9.1.1.2 正弦定理(2) -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

第2课时　正弦定理(二) [学习目标]　1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件判断三角形解的个数和形状.3.能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题． 一、三角形解的个数的判断 问题1　已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，三角形的解是否唯一确定？ 提示　三角形被唯一确定，有唯一解． 问题2　已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，三角形的解是否唯一确定？ 提示　三角形不能被唯一确定，可能出现两解的情况． 知识梳理 现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明． (1)代数角度： 由正弦定理得sin B＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. (2)几何角度： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a＝bsin A； ②a≥b 一解 bsin A<a<b 两解 a<bsin A 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 例1　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，若有解，则解三角形． (1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)a＝2，b＝6，A＝30°. 解　(1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， ∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10>10， ∴a<bsin A，∴本题无解． (2)a＝2，b＝6，a<b，A＝30°<90°， ∵bsin A＝6sin 30°＝3，∴a>bsin A， 即bsin A<a<b，∴本题有两解． 由正弦定理得sin B＝＝＝， 又∵0°<B<150°， ∴B＝60°或B＝120°. 当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4； 当B＝120°时，C＝30°，c＝＝＝2. ∴当B＝60°时，C＝90°，c＝4； 当B＝120°时，C＝30°，c＝2. 反思感悟　判断三角形解的情况 先判断角，若有一个为钝角，则有一解或无解；若无钝角，则有一解、两解或无解，然后再由大边对大角来具体判断解的情况． 跟踪训练1　根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解： (1)a＝，b＝，A＝120°； (2)a＝60，b＝48，B＝60°； (3)a＝7，b＝5，A＝80°； (4)a＝14，b＝16，A＝45°. 解　方法一　(1)∵A>90°且a>b， ∴有一解，即这样的三角形是唯一的． (2)∵asin B＝60×＝30，b＝48， ∴b<asin B，无解， 即不存在这样的三角形． (3)∵a＝7，b＝5，A＝80°，∴a>b，有一解，即这样的三角形是唯一的． (4)∵bsin A＝16×＝8，a＝14， ∴bsin A<a<b，有两解，即符合条件的三角形有两个． 方法二　(1)∵A＝120°，由＝， 得sin B＝＝＝， ∵A>B，∴B＝45°. ∴有一解，即这样的三角形是唯一的． (2)由＝，得sin A＝＝＝>1，与0<sin A≤1矛盾， ∴无解，即不存在这样的三角形． (3)由＝， 得sin B＝＝<1. 又∵b<a，∴B<80°， ∴有一解，即这样的三角形是唯一的． (4)由＝，得sin B＝<1. 又b>a，∴B>A，∴B有一锐角值和一钝角值， 即有两解，即符合条件的三角形有两个． 二、利用正弦定理判断三角形的形状 知识梳理 利用正弦定理判断三角形的形状求解证明有关问题，常用到如下变形式： (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. (2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. (3)＝＝＝. (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝. 例2　(1)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　A 解析　由正弦定理得，acos B＝bcos A⇒sin Acos B＝sin Bcos A⇒sin(A－B)＝0，由于－π<A－B<π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形． (2)在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 解　根据正弦定理，得＝＝， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2，∴A是直角． ∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C ＝2sin B·cos C， ∴sin(B－C)＝0. 又－90°＜B－C＜90°， ∴B－C＝0，∴B＝C， ∴△ABC是等腰直角三角形． 反思感悟　判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． 跟踪训练2　(1)在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案　D 解析　由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又角A是锐角，所以A＝60°.