9.1.1.1 正弦定理(1) -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

9．1.1　正弦定理 第1课时　正弦定理(一) [学习目标]　1.掌握用两边及其夹角表示的三角形面积公式.2.掌握正弦定理的内容及其证明方法.3.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题． 导语 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，明月高悬，我们仰望星空，会有无限遐想，有人不禁会问，遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？其实，早在1671年，两位法国科学家就测出了地球与月球之间的距离，约为385 400千米，如左侧的图所示．你知道他们是怎样测量出来的吗？将左侧的图简化为右侧的图，再思考一下吧． 一、正弦定理的推导 问题1　在△ABC中，给出三角形的两边及其夹角，如何求出这个三角形的面积呢？ 提示　当夹角为直角、锐角或钝角时分别求解．可得结论：若△ABC的面积为S，则S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 问题2　由上面得出的三角形面积公式是否可以推出三角形边角之间的关系呢？ 提示　由问题1中的结论可得 ＝＝＝. 又sin A>0，sin B>0，sin C>0. 因此可得出结论＝＝. 问题3　在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？ 提示　观察下图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B， 所以在△AB′C中，＝＝c， c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径， 所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 知识梳理 1．一般地，若记△ABC的面积为S， 则S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 2．正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等， 即＝＝＝2R. 二、三角形的面积计算问题 例1　在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为(　　) A．3 B．3 C．6 D．6 答案　B 解析　S＝absin C＝×4×3×＝3. 反思感悟　三角形面积的求法 (1)已知三角形的两边及其夹角可直接求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. (2)根据题目条件中出现的边或角，选择合适的面积公式进行求解能使计算更加简便． 跟踪训练1　在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________. 答案　2 解析　∵cos C＝，∴sin C＝＝， 又S△ABC＝absin C＝×3×b×＝4， ∴b＝2. 三、已知两角及任意一边解三角形 知识梳理 解三角形：把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形若干元素求其他元素一般称为解三角形． 例2　在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，a＝2，解三角形． 解　由正弦定理得＝， 所以b＝2. 又C＝180°－30°－45°＝105°， 由正弦定理得＝， 即c＝4sin(60°＋45°)＝＋. 延伸探究　若把本例中的条件“A＝30°”改为“C＝30°”，解三角形． 解　由三角形内角和定理，得 A＝180°－(B＋C)＝105°， 由正弦定理得＝＝， 所以c＝＝－， b＝＝2－2. 反思感悟　(1)正弦定理适用于任意三角形，可实现角边之间的相互转化． (2)解三角形至少要知道三角形的一条边． 跟踪训练2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝45°，C＝60°，c＝1，则△ABC最短边的边长等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由三角形内角和定理，得 A＝180°－(B＋C)＝75°， 所以B是最小角，b为最短边． 由正弦定理＝， 得＝，则b＝. 四、已知两边及其中一边的对角解三角形 例3　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形． 解　由正弦定理＝， 得sin C＝＝＝， ∵c>a,0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°， b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°， b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75°， C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. 延伸探究　若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 解　由正弦定理＝， 得sin A＝＝＝. ∵c＝>2＝a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． 反思感悟　已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边所对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角，则由正弦值可求出另一边所对的角为锐角且唯一． (3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角是否为锐角，这时由正弦定理可求两个角，要分类讨论． 跟踪训练3　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于(　　) A. B.　C. D. 答案　B 解析　由正弦定理，得＝， 即＝， 解得sin C＝， ∵AB<AC，∴C<B， ∴cos C＝＝. 1．知识清单： (1)正弦定理的推导． (2)三角形的面积公式及其应用． (3)应用正弦定理解三角形：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 2．方法归纳：转化与化归、分类讨论． 3．常见误区：忽略对角的讨论． 1．在△ABC中，A＝45°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为(　　) A. B. C. D．2 答案　B 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　) A．4 B．4 C．4 D．4 答案　C 解析　易知A＝45°，由＝ 得b＝＝＝4. 3．在△ABC中，已知a＝，sin C＝2sin A，则c＝________. 答案　2 解析　由正弦定理，得c＝＝2a＝2. 4．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则△ABC的面积S＝________. 答案　 解析　由正弦定理得sin B＝＝＝， 又b<c，∴B＝，则A＝，∴S△ABC＝bcsin A＝. 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列等式中一定成立的是(　　) A．asin A＝bsin B B．bsin A＝csin B C．asin C＝csin B D．