＝. ∵sin A≠0，sin B≠0，∴cos C＝. ∵C∈(0，π)，∴C＝. (2)∵(a＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＋2ab＝4. 由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab， ∴3ab＝4，∴＝， ∴－3a＝a2－3a＝2－4， 当a＝时，min＝－4. 学科网（北京）股份有限公司 $$