又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.故△ABC为等边三角形． (2)在△ABC中，已知2acos B＝c，sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，则△ABC为(　　) A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形 答案　B 解析　由正弦定理，得2sin Acos B＝sin C， 在△ABC中，A＋B＋C＝π， ∴sin C＝sin(A＋B)， ∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B， 整理得sin Acos B＝cos Asin B， ∴tan A＝tan B，又A，B∈(0，π)，∴A＝B. ∵sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋， ∴sin Asin B＝sin2＋， ∴sin Asin B＝·， ∴sin Asin B＝， ∴sin A＝sin B＝， ∴A＝B＝， 又A＋B＋C＝π，∴C＝， ∴△ABC为等腰直角三角形． 三、利用正弦定理证明有关问题 例3　在△ABC中，求证：＝. 证明　∵左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝右边， ∴原等式成立． 反思感悟　对于三角形中含有边角关系的证明问题，往往利用正弦定理实现边与角的转化，有时角化边，有时边化角，再利用三角恒等变换，使问题得以解决． 跟踪训练3　在△ABC中，求证：＝(C≠90°)． 证明　因为＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)， 所以左边＝ ＝ ＝＝＝右边． 所以等式成立． 1．知识清单： (1)三角形解的个数的判断． (2)利用正弦定理判断三角形的形状． (3)正弦定理在有关证明中的应用． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现非等价变形． 1．在△ABC中，若sin A＝sin C，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 答案　B 解析　由sin A＝sin C及正弦定理，知a＝c， 故△ABC为等腰三角形． 2．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝4，则满足条件的△ABC(　　) A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定 答案　C 解析　由正弦定理得＝. ∴sin B＝>1， ∴角B不存在，即三角形无解． 3．在△ABC中，已知sin B＝2sin C，BC＝6，角A的内角平分线交BC于点D，则BD＝________. 答案　2 解析　因为AD为角平分线，所以由sin∠BAD＝sin∠CAD，得＝.又＝，sin B＝2sin C，所以＝＝，从而BD＝DC，即BD＝BC＝×6＝2. 4．在△ABC中，a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝________. 答案　60°或120° 解析　由正弦定理＝， 得sin B＝＝. ∵b>a，∴B>A，且0°<B<180°， ∴B＝60°或B＝120°. 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcos A＝acos B，则三角形的形状为(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 答案　A 解析　由正弦定理化简得sin Bcos A＝sin Acos B，即sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0，因为A，B都为三角形内角，所以A－B＝0， 即A＝B，则该三角形为等腰三角形． 2．在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B等于(　　) A. B. C. D．－ 答案　B 解析　由正弦定理得sin A＝sin Bsin A， 又sin A≠0，故sin B＝. 3．(多选)下列条件中可以使△ABC有两个解的是(　　) A．b＝3，c＝4，B＝30° B．a＝5，b＝8，A＝30° C．c＝6，b＝3，B＝60° D．c＝9，b＝12，C＝60° 答案　AB 解析　对于A，∵csin 30°＝2，∴2<b＝3<4， 即csin B<b<c， ∴有两解，同理可得B有两解； C有一解；D无解． 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于(　　) A．3∶4∶5 B．5∶4∶3 C．2∶∶1 D．1∶∶2 答案　D 解析　在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2. 5．已知在△ABC中，A＝45°，a＝1.若△ABC仅有一解，则b的取值范围为(　　) A．{} B．(，＋∞) C．{}∪(0,1] D．{}∪(0,1) 答案　C 解析　已知△ABC中，A＝45°，a＝1，则过点C作AB边的垂线(图略)，长度可表示为bsin 45°＝b.因为△ABC仅有一解，所以a＝b或a≥b>0，所以b＝a＝或0<b≤1. 6．(多选)下列说法正确的是(　　) A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B D．在△ABC中，＝ 答案　ACD 解析　对于A，由正弦定理＝＝＝2R可得，a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确； 对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故B错误； 对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，因此A>B是sin A>sin B的充要条件，故C正确； 对于D，由正弦定理＝＝＝2R， 可得右边＝＝2R＝左边，故D正确． 