asin C＝csin A 答案　D 解析　由正弦定理＝＝， 得asin C＝csin A. 2．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　B 解析　∵A＝105°，B＝45°， ∴C＝30°. 由正弦定理，得c＝＝＝2. 3．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案　B 解析　由题意及正弦定理可知，＝b＝， 则sin B＝1， 又B∈(0，π)，故B为直角，所以△ABC是直角三角形． 4．已知△ABC的外接圆半径为且b＝2，c＝2，则A等于(　　) A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 答案　C 解析　由题意得＝2R，即＝， ∴sin B＝， 同理sin C＝，又0°<B<180°，0°<C<180°，且0°<B＋C<180°，∴B＝C＝60°，∴A＝60°. 5．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　由正弦定理，得＝， ∴sin B＝＝＝. ∵a>b，∴A>B， 又∵A＝60°，∴B为锐角． ∴cos B＝＝＝. 6．(多选)已知A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有(　　) A．sin(B＋C)＝sin A B．cos(A＋B)＝cos C C．若A>B，则sin A>sin B D．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC是等腰三角形 答案　AC 解析　由A＋B＋C＝π，得sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，故A正确；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故B不正确；由三角形中大角对大边且A>B，得a>b，根据正弦定理有sin A>sin B，故C正确；在三角形中，若sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故D不正确． 7．在△ABC中，a＋b＝12，A＝60°，B＝45°，则a＝________. 答案　36－12 解析　由A＝60°，B＝45°及正弦定理＝，可知＝＝，则b＝a，代入a＋b＝12，得a＝36－12. 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝a，a＝，c＝1，则C＝________. 答案　 解析　由b＝a及正弦定理，可得sin B＝sin A ＝sin A·cos C＋sin Asin C. 又由sin B＝sin(A＋C) ＝sin A·cos C＋cos A·sin C， 则有sin A·cos C＋cos A·sin C ＝sin A·cos C＋sin A·sin C， 因为sin C≠0， 所以整理可得tan A＝，又A∈(0，π)， 则A＝，所以sin A＝. 又a＝，c＝1， 所以由正弦定理可得sin C＝＝. 因为a>c，所以A>C，则C＝. 9．在△ABC中，若a＝2，C＝，cos ＝，求△ABC的面积S. 解　∵cos ＝， ∴cos B＝2cos2－1＝. ∴sin B＝. ∵C＝， ∴sin A＝sin(B＋C) ＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝. 由正弦定理＝， 得c＝＝×＝. ∴S＝acsin B＝×2××＝. 10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知(2a－c)cos B＝bcos C. (1)求角B的值； (2)若△ABC为锐角三角形，且b＝1，求△ABC的面积的取值范围． 解　(1)在△ABC中，由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin B·cos C， 即2sin A·cos B＝sin B·cos C＋sin C·cos B＝sin(B＋C)＝sin A， 而A∈(0，π)，则sin A>0，所以cos B＝， 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝，则a＝sin A，c＝sin C. 由(1)知B＝，则C＝－A，而△ABC是锐角三角形，于是有解得<A<.故S△ABC＝acsin B＝sin A·sin＝sin A·＝sin＋. 因为2A－∈，则<sin≤1. 因此得<S△ABC≤，所以△ABC的面积的取值范围为. 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，acos B＝(c－b)cos A，则角A的大小为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由正弦定理得 sin Acos B＝(sin C－sin B)cos A， 即sin(A＋B)＝sin Ccos A， 即sin C＝sin Ccos A， 因为sin C≠0， 所以cos A＝，故A＝. 12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝6，c＝2，tan A＋tan B＝，则S△ABC等于(　　) A．3 B．9 C．9 D．3 答案　B 解析　由tan A＋tan B＝， 得＝， 因为cos A≠0，所以＝2sin C， 因为sin C≠0，所以cos B＝， 又因为B∈(0，π)，所以B＝， 所以S△ABC＝acsin B＝×6×2×＝9. 13．在△ABC中，a＝2，c＝，sin A＋cos A＝0，则B的大小为________． 答案　 解析　因为A是△ABC的内角，所以A∈(0，π)， 又因为sin A＋cos A＝0， 所以tan A＝－1，所以A＝. 由正弦定理可知＝，则＝， 所以sin C＝. 因为A＝，所以C∈，因此C＝. 由三角形内角和定理可知B＝π－A－C＝. 14．在△ABC中，B＝120°，AB＝，∠BAC的角平分线AD＝，则AC＝________. 答案　 解析　如图，由正弦定理易得＝，即＝，故sin∠ADB＝， 即∠ADB＝45°. 在△ABD中，已知B＝120°，∠ADB＝45°， 则∠BAD＝15°.由于AD是∠BAC的角平分线， 故∠BAC＝2∠BAD＝30°.在△ABC中，B＝120°， ∠BAC＝30°，易得∠ACB＝30°.在△ABC中， 由正弦定理得＝，即＝， 故AC＝. 15．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acos C＝4csin A，已知△ABC的面积S＝10，b＝4，则a的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由3acos C＝4csin A，得＝， 由正弦定理＝，得＝， 则tan C＝. 由S＝bcsin A＝10，b＝4，得csin A＝5. 由tan C＝，得sin C＝. 则根据正弦定理得a＝＝. 16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝－sin 2C. (1)求C的大小； (2)若c＝2，A＝，求△ABC的面积． 解　(1)由题意得，m·n＝sin Acos B＋sin Bcos A＝－sin 2C， 即sin(A＋B)＝－sin 2C，sin C＝－2sin Ccos C. 由0<C<π，得sin C>0. 所以cos C＝－，C＝. (2)由C＝，A＝，得B＝π－A－C＝. 由正弦定理＝，得＝， 解得b＝2. 所以△ABC的面积S＝bcsin A ＝×2×2×sin ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$