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，b＝4，a＝5，则满足条件的三角形有________个． 答案　1 解析　因为a>b，所以A>B，由正弦定理知sin B＝＝，则角B只能是锐角，只能有一个解． 8．在△ABC中，lg(sin A＋sin C)＝2lg sin B－lg(sin C－sin A)，则此三角形的形状是________． 答案　直角三角形 解析　∵lg(sin A＋sin C)＝lg ， ∴sin2C－sin2A＝sin2B，结合正弦定理得c2＝a2＋b2， ∴△ABC为直角三角形． 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若－＝－，试判断△ABC的形状． 解　由－＝－及正弦定理， 得－＝－， 则－＝. 所以sin B－sin A＝sin Ccos A－sin Ccos B， 所以sin(A＋C)－sin(B＋C) ＝sin Ccos A－sin Ccos B， 则sin Acos C－sin Bcos C＝0. 当cos C＝0时，等式成立，此时C＝. 当cos C≠0时，有sin A＝sin B. 因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B. 故△ABC为等腰三角形或直角三角形． 10．在△ABC中，求证：a2sin 2B＋b2sin 2A＝2absin C. 证明　设＝＝k，且k≠0， 则a＝ksin A，b＝ksin B， ∴左边＝k2sin2A·sin 2B＋k2sin2B·sin 2A ＝2k2sin A·sin B·(sin A·cos B＋sin B·cos A) ＝2k2sin A·sin B·sin(A＋B)． 又∵在△ABC中，A＋B＝π－C， ∴左边＝2(ksin A)(ksin B)·sin C＝2ab·sin C＝右边， 即a2sin 2B＋b2sin 2A＝2absin C. 11．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．有一内角是30°的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一内角是30°的等腰三角形 答案　C 解析　在△ABC中，由于＝＝，且＝＝， ∴sin B＝cos B，sin C＝cos C， ∴B＝C＝， ∴A＝， ∴△ABC是等腰直角三角形． 12．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　　) A．45° B．60° C．75° D．90° 答案　C 解析　设C为最大角，则A为最小角，∴A＋C＝120°， ∴＝＝ ＝ ＝×＋ ＝＋， ∴＝1，即tan A＝1. 又∵A为锐角，∴A＝45°，C＝75°. 13．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则AB边上的高是________，S△ABC＝________. 答案　1或2　或2 解析　由正弦定理得＝，所以sin C＝＝＝，所以C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2，S△ABC＝×2×2＝2；当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin 30°＝1，S△ABC＝×2×1＝. 14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为________． 答案　(，2) 解析　在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c>b>csin B，即<b<2. 15．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.则下列三个不等式中成立的是________．(填序号) ①sin A>sin B； ②cos A<cos B； ③sin A＋sin B>cos A＋cos B. 答案　①②③ 解析　A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，故①成立； 函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减， ∵A>B，∴cos A<cos B，故②成立； 在锐角三角形中，∵A＋B>， ∴0<－B<A<， 又函数y＝sin x在区间上单调递增， 则sin A>sin，即sin A>cos B， 同理sin B>cos A，故③成立． 16．在①b＝a；②a＝ccos B；③asin C＝1这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B－sin(A－C)＝sin C，c＝3，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　因为A＋B＋C＝π， 所以sin B＝sin(A＋C)， 所以sin B－sin(A－C)＝(sin Acos C＋cos Asin C)－(sin Acos C－cos Asin C)＝2cos Asin C＝sin C. 因为C∈(0，π)， 所以sin C≠0，所以cos A＝. 又A∈(0，π)，所以A＝. 若选①，由正弦定理得， sin B＝sin A＝， 所以B＝或， 若B＝，则C＝π－A－B＝， 所以b＝＝， S△ABC＝bcsin A＝××3×＝. 若B＝， 则C＝π－A－B＝， 所以a＝c＝3， S△ABC＝acsin B＝×3×3×＝. 若选②，由正弦定理， 得sin A＝sin Ccos B， 因为A＋B＋C＝π， 所以sin A＝sin(C＋B)＝sin Ccos B＋cos Csin B， 所以cos Csin B＝0，又B∈(0，π)， 所以sin B≠0， 所以cos C＝0，C＝， 所以b＝ccos A＝， S△ABC＝bcsin A＝××3×＝. 若选③，由正弦定理， 得csin A＝asin C＝1， 与c＝3，sin A＝矛盾， 所以这样的三角形不存在． 学科网（北京）股份有限公司